淺談中學(xué)二次函數(shù)解析式的求法

1、淺談中學(xué)二次函數(shù)解析式的求法摘要二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容之一,二次函數(shù)解析式的確定既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),實(shí)質(zhì)上確定二次函數(shù)的解析式,就是確定函數(shù)解析式中未知數(shù)的系數(shù),求二次函數(shù)解析式的方法很多,如:一般式、交點(diǎn)式、頂點(diǎn)式等,受文獻(xiàn)1、2、3的啟迪本文簡單總結(jié)了常見的六種求二次函數(shù)解析式的方法,及這六種方法在初中數(shù)學(xué)中的簡單應(yīng)用。關(guān)鍵詞:二次函數(shù)解析式 ; 交點(diǎn)式; 頂點(diǎn)式; 平移思想 ; 數(shù)形結(jié)合思想ANALYSIS OF A QUADRATIC FUNCTIONOF SCHOOI-BASED METHODABSTRACTQuadratic function is a junior hig

2、h school mathematics and an important part of the quadratic function of the analytical focus is not only difficult to determine, in essence, to determine the analytical quadratic function is determined in the unknown analytical coefficient, and analytical quadratic function many ways, such as: gener

3、al type, intersection type, top-set blocks, due to the literature of the enlightenment 1、2、3 This article briefly summarizes the six kinds of common quadratic function for analytical methods and their applications.KEY WORDS: Analytic quadratic function; point type; vertex type; translational thinkin

4、g;numeber shape union thinking目錄摘要 (1ABSTRACT (21 引言 (42 中學(xué)二次函數(shù)解析式的幾種求法 (42.1一般式求二次函數(shù)的解析式1 (42.2坐標(biāo)與頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式1 (52.3交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式1 (82.4對(duì)稱點(diǎn)式析式2 (82.5平移法求二次函數(shù)的解析式3 (92.6數(shù)形結(jié)合法求二次函數(shù)的解析式 (123 總結(jié) (12參考文獻(xiàn) (13致謝 (131 引言函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的內(nèi)容之一,它的建立是數(shù)學(xué)從常量轉(zhuǎn)入變量的樞紐,從數(shù)量關(guān)系反映客觀世界之間的相互依存,相互制約的變化規(guī)律。而函數(shù)思想是用變量和函數(shù)之間的關(guān)系來思考問題,其

5、本質(zhì)是變量和函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,它與方程的思想是不可分割的。在中學(xué)考試方面,函數(shù)部分通常把一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、幾何等綜合在一起,在解決實(shí)際問題方面,常考利用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積、利潤等的最大值和最小值,然而求二次函數(shù)的解析式通常是解決題目的出發(fā)點(diǎn),因此探究求二次函數(shù)解析式的方法已成為重點(diǎn)內(nèi)容之一,本文從二次函數(shù)解析式的一般形式到特殊形式依次總結(jié)出一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式、對(duì)稱點(diǎn)式、平移法、數(shù)形結(jié)合法六種求二次函數(shù)解析式的方法,及這六種方法在初中數(shù)學(xué)中的簡單應(yīng)用。2 中學(xué)二次函數(shù)解析式的幾種求法從二次函數(shù)的定義出發(fā),利用二次函數(shù)圖象與一元二次方程根的關(guān)系、二次函數(shù)圖象在平移前后圖像上對(duì)

6、應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間與向量的關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì),本文簡單談怎樣運(yùn)用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式、對(duì)稱點(diǎn)式、平移法、數(shù)形結(jié)合法求二次函數(shù)的解析式。2.1一般式求二次函數(shù)的解析式1求函數(shù)解析式最基本的方法是定義法,cy+=2(a0是二次函數(shù)的一+axbx般解析式,從解析式的形式上看有三個(gè)待定系數(shù),只要知道圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而將這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)的一般解析式,即可求出二次函數(shù)的解析式。例1 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過A(-1,10,B(1,4,C(2,7三點(diǎn),求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,由函數(shù)圖像經(jīng)過A(-1,10,B (1,4,C (2,7三點(diǎn),得:=+

7、=+=+-3(7242(41(10 c b a c b a c b a由(1-(2得:-2b=6 即b=-3由(3-(1得:3a+3b=-3將b=-3代入得:a=2將a=2,b=-3代入(1得:c=5即=-=532c b a所以,所求函數(shù)的解析式為:5322+-=x x y .2.2坐標(biāo)與頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式1由c bx ax y +=2經(jīng)過配方變形可化為a b ac a b x a y 44222-+ +=,此時(shí),頂點(diǎn)坐標(biāo)為 -a b ac a b 44,22,對(duì)稱軸為a b x 2-=,根據(jù)對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的定義可分三種情況求二次函數(shù)的解析式。將已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸的方程分別代人二次

8、函數(shù)的一般式和對(duì)稱軸的坐標(biāo)公式即可求出二次函數(shù)的解析式。例2 已知二次函數(shù)的圖象與x 軸交于A ,B(4,0兩點(diǎn),與y 軸交于點(diǎn)C (0,8,對(duì)稱軸為1=x ,求二次函數(shù)的解析式。解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為c bx ax y +=2,由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,4B(8,0C 兩點(diǎn),對(duì)稱軸1=x ,得:(=-=+3122810416 ab c c b a由(3得:(42 ab -=將(2(4代入(1得:(082416=+-+a a ,即1-=a 將1-=a 代入(4得:(212=-=b即=-=821c b a 所以,所求二次函數(shù)的解析式為:822+-=x x y .將已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)和頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)坐

9、標(biāo)分別代人二次函數(shù)的一般式和頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出二次函數(shù)的解析式。例3 已知二次函數(shù)的圖像與x 軸交于A 、B (0,4兩點(diǎn),與y 軸交于點(diǎn)C (8,0,其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,9=y 求二次函數(shù)的解析式。解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為,2c bx ax y +=由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(8,0,0,4C B 兩點(diǎn),頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9=y 得:(=-=+394428104162 a b ac c c b a將(2代入(3得:(442 b a -=將(4代入(1得:1-=b 或2=b分別將1-=b 和8,2=c b 代入(1得:41-=a 或1-=a即=-=-=8141c b a 或 =-=821c b a所以,

10、所求二次函數(shù)的解析式為8412+-=x x y或822+-=x x y .已知函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h k ,則二次函數(shù)的解析式可以設(shè)為(,2h k x a y +-= 因此只要知道函數(shù)圖象上任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入所設(shè)解析式即可求出a 的值,從而求出二次函數(shù)的解析式。例4 已知拋物線在點(diǎn)(1,3達(dá)到最高點(diǎn),且與y 軸交于點(diǎn)(,80-,求拋物線的解析式。解:根據(jù)題意知點(diǎn)(1,3為拋物線的頂點(diǎn),則可設(shè)拋物線的解析為(132+-=x a y將點(diǎn)(8,0-代入得:1-=a 所以,所求函數(shù)的解析式為:(132+-=x y .一般地,只要知道函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo),均可以運(yùn)用以上

11、三種方法求二次函數(shù)的解析式,然而從函數(shù)解析式的形式上看運(yùn)用頂點(diǎn)式求解比較簡便。2.3交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式1利用二次函數(shù)圖象與一元二次方程根的關(guān)系,若知道二次函數(shù)與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0,0,21x x ,相當(dāng)于方程02=+c bx ax 有兩個(gè)不相等的實(shí)根,21x x 即(212x x x x a c bx ax -=+,因此二次函數(shù)可以表示為(21x x x x a y -=,此 時(shí)只要知道二次函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出二次函數(shù)的解析式。例5 已知二次函數(shù)圖象與x 軸交于點(diǎn)(,0,1,0,23-B A 且過點(diǎn)(10,1,求二次函數(shù)的解析式。解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為(123+ +=x

12、x a y .將點(diǎn)(10,1代入得:2=a所以,所求的函數(shù)的解析式為(1232+ +=x x y即 3522+=x x y .2.4對(duì)稱點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式2若已知拋物線上的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)(m x m x ,21時(shí),拋物線的解析式可設(shè)為(m x x x x a y +-=21. 注:(1當(dāng)m >0時(shí),把原直角坐標(biāo)系中的x 軸向上平移m 個(gè)單位,則在新坐標(biāo)系中拋物線的解析式可設(shè)為(21x x x x a y -=,因而原坐標(biāo)系下的拋物線是新坐標(biāo)系下的拋物線不動(dòng),x 軸向下平移m 個(gè)單位,即 (21x x x x a m y -=- ,亦即(m x x x x a y +-=21.(2當(dāng)m &

13、lt;0時(shí),把原直角坐標(biāo)系中x 軸向下平移m 個(gè)單位,則在新坐標(biāo)系中拋物線的解析式可設(shè)為(21x x x x a y -=,因而原坐標(biāo)系下的拋物線是新坐標(biāo)系下的拋物線不動(dòng),x 軸向上平移m 個(gè)單位,即 (21x x x x a m y -=+ 亦即(m x x x x a y +-=21.例6 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(6,2,3,1,3,1-三點(diǎn),求二次函數(shù)的解析式。解:因?yàn)辄c(diǎn)(3,1,3,1-為拋物線上關(guān)于y 軸對(duì)稱的兩點(diǎn), 所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為(311+-+=x x a y . 將點(diǎn)(6,2代入得:1=a所以,所求函數(shù)的解析式為:(311+-+=x x y .本題根據(jù)題意可以運(yùn)用一般

14、式求二次函數(shù)的解析式,從一般式和對(duì)稱點(diǎn)式的表達(dá)式上看運(yùn)用對(duì)稱點(diǎn)式求解比較簡單、快捷,因此在做題時(shí)要注意觀察任意兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。2.5平移法求二次函數(shù)的解析式3平移法是運(yùn)用平移原則建立平移前后圖像上對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的等量的關(guān)系,然后運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法,運(yùn)用平移法求二次函數(shù)的解析式是非常直接和簡便的。(1已知拋物線c bx ax y +=2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-a b ac a b 44,22.將拋物線向右平移k (0>k 個(gè)單位,則頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)加k ,即頂點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?-+-ab ac k a b 44,22;若向左平移k 個(gè)單位,則橫坐標(biāo)減k 即頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 -a

15、b ac k a b 44,22. 將拋物線c bx ax y +=2向上平移(0>m m 個(gè)單位,則頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)加m ,即頂點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?+-m a b ac a b 44,22;若向下平移m 個(gè)單位,則頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)減m ,即頂點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)?m a b ac a b 44,22. (2特別地,直接在變量x 的位置和變量y 的位置平移時(shí),坐標(biāo)滿足“左加右減,上加下減”的原則。注:設(shè)原函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(y x ,經(jīng)過平移后的坐標(biāo)變?yōu)?'',y x . 若將函數(shù)圖象向左平移(0>n n 個(gè)單位,相當(dāng)于函數(shù)圖象按向量(0,n -=平移,

16、由平移坐標(biāo)公式得:(+=-+=0''y y n x x 即=+=''yy n x x 代入二此函數(shù)的一般解析式得(c n x b n x a y +='2''.若將函數(shù)向右平移n 個(gè)單位,相當(dāng)于函數(shù)圖象按向量(0,n =平移, 由平移坐標(biāo)公式得:+=+=0''y y nx x 即=-=''yy n x x 代入二此函數(shù)的一般解析式得(c n x b n x a y +-+-='2''.若將函數(shù)向上平移n 個(gè)單位, 相當(dāng)于函數(shù)圖象按向量(n ,0=平移, 由平移坐標(biāo)公式得:+=+=n

17、y y x x ''0即-=ny y x x '' 代入二此函數(shù)的一般解析式得(c bx x a n y +=-'2''即(n c bx x a y +='2''.-姓名：朱志群 題目：淺談中學(xué)二次函數(shù)解析式的求法 若將函數(shù)圖象向下平移 n 個(gè)單位, 相當(dāng)于函數(shù)圖象按向量 a = (0,-n ) 平移, 由平移坐標(biāo)公式得 ìx ' = x + 0 ï í ' ï y = y + (- n ) î ì ïx = x 即í

18、ïy = y' + n î ' 代入二此函數(shù)的一般解析式得 y ' + n = a x ' 即 y' = a x' 例7 ( ) 2 + bx' + c ( ) 2 + bx' + c - n . 已知拋物線 y = ax2 + bx + c 的圖象經(jīng)過點(diǎn) (- 1,-2) ，且向右平移 2 個(gè)單 位， 再向上平移 3 個(gè)單位所得函數(shù)的解析式為 y = x 2 + 3x + 5 ，求拋物線的解析式。 b ö 4ac - b 2 æ 解：因?yàn)?y = ax2 + bx + c = aç

19、; x + ÷ + 將圖象向右平移 2 個(gè)單位， 2a ø 4a è 2 3 ö 11 æ 再向上平移 3 個(gè)單位得 y = x + 3x + 5 = ç x + ÷ + ,且 y = ax2 + bx + c 過點(diǎn) 2ø 4 è 2 2 (- 1,-2) ，則 ì ï a - b + c = -2 ï 3 ï b +2=- í- 2 ï 2a 2 ï 4ac - b 11 +3= ï 4 î 4a 4 ì

20、 ïa = 25 ï 28 ï 解得： íb = 25 ï 26 ï ïc = - 25 î 所以,所求函數(shù)解析式為 y = 4 2 28 26 x + x- . 25 25 25 運(yùn)用平移法求二次函數(shù)解析式的時(shí)候，首先要記得平移原則，其次要知道是 經(jīng)過怎樣的平移得到怎樣的函數(shù)表達(dá)式，即要分清平移前后函數(shù)表達(dá)式的形式。 第 11 頁 共 13 頁 姓名：朱志群 題目：淺談中學(xué)二次函數(shù)解析式的求法 2.6 數(shù)形結(jié)合法求二次函數(shù)的解析式 數(shù)形結(jié)合思想是在解決函數(shù)問題過程中的一種重要思想，而數(shù)形結(jié)合法是最 直觀的方法，是運(yùn)用函數(shù)圖像直接體現(xiàn)已知條件，在根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)亩?次函數(shù)解析式的形式，使得問題簡單易求。 例8 如圖，已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為 x = 1 ，求二次函數(shù)的解析式。 解：由圖象可知二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn) B(3,0) ， C (0,-4) ，對(duì)稱軸為 x = 1 ，則由二 次函數(shù)的對(duì)稱性知圖像與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為 (- 1,0) 根據(jù)交點(diǎn)式可將二次函數(shù)的解析式設(shè)為： y = a(x - 3)(x + 1) 將點(diǎn) C (0,-4) 代入得: a=