高中物理奧賽講義(電磁感應)doc

1、電磁感應在第十部分,我們將對感應電動勢進行更加深刻的分析,告訴大家什么是動生電動勢,什么是感生電動勢。在自感和互感的方面,也會分析得更全面。至于其它,如楞次定律、電磁感應的能量實質等等,則和高考考綱差別不大。第一講 基本定律一、楞次定律1、定律:感應電流的磁場總是阻礙引起感應電流的磁通量的變化。注意點:阻礙“變化”而非阻礙原磁場本身;兩個磁場的存在。2、能量實質:發(fā)電結果總是阻礙發(fā)電過程本身能量守恒決定了楞次定律的必然結果。 【例題1】在圖10-1所示的裝置中,令變阻器R 的觸頭向左移動,判斷移動過程中線圈的感應電流的方向。【解說】法一:按部就班應用楞次定律;法二:應用“發(fā)電結果總是阻礙發(fā)電過

2、程本身”。由“反抗磁通增大”線圈必然逆時針轉動力矩方向反推感應電流方向?！敬鸢浮可线叺碾娏鞣较虺鰜?下邊進去。學員思考如果穿過線圈的磁場是一對可以旋轉的永磁鐵造成的,當永磁鐵逆時針旋轉時,線圈會怎樣轉動?解略。 答逆時針。事實上,這就感應電動機的基本模型,只不過感應電動機的旋轉磁場是由三相交流電造就的。 3、問題佯謬:在電磁感應問題中,可能會遇到沿不同途徑時得出完全相悖結論的情形,這時,應注意什么抓住什么是矛盾的主要方面?！纠}2】如圖10-2所示,在勻強磁場中,有圓形的彈簧線圈。試問:當 磁感應強度逐漸減小時,線圈會擴張還是會收縮?【解說】解題途徑一:根據(jù)楞次定律之“發(fā)電結果總是阻礙發(fā)電過程

3、本身”,可以判斷線圈應該“反抗磁通的減小”,故應該擴張。解題途徑二:不論感應電流方向若何,彈簧每兩圈都是“同向平行電流”,根據(jù)安培力的常識,它們應該相互吸引,故線圈應該收縮。這兩個途徑得出的結論雖然是矛盾的,但途徑二有不嚴謹?shù)牡胤?因為導線除了受彼此間的安培力之外,還受到外磁場的安培力作用,而外磁場的安培力是促使線圈擴張的,所以定性得出結論事實上是困難的。但是,途徑一源于能量守恒定律,站的角度更高,沒有漏洞存在?！敬鸢浮繑U張。 學員思考如圖10-3所示,在平行、水平的金屬導軌上有兩根可以自由滾動的金屬棒,當它們構成閉合回路正上方有一根條形磁鐵向下運動時,兩根金屬棒會相互靠攏還是相互遠離?解同上

4、。 答靠攏。 二、法拉第電磁感應定律1、定律:閉合線圈的感應電動勢和穿過此線圈的磁通量的變化率成正比。即= Nt 物理意義:N 為線圈匝數(shù);t有瞬時變化率和平均變化率之分,在定律中的分別對應瞬時電動勢和平均電動勢。圖象意義:在-t 圖象中,瞬時變化率t 對應圖線切線的斜率。 【例題3】面積為S 的圓形(或任何形線圈繞平行環(huán)面且垂直磁場的軸勻速轉動。已知勻強磁場的磁感應強度為B ,線圈轉速為,試求:線圈轉至圖19-4所示位置的瞬時電動勢和從圖示位置開始轉過90過程的平均電動勢。【解說】本題是法拉第電磁感應定律的基本應用。求瞬時電動勢時用到極限xxsin limx = 1 ;求平均電動勢比較容易。

5、 【答案】BS ;2BS 。 2、動生電動勢a 、磁感應強度不變而因閉合回路的整體或局部運動形成的電動勢成為動生電動勢。b 、動生電動勢的計算在磁感應強度為B 的勻強磁場中,當長為L 的導體棒一速度v 平動切割磁感線,且B 、L 、v 兩兩垂直時,= BLv ,電勢的高低由“右手定則”判斷。這個結論的推導有兩種途徑設置輔助回路,應用法拉第電磁感應定律;導體內部洛侖茲力與電場力平衡。導體兩端形成固定電勢差后,導體內部將形成電場,且自由電子不在移動,此時,對于不在定向移動的電子而言,洛侖茲力f 和電場力F 平衡,即F = f 即 qE = qvB而導體內部可以看成勻強電場,即 L= E 所以= B

6、Lv當導體有轉動,或B 、L 、v 并不兩兩垂直時,我們可以分以下四種情況討論(結論推導時建議使用法拉第電磁感應定律直導體平動,L B ,L v ,但v 與B 夾角(如圖10-5所示,則= BLvsin ; 直導體平動,v B ,L B ,但v 與L 夾角(如圖10-6所示,則= BLvsin ;推論:彎曲導體平動,端點始末連線為L ,v B ,L B ,但v 與L 夾角(如圖10-7所示,則= BLvsin; 直導體轉動,轉軸平行B 、垂直L 、且過導體的端點,角速度為(如圖10-8所示,則=21B L 2 ; 推論:直導體轉動,轉軸平行B 、垂直L 、但不過導體的端點(和導體一端相距s ,

7、角速度為(如圖10-9所示,則1 = BL (s + 2L(軸在導體外部、2 =21B (L 2-2s = B(L -2s (s +2s 2L -(軸在導體內部;這兩個結論由學員自己推導 (教師配合草稿板圖 直導體轉動,轉軸平行B 、和L 成一般夾角、且過導體的端點,角速度為(如圖10-9所示,則=21B L 2sin 2 ; 推論:彎曲導體(始末端連線為L 轉動,轉軸轉軸平行B 、和L 成一般夾角、且過導體的端點,角速度為(如圖10-10所示,則=21 B L 2sin 2。 統(tǒng)一的結論:種種事實表明,動生電動勢可以這樣尋求即= BLv ,而B 、L 、v 應彼此垂直的(分量?！纠}4】一根

8、長為 L 的直導體,繞過端點的、垂直勻強磁場的轉軸勻角速轉動,而導體和轉軸夾角,已知磁感應強度B 和導體的角速度 ,試求導體在圖10-11所示瞬間的動生電動勢?！窘庹f】略。(這個導體產生的感應電動勢不是恒定不變的,而是一個交變電動勢?！敬鸢浮?41B L 2sin2 。第二講 感生電動勢一、感生電動勢造成回路磁通量改變的情形有兩種:磁感應強度B 不變回路面積S 改變(部分導體切割磁感線;回路面積S 不變而磁感應強度B 改變。對于這兩種情形,法拉第電磁感應定律都能夠求出(整個回路的感應電動勢的大小(前一種情形甚至還可以從洛侖茲力的角度解釋。但是,在解決感應電動勢的歸屬.問題上,法拉第電磁感應定律

9、面臨這前所未有的困難(而且洛侖茲力角度也不能解釋其大小。因此,我們還是將兩種情形加以區(qū)別,前一種叫動生電動勢,后一種叫感生電動勢。感生電動勢的形成通常是用麥克斯韋的渦旋電磁理論解釋的。 1、概念與意義根據(jù)麥克斯韋電磁場的理論,變化的磁場激發(fā)(渦旋電場。渦旋電場力作用于單位電荷,使之運動一周所做的功,叫感生電動勢,即感=qW 渦*值得注意的是,這里的渦旋電場力是一種比較特殊的力,它和庫侖電場力、洛侖茲力并稱為驅動電荷運動的三大作用力,但是,它和庫侖電場力有重大的區(qū)別,特別是:庫侖電場力可以引入電位、電場線有始有終,而渦旋電場不能引入電位、電場線是閉合的(用數(shù)學語言講,前者是有源無旋場,后者是有旋

10、無源場。 2、感生電動勢的求法感生電動勢的嚴謹求法是求法拉第電磁感應定律的微分方程(*即Ll d E 感= -S S d t B。在一般的情形下,解這個方程有一定的難度。但是,tB 具有相對渦旋中心的軸對稱性,根據(jù)這種對稱性解體則可以是問題簡化。【例題5】半徑為R 的無限長螺線管,其電流隨時間均勻增加時,其內部的磁感應強度也隨時間均勻增加,由于“無限長”的原因,其外部的有限空間內可以認為磁感應強度恒為零。設內部tB= k ,試求解管內、外部空間的感生電場。【解說】將B 值變化等效為磁感線變密或變疏,并假定B 線不能憑空產生和消失。在將B 值增加等效為B 線向“中心”會聚(運動、B 值減小等效為

11、B 線背離“中心”擴散(運動。(1內部情形求解。設想一個以“中心”為圓心且垂直B 線的圓形回路,半徑為r ,根據(jù)運動的相對性,B 線的會聚運動和導體向外“切割”B 線是一樣的。而且,導體的每一段切割的“速度”都相同,因此,電動勢也相等。根據(jù)E =dU知,回路上各處的電場強度應相等(只不過電場線是曲線,而且是閉合的。 由總 = r 2t B 和 E = r2總 得 E =2kr 顯然,撤去假想回路,此電場依然存在。 (2外部情形求解。思路類同(1,只是外部“假想回路”的磁通量不隨“回路”的半徑增大而改變,即 =R 2B 由總 = R 2t B 和 E = r2總 得 E = r2k R 2(r

12、R 【答案】感生電場線是以螺線管軸心為圓心的同心圓,具體渦旋方向服從楞次定律。感生電場強度的大小規(guī)律可以用圖10-12表達。說明本題的解答中設置的是一個特殊的回路,才會有“在此回路上感生電場大小恒定”的結論,如果設置其它回路,E =r2總關系不可用,用我們現(xiàn)有的數(shù)學工具將不可解。當然,在啟用高等數(shù)學工具后,是可以的出結論的,而且得出的結論和“特殊回路”的結論相同。 學員思考如果在螺線管內、外分別放置兩段導體CD 和EF ,它們都是以螺線管軸線為圓心、且圓心角為的弧形,試求這兩段導體兩端的電勢差。參考解答因為在弧線上的場強都是大小恒定的,故可用U = E l 弧長求解顯然,U CD =2k r

13、2 ,U EF = 2k R 2。 推論總結我們不難發(fā)現(xiàn),U CD = tB(扇形OCD 的面積, U EF =tB(扇形OGH 的面積。結論:感生電動勢的大小可以這樣計算,用磁感應強度的變化率乘以自磁場變化中心出發(fā)引向導體兩端的曲邊形(在磁場中的“有效面積”。注意,針對(圓心在磁場變化中心的非弧形導體,用U = Ed 行不通(啟用= l d E數(shù)學工具又不到位,但上面的“推論”則是可以照樣使用的?！緫谩堪霃綖镽 螺線管內充滿勻強磁場,磁感應強度隨時間的變化率tB已知。求長為L 的直導體在圖10-14中a 、b 、c 三個位置的感應電動勢大小分別是多少?【解】在本題中,由于沒有考查(以渦旋中

14、心為圓心的環(huán)形回路或弧形回路,所以需要用上面的“推 論”解決問題。顯然,這里的“有效面積”分別為 S a = 0 S b = 21L 222L(R - S c =21R 2arctg R l L +【答】a = 0 ;b =22L R 4tB4L - ;a=tB2R 2arctg R l L + 。二、電勢、電流、能量和電量1、只要感應電路閉合,將會形成感應電流,進而導致能量的轉化。關于感應電路的電流、能量和電量的計算,可以借助穩(wěn)恒電流一章中閉合電路歐姆定律的知識。但是,在處理什么是“外電路”、什么是“內電路”的問題上,常常需要不同尋常的眼光。我們這里分兩種情形歸納如果發(fā)電是“動生”的,內電路

15、就是(切割運動部分;如果發(fā)電是“感生”的,內、外電路很難分清,需要具體問題具體分析,并適當運用等效思想。(內電路中的電動勢分布還可能不均勻。【例題6】如圖10-15所示,均勻導體做成的半徑為R 的形環(huán),內套半徑為R/2的無限長螺線管,其內部的均勻磁場隨時間正比例地增大,B = kt ,試求導體環(huán)直徑兩端M 、N 的電勢差U MN ?！窘庹f】將圖10-15中的左、中、右三段導體分別標示為1、2、3 ,它們均為電源,電動勢分別為 1 =41kR 2(-arctg2,2 =3 =41kR 2 arctg2 設導體單位長度電阻為,三“電源”的內阻分別為 r 1 = r 3 =R ,r 2 = 2R應用

16、楞次定律判斷電動勢的方向后,不難得出它們的連接方式如圖10-16所示。 然后,我們用戴維南定理解圖10-16中的電流I , 最后 U MN = Ir 1 -1 =133221321133123r r r r r r r r r r r r += 【答案】U MN =41kR 2(arctg2 - +24。2、受中學階段數(shù)學工具的制約,在精確解不可求的情況下,將物理過程近似處理,或在解題過程中做近似處理常常是必要的。【例題7】在圖10-17所示的裝置中,重G = 0.50N 、寬L = 20cm 的型導體置于水銀槽中,空間存在區(qū)域很窄(恰好覆蓋住導體的、磁感應強度B = 2.0T 的勻強磁場?，F(xiàn)

17、將開關K 合上后,導體立即跳離水銀槽,且跳起的最大高度h = 3.2cm ,重力加速度g = 10m/s 2 ,忽略電源內阻。(1若通電時間t = 0.01s ,忽略導體加速過程產生的感 應電動勢,求通電過程流過導體的電量;(2如果回路外總電阻R = 0.10,則導體重回水銀槽瞬間,消耗在回路中的電功率是多少?【解說】解第(1問時,本來因為導體運動而形成的反電動勢(感應電動勢是存在的,這里只能忽略;磁場又是僅僅覆蓋住導體的,這就意味著導體棒跳離水銀槽后可以認為是豎直上拋運動。對上拋過程,v 0 =gh 2對導體離開水銀槽過程,(F -G t = mv 0綜合以上兩式,即 BLq - Gt =

18、m gh 2,由此可解q 。如果說第(1問的近似處理重在過程的話,第(2則在解題的規(guī)律運用上也不得不運用一些令人難以接受的“近似處理”P =R(2感+(起跳時不計感應電動勢,進入水銀槽,又沒有忽略感其中 感= BLv 0則只有追尋到導體離開的過程,= I R =tqR (這里的問題就大了,I 是電流對時間的平均值,而在P = R(2感+中的應該取方均根值.即交流電的“有效值”才是嚴謹?shù)?但是,在這里求有效值幾乎是不可能的,因此也就只能勉為其難了。【答案】(1電量為0.1125C ;(2瞬時電功率為20.88W 。第三講 自感、互感及其它一、自感1、自感現(xiàn)象:電路中因自身電流變化而引起感應電動勢

19、的現(xiàn)象。2、自感電動勢:自感現(xiàn)象中產生的電動勢自= -LtI L 為自感系數(shù),簡稱自感或電感。對于N 匝閉合回路,L = N I,*對長直螺線管,L =n 2V (其中V 為螺線管體積;若無鐵芯,減小為0。值得注意的是,隨著L 、tI的增大,自可以很大,但是自感電流卻不會隨之增大,定量的計算(解微分方程表明,自感電流只會在初始電流的基礎上呈指數(shù)函數(shù)減小.。 【例題8】在圖10-18所示的電路中,= 12V ,r = 1.0,R 1 = 2.0,R 2 = 9.0,R 3 = 15,L = 2.0H ?，F(xiàn)讓K 先與A 接通,然后迅速撥至B ,求自感線圈上可產生的最大自 感電動勢。【解說】如果選擇

20、定義式求解,tI不知,故這里只能根據(jù)自感電流的變化規(guī)律解題。在不做特別說明的情況下,忽略L 的直流電阻。K 接A 時,L 上的穩(wěn)恒電流I = 1.0A ;K 接B 后,將L 視為電動勢為自的電源,i =32R R +自i 取極大值I 時(K 接B 后的初始時刻,自極大?！敬鸢浮?4V 。 二、互感與變壓器1、互感:兩線圈靠近放置,當1中有變化電流時,2中會感應出電流,若2中的感應電流仍是變化的,則它又會激發(fā)磁場并在1中形成電磁感應,這種顯現(xiàn)稱為互感。 互感電動勢:12 =-MtI 1 ,21 = -MtI 2 ,其中M 為互感系數(shù)。 2、變壓器:兩個(或多個有互感耦合的靜止線圈的組合叫變壓器。 接電源的線圈叫原線圈,接負載的叫副線圈。理想變壓器:無銅損(導線焦耳熱、鐵損(渦流能耗、磁損(漏磁通,空載電流無窮小的變壓器,即 P 入 = P 出 。 對于原、副線圈一對一的理想變壓器,有 u 1 = -1 = -(-n 1t1 u 2 = 2 = -n 2t2即原、副線圈電壓瞬時值21u u = -21n n但有效值 21U U = 21n n聯(lián)系功率關系,可得21I I = 12n n三、暫態(tài)過程由一個穩(wěn)態(tài)向另一個穩(wěn)態(tài)過渡的過程叫暫態(tài)過程。 1、RL 暫態(tài)特性對圖10-20所示的電路,K 合上“過程”的電流i 變化情形如圖10-21所示。L 在兩個穩(wěn)態(tài)的等效:初態(tài)斷路;末態(tài)短路。 對