高等數(shù)學(xué)平面及其方程ppt

1、 第五節(jié)第五節(jié) 平面及其方程平面及其方程xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做于一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法向量法向量法向量的法向量的特征特征： 垂直于平面的任一非零向量垂直于平面的任一非零向量已知已知),(CBAn ,),(0000平平面面上上一一點(diǎn)點(diǎn)zyxM設(shè)平面上的任一點(diǎn)設(shè)平面上的任一點(diǎn)),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程n),(0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程其中法向量其中法向量),(CBAn 平面上一點(diǎn)平面上一點(diǎn)).,(000

2、zyx例例 1 1 求求過過三三點(diǎn)點(diǎn))4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程.解解)6, 4, 3( AB)1, 3, 2( AC取取ACABn )1, 9,14( 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般式方程平面的一般式方程法向量法向量),(CBAn 二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程平面的一般式方程的幾種特殊情況：平面的

3、一般式方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過原點(diǎn)平面通過原點(diǎn), 0)2( A, 0 B軸軸平平面面平平行行于于 y軸軸平平面面平平行行于于 x, 0 C軸軸平面平行于平面平行于 z，且且00)3( BA坐坐標(biāo)標(biāo)面面平平面面平平行行于于 xoy，且且00)4( DC軸軸平面過平面過 z例例 2 2 求求過過點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程.),1, 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n取法向量取法向量21nnn )5,15,10( , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平

4、面方程為所求平面方程為解解例例 3 3 設(shè)設(shè)平平面面過過原原點(diǎn)點(diǎn)及及點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為0 DCzByAx由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知0 D由由平平面面過過點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 CBA),(),2 , 1, 4(CBAnn 又又0)2 , 1, 4( nCBA32 解得解得03232 CzCyCx所求平面方程為所求平面方程為解解024 CBA即即即即0322 zyx例例 4 4 設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR

5、（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為0 DCzByAx將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得 000DcCDbBDaA解解得得,aDA ,bDB cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸上截距軸上截距z軸軸上上截截距距例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個個單單位位的的平平面面方方程程.設(shè)所求平面為設(shè)所求平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 a

6、bc6 1 1 1 6 1 cba （兩向量平行的充要條件）（兩向量平行的充要條件）解解abc平平行行所所求求平平面面與與平平面面0566 zyx,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t解得解得, 1, 6, 1 cba666 zyx所求平面方程為所求平面方程為由對稱性，得：由對稱性，得：666 zyx也滿足要求。也滿足要求。定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBx

7、A, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 0 212121 CCBBAA21)2( /212121 CCBBAA 例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231

8、)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(),1, 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.例例7 7 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz外一點(diǎn)，求外一點(diǎn)，求0P到平面的距離到平面的距離. ),(1111zyxP| | 1PNn0P 00101PrnPPPPjn )

9、,(10101001zzyyxxPP 解解01PrPPjn d),(2222222220CBACCBABCBAAn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 01PrPPjn001nPP 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式解解.0 1)(0,1, (1,1,1) 8 21，求求此此平平面面的的方方程程平平面面且且垂垂直直于于和和一一平平面面過過點(diǎn)點(diǎn)例例 zyxMM1M2M1

10、nn的的法法向向量量平平面面0 zyx 1n)1 , 1 , 1(設(shè)所求平面的法向量設(shè)所求平面的法向量 n),(CBA在所求平面上在所求平面上21MMnMM 21從而有從而有021 nMM),(),2, 0 , 1(21CBAnMM 0),()2, 0 , 1( CBA即即02 CA（1）0 zyx所所求求平平面面垂垂直直于于平平面面1nn 從而有從而有01 nn0)1 , 1 , 1(),( CBA即即0 CBA即即（2）由由(1)(2)解得解得: CBCA2),2( ),(CCCCBAn )1 , 1 , 1( 1M所所求求平平面面過過點(diǎn)點(diǎn) 所求平面的方程為所求平面的方程為0)1()1()1(2 zCyCxC得得約去約去,C02 zyx另解：另解：1M2M1nn211MMnnn 且且211MMnn 可可取取)2, 0 , 1()1 , 1 , 1( 2 0 11 1 1 kji 2 ij 1k 1)1 , 1 , 2( 另解：另解：1M2M1nn)1 , 1 , 1( 1M所所求求平平面面過過點(diǎn)點(diǎn) 所求平面的方程為所求平面的方程為0)1()1()1(2 zyx即即02 zyx平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式.點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程.一般