輔助角公式的推導(dǎo)

1、輔助角公式。$由6 + /?85。=，。2 +Z?2 sin(6 + °)的推導(dǎo)在三角函數(shù)中，有一種常見(jiàn)而重要的題型，即化asin夕+ /?cosg為一個(gè)角的 一個(gè)三角函數(shù)的形式，進(jìn)而求原函數(shù)的周期、值域、單調(diào)區(qū)間等.為了幫助學(xué)生記憶和掌握這種題型的解答方法，教師們總結(jié)出公式asin8 + cos<9 =J/ + sin(e + 0asine + bcos8 = Jo2 +b?cos(，- 9),讓-教學(xué)中常見(jiàn)的的推導(dǎo)方法教學(xué)中常見(jiàn)的推導(dǎo)過(guò)程與方法如下1 .引例例 1求證：百sin。+cos6Z =2 s i n (a+ )=2 cos (a ).63其證法是從右往左展開(kāi)證明，

2、也可以從左往右“湊”，使等式得到證明，并得出 結(jié)論：可見(jiàn)， JHsina+cosa可以化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式.一般地,as inJ+bcos。是否可以化為一個(gè)角的三角函數(shù)形式呢？2 .輔助角公式的推導(dǎo)例2化asing + bcos。為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式.解：asind +bc o s 6 =1a2 + / ( 八 " = sin 6+ . " 二 cost ),. ab® 令,-=c os(Z?,-二s i n(p ,J/ +/ Ja2 +b-則 a sinO+bco s 0 =ja + b2 (s i n/co s 夕+ c osOsi n (p)=y

3、ja2 +b2 si n ( 6 + 0),(其中 tan9 = 2)Cl-、， Qb八令 ,= =sin6? , ,- =c o s 0 ,則 asinp +b cosyja1 +b2 ja2 +b20 = yla+b2 ( s in。s i n(p +c o s 8cos(p) = JcT + b2 c os(6-g),(其中 tan.其中w的大小可以由s in0、c o s 9的符號(hào)確定"的象限，再由tan"的 值求出.或由tan0 =2和(a, b)所在的象限來(lái)確定.a推導(dǎo)之后，是配套的例題和大量的練習(xí).但是這種推導(dǎo)方法有兩個(gè)問(wèn)題：一是為什么要令, "二c

4、o S(P， "一產(chǎn)i n?讓學(xué)生費(fèi)解.二是這種 “規(guī)定”式的推導(dǎo)，學(xué)生難記 Ja2 +/72易忘、易錯(cuò)！.讓輔助角公式。sin夕+ b cos9=J/ +b2 sin(9 + 0)來(lái)得更自然能否讓讓輔助角公式來(lái)得更自然些？這是我多少年來(lái)一直思考的問(wèn)題.2 0 09年春.我乂一次代2008級(jí)學(xué)生時(shí)，終于想出一種與三角函數(shù)的定義銜接乂通俗 易懂的教學(xué)推導(dǎo)方法.數(shù)的形式，無(wú)需化簡(jiǎn).故有abW0.1 .在平面直角坐標(biāo)系中，以a為橫坐 標(biāo),b為縱坐標(biāo)描一點(diǎn)P (a, b)如圖1所示，則總有一個(gè)角中,它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.設(shè)0P二r , r=yja2 +/,由三角函數(shù)的定義知bbsi"一

5、 r，r Ja' +b-aaco s(p = =.r荷+從所以 a s i nO+bco s 0y/a2 +b2 cos9 si n0的終邊X p(a.b)0x圖10 +yla2 +b2 s i n(p c o sO首先要說(shuō)明，若a=0或b=0時(shí)，asinO + bcos6已經(jīng)是一個(gè)角的一個(gè)三角函2.若在平面直角坐標(biāo)系中，以b為 橫坐標(biāo)，以a為縱坐標(biāo)可以描點(diǎn)P( b, a), 如圖2所示，則總有一個(gè)角9的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) P (b, a),設(shè) 0P=r,則 r=ya2 + .由夕的終邊1 / P(b.a) /O+ b2 sin(8 + o).(其中三角函數(shù)的定義知a as i n（p = -

6、f,r yja- +b-b bCOS（P = =.=.r Ja2 +b2asinO + bcos。= &+ b1 sincpsmO + yja1 +b2 cos 9cos 6=yja2 +b2cos（0-（p）.（其中 t a n（p- - ） b例3 化百sin夕+ cos d為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式.解：在坐標(biāo)系中描點(diǎn)P（ 5/3,1）,設(shè)角0的終邊過(guò)點(diǎn)P,則o P =r =J（途 j +=2. si nq二;,cos（p=-./ /3 Sin 0 + COS 0 =2cos （p sin 0 +2sin （p c os 3 = 2si ncy/3（夕 + 9）. tan （p

7、 -（D = -F69 + 2%），百Sind + COS，=2s i n（ + ）. ）6經(jīng)過(guò)多次的運(yùn)用，同學(xué)們可以在教師的指導(dǎo)下，總結(jié)出輔助角公式>Ja2 +b2asi n 0 + b cos 0 = /a+bn6+ / b CGS0）+b? sin（e + 0）,（其中 tang=2）.或者 y1a2+b2aa s in6 +bcos3 =+/?'（a2 +b2八b八s in 0+ 1= cos 0 ）=da2 + byjcr +b2 COS（ -（P）,（其中 tan0='）b我想這樣的推導(dǎo)，學(xué)生理解起來(lái)會(huì)容易得多，而且也更容易理解a s i n9+bc os。湊

8、成，儲(chǔ)+必（j_=sin6+ i b ；co s 6）的道理，以及為 什么只有兩種形式的結(jié)果.例4化sin c cos a為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式.解法一：點(diǎn)（1,一石）在第四象限.0P=2.設(shè)角°過(guò)P點(diǎn).則sino = g, cos.滿足條件的最小正角為*乃，（p ="兀+ 2k兀，k eZ. v3sin a -聒cos a = 2( sin a - - cos a) = 2(sin a cos cp + cos a sin cp)=2 sin(a + p) = 2 sin(cz + 2 乃 + 2k 兀)=2 sin(a + -兀).解法二：點(diǎn)P （-5/3,1）在

9、第二象限，o P=2 ,設(shè)角8過(guò)P點(diǎn).則sin, cos? = -.滿足條件的最小正角為-7T 226(p = 7r + 2k7r,k e Z.6>/3sine?-73 cos a = 2( sin a cos a) = 2(sin a sin 9 + cos a cos 9)2=2 cos(a -(p) = 1 cos(a *;r - 2k不)=2 cos(a -4).66三.關(guān)于輔助角的范圍問(wèn)題由 asine + Z?cos8 =/ sin（e + g）中，點(diǎn) P（a,b）的位置可知，終邊過(guò)點(diǎn)P（a,b）的角可能有四種情況（第一象限、第二象限、第三象限、第四象 限）.設(shè)滿足條件的最小

10、正角為例，則9 =例+2%）.由誘導(dǎo)公式（一）知osine+ bcos® = Ja? +b2 sin（6 + °） = J。？ +b sin（e + %）.其中/e （0,2兀）,tan , （p、的具體位置由sin/與cos/決定，例的大小由tan cp= 一決定. a類似地，a sin e + b cgs e = da2 +cos（e-r）, 9 的終邊過(guò)點(diǎn) P （b,a ）,設(shè)滿足條件的最小正角為/，則e = p+2Qr.由誘導(dǎo)公式有asinO + bcosO = ja2 +b2 cos（。-9） = Ja2 +b2 cos（0-）,其中口 £（0,2乃），

11、tan/=乜，份的位置由sin份和cos0確定，份的大小由 btan?2 =上確定. b注意：一般地，四。七；以后沒(méi)有特別說(shuō)明時(shí)，角外（或夕2）是所求 的輔助角.四.關(guān)于輔助角公式的靈活應(yīng)用引入輔助角公式的主要目的是化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.在實(shí)際中結(jié)果是化為正弦還 是化為余弦要具體問(wèn)題具體分析,還有一個(gè)重要問(wèn)題是，并不是每次都要化為 asin0 + bcos0 =+b2 sin（ + ） 的 形 式 或osine + bcos。= /a2 +b cos（-（p2）的形式.可以利用兩角和與差的正、 余弦公式靈活處理.例5化下列三角函數(shù)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式.（1） y/Ssina-cosa ；/

12、、& . /乃 、娓 /4、1.2) sin(c()H cos(a).6363>/3 sinar - cos a = 2( sin a - cos a)解：(1)22=2(sin a cos - - cos a sin ) = 2 sin(a -)666JI.4、冊(cè) 產(chǎn) 、sin(- -a) + cos(- - a) 63636rl.產(chǎn)百萬(wàn)=-sm(- - a) + cos(- - a) J， 32Jy/2 . 7T7T 71. 7T=不-sin(y - a) cos + cos(y -a) sin -= 33在本例第（1）小題中，a = >/3,b = -l,我們并沒(méi)有取

13、點(diǎn)而取的是點(diǎn)P（J，1）.也就是說(shuō)，當(dāng)。、b中至少有一個(gè)是負(fù)值時(shí).我們可以取P （卜巾問(wèn)），或者P （|©,同）.這樣確定的角/（或%）是銳角，就更加方便.-7rl7t 1例 6 已知向量a = (cos(x + ),1), b = (cos(x + ),),77* c = (sin(x + ),0),求函數(shù)/?*) = “。一bc +2的最大值及相應(yīng)的x的值.解:h(x) = cos2(x + )-sin(x + )cos* + ) + 2 3233 小 2 、1+ COS(2x+萬(wàn))1cca1.25sin(2x+一)+ 一2 232=-cos(2x + -7V)-sin(2x +

14、 -) + 223232 V2 2_V22cos(2x + %)sin(2x + 萬(wàn))+ 2/c 11、 ccos(2x + -t) + 2-2+四 2這時(shí) 2x + 兀=2k小 x = k7r7r.k G Z .1224此處,若轉(zhuǎn)化為兩角和與差的正弦公式不僅麻繁,而且易錯(cuò),請(qǐng)讀者一試.五.與輔助角有關(guān)的應(yīng)用題與輔助角有關(guān)的應(yīng)用題在實(shí)際中也比較常見(jiàn),而且涉及輔角的范圍，在相應(yīng) 范圍內(nèi)求三角函數(shù)的最值往往是個(gè)難點(diǎn).例7如圖3 ,記扇OAB的中心角為45',半徑為1,矩形PQMN內(nèi)接于這個(gè)扇 形，求矩形的對(duì)角線/的最小值.解:連結(jié)0M,設(shè)NAOM=d .則MQ = sin。，0 Q=cos。，OP二PN=sin，.PQ=OQ 0 P = cos 夕 一 sinZ2