新人教版八年級上冊數(shù)學(xué)[等邊三角形(基礎(chǔ))知識點整理及重點題型梳理]

1、精品文檔用心整理新人教版八年級上冊數(shù)學(xué)知識點梳理及鞏固練習(xí)重難點突破課外機構(gòu)補習(xí)優(yōu)秀資料等邊三角形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標】1. 掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定.2. 掌握含30角的直角三角形的一個主要性質(zhì)3. 熟練運用等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進行推理和計算【要點梳理】【 389303 等邊三角形，知識要點】要點一、等邊三角形等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點詮釋：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形也就是說等腰三角形包括等邊三角形要點二、等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個內(nèi)角都相等，并且每一個內(nèi)角都等于60 .要點三、等邊三角形的判定等邊三角形的判定：（

2、1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（ 2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（ 3）有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形要點四、含30的直角三角形含 30的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果有一個銳角是30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.要點詮釋：這個定理的前提條件是“在直角三角形中”，是證明直角三角形中一邊等于另一邊（斜邊）的一半的重要方法之一，通常用于證明邊的倍數(shù)關(guān)系.【典型例題】類型一、等邊三角形1、 （ 2014 秋 ?崇州市期末）如圖，已知ABC 為等邊三角形，D為 BC延長線上的一點，CE平分ACD， CE=BD，求證：ADE 為等邊三角形【思路點撥】由條件可以容

3、易證明ABDACE，進一步得出AD=AE，BAD= CAE，加上 DAE=60，即可證明ADE 為等邊三角形【答案與解析】證明：ABC為等邊三角形，B= ACB=6，0AB=AC，即ACD=12，0 CE平分ACD，1= 2=60，在 ABD和 ACE中， ABDA CE（ SAS） ， AD=AE， BAD= CAE，又BAC=6，0DAE=6，0ADE為等邊三角形【總結(jié)升華】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵找出判定三角形等邊的條件舉一反三：【變式】等邊ABC， P 為 BC上一點，含30、60的直角三角板60角的頂點落在點P上， 使三角板繞P 點旋轉(zhuǎn)如圖， 當(dāng) P為 BC的

4、三等分點，且 PE AB時，判斷 EPF的形狀 .【答案】解： PE AB，B 60 ，因此直角三角形PEB中，BE 1 BP 1 BC PC，23BPE 30，EPF 60， FP BC，BC 60，BE PC，PEBFPC 90，BEPCPF， PE PF，EPF 60，EPF是等邊三角形2、已知：如圖，ABC中，ABAC，ABC60，ADCE，求BPD的度數(shù).證明：在ABC中，AB AC，ABC 60ABC為等邊三角形（有一個角為60的等腰三角形是等邊三角形） AC BC，AECB 60在 ADC 和 CEB中AC CB （已證 ）AECB（已證）AD CE （已知 ）ADC CEB （

5、 SAS）12（全等三角形對應(yīng)角相等）DPB23（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和）DPB13ACBDPB 60【總結(jié)升華】這道題利用等邊三角形每個角都是60的性質(zhì)，并借助全等三角形，和三角形的外角性質(zhì)使問題得以解決.舉一反三：【變式】 （ 2014 秋 ?黔西南州期末）ABC 為正三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BM=C，N BN與 AM相交于Q點，AQN等于多少度？【答案】解：證法一 ABC為正三角形ABC= C= BAC=6，0AB=BC在AMB和BNC中， AMB BNC（ SAS） ，ANB= C+ NBC=60 + NBC， MAN= BAC

6、MAB=60MAB，又NBC= MAB（全等三角形對應(yīng)角相等），ANB+ MAN=12，0又ANQ+ MAN+ AQN=18，0AQN=18 0ANBMAN， AQN=18（ 0ANB+ MAN） ，=180120 =60， BOM = AQN=6（全等三角形對應(yīng)角相等）0證法二 ABC為正三角形ABC= C= BAC=6，0AB=BC在AMB和BNC中AMBBNC（ SAS）ANB= C+ NBC=60 + NBC MAN= BAC MAB又NBC= MAB（全等三角形對應(yīng)角相等）ANB+ MAN=12 0又ANQ+ MAN+ AQN=18 0AQN=18 0ANBMAB AQN=18（ 0

7、ANB+ MAN）=180120 =60、 （ 1 ）如圖，點O是線段AD的中點，分別以AO和 DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和 BD，相交于點E，連接BC，求AEB的大??；2）如圖，OAB固定不動，保持OCD的形狀和大小不變，將OCD繞著點O旋轉(zhuǎn)（OAB和OCD不能重疊），求AEB的大小【思路點撥】（ 1 ） 由于OCD和OAB都是等邊三角形，可得OD OC OB OA， 進而求出BDA與CAD的大小及關(guān)系，則可求解AEB（2）旋轉(zhuǎn)后，BOD與AOC仍然保持全等，ACOBDO，AEDACODCOCDBBDO60CDB60CDO120，從而得到AEB的值

8、.【答案與解析】證明： （ 1 ） O是 AD的中點， AO DO又等邊AOB和等邊COD AO DO CO BO，DOCBOCAOB 60 CAOACOBDODBO30AEBBDO CAO 60（ 2） BODDOCBOC，AOC AOBBOCBODAOC在BOD與AOC中，BO AOBOD AOCDO COBOD AOC（ SAS）ACO BDO AED ACO DCO CDBBDO 60CDB 60CDO 6060120AEB 180AED 60 .【總結(jié)升華】這道題利用等邊三角形每個角都是60的性質(zhì)，并借助全等三角形，和三角形的外角性質(zhì)使問題加以解決.舉一反三：【變式】如圖，已知ABC

9、和CDE都是等邊三角形，AD、 BE交于點F，求AFB 的度數(shù) .【答案】解：ABC和CDE都是等邊三角形， AC BC， CE CD，又ACBBCDECDBCD，即ACDBCE，ACDBCE，CADCBE，設(shè) AD與 BC相交于P點，在ACP和BFP中，有一對對頂角，AFBACB60類型二、含30的直角三角形4、 （ 2016 春龍口市期末）如圖，E 是AOB的平分線上一點，EC OB， ED OA， C、D 是垂足，連接CD交 OE于點F，若AOB=60（ 1 ）求證：OCD是等邊三角形；（ 2）若EF=5，求線段OE的長.【答案與解析】解： （1 ）點E 是AOB的平分線上一點，ECOB，EDOA，C、D是垂足， DE=CE，在 Rt ODE和 Rt OCE中，DE CEOE OE Rt ODE Rt OCE（ LH） OD=O，CAOB=60， OCD是等邊三角形；（ 2） OCD是等邊三角形，OF是角平分線， OE DC，AOB=60，AOE= BOE=30，ODF=60， ED OA，EDF=30， DE=2EF=10， OE=2DE=20.【總結(jié)升華】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)， 30的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵