西華大學專升本高等數(shù)學考試題

1、精品文檔西華大學2014年專升本( )三、求解下列各題(本大題共 4 小題，每小題 6 分,考試試題總計 240 分)1、求極限lim xsinx.(高等數(shù)學)二、 填空題(把答案填在括號中。 本大題共 題，每小題 3 分，總計 15 分)f( x) f(0)(5 個小解:sin xlim xx 0sinxln xlim ex 0lim sinxlnxlim xln xlimlnx1、f (0) a,則 limx 0ex 0ex 0ex 0lim2、f (x)的一個原函數(shù)是sin x，則xf (x) dxxcosx sinx C微分方程y5y 6y2 x3xe的特解可設(shè)為x( axb)e4、幕

2、級數(shù)-的和函數(shù)為(n 0n!xe)23t18 35、設(shè)A,則A1()5 85 2二、判斷題(把答案填在題中括號中，正確的打v.錯誤的打，本大題共 5 個小題，每小題 2 分，總計 10 分)1、點(0,0)是曲線 y sinx的拐點(v)2、直線1y 3 z 與平面2x5z 80 相互215垂直.(v)3、如果函數(shù)z f (x, y)在點(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)偏導數(shù)- ,一都存在，則函數(shù)zf (x, y)在點()2x(xo, yo)處可微.(4、un是常數(shù)項級數(shù)，若lim un0,則Un收n 1nn 1斂.()5、設(shè) A,B 是同型矩陣，則(A B)(A2 2B) A B .e01.2、

3、求不定積分xsin xcosxdx.解:xsin xcosxdx1xd cos2x41 1 xcos2x sin 2x C42ln2 i-3、求定積分, ex1dx.0-xsin 2xdx21xcos2x cos2xdx解：令t v ex1，則x ln(1 t2)，ln2故0.ex1dx1t-01t21 t1t201dtt22(t arctant)2(14).4、設(shè)z xyf(x2y,xy2),其中f是可微函數(shù),十z z求一,.x y解：二yf(x2y,x y2) xy(2x f?),xxf (x2y,x y2) xy(f12yf2).y四、解答題(本大題共 6 小題，每小題 6 分，總計36

4、 分)1、設(shè)f (x)2 -1x sin ,x x0,在x0處可導，求ax b, x 0精品文檔精品文檔a,b的值.1審斂法的極限形式得ln(1)發(fā)散。n 1n解：因為f (x)在x0處可導, 故f(x)在x連續(xù)。即lim f (x)x 0f(0)b.計算二重積分sin x2y2dxdy，其中Dlim f(x) limx 0 x 0f(x)limx 0 x2si n-0.x0.f (0) f (0),f (0)lirfx 0f (0)limx 0故af(0)xlim直f(0)x 0 x2.1 Cx sin 0 xxlimx 00.2 求微分方程2dxy e D (x,y)|2x2y242.li

5、mx 0ax b 0a,xsi n10,x2y ex0的通解.2dxdx2XX2xIqe e e dx C2xC2 x xe (eC)3、判斷下列正項級數(shù)的斂散性3 ( 1)n3nn 13解：因為03 ( 1)n3n4上收斂3nn 13(等比級數(shù))，由比較審斂法得1)nn收斂。(2)ln(1n 11-)n解：因為limnln(1丄)11，又1發(fā)散，由比較n 1n解sin x2y2dxdyD2 2d rsi nrdr0sin rrdrdD22 r sin rdr22 rd cosr222 r cosrcosrdr2 2()sin r25、求IL(Xey)dx (y xey)dy，其中L是圓 周x

6、2y22x從點A(2,0)到原點0(0,0)的一段 弧.解 ：P(x, y) x ey,Q(x, y) y xey，Pey，衛(wèi)ey,故上y xy無關(guān)。選擇新路徑AO，故Q，曲線積分與路徑xILuuur(x ey)dx (y xey)dy2(X1)dx4.ax12x23x34,6、當a, b取何值時，方程組2x2bx32,2ax12x23x36有唯一解、無解、有無窮多解？解：增廣矩陣精品文檔a234a234(A|B)02b202b22a2360232a23402b200b3 0當b 3時，r(A|B) r(A)23，方程組有無上連續(xù)，在(0, X)內(nèi)可導且由拉格朗日中值定理得:窮多個解。當b 3

7、時，r(A| B)r(A) 3,方程組有唯一解。五、證明題(本大題共 3 小題，每題 5 分，總計 15 分)1、設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)且f (x)0,又xx1g(x)af(t)dtb帀dt，證明：g(x) 0在(a,b)內(nèi)有且僅有一個根證明：易知g(x)在a,b上連續(xù),g(a)a1dtbf(t)bg(b)af(t)dtb1 dt 0,af(t)0,g(a)g(b) 0，故由零點定理得，方程g (x)0在(a,b)內(nèi)至少存在一個根。又g (x)f(x)1f(x)0,故方程g(x) 0在(a,b)內(nèi)最多有一個根。綜上所述，方程g(x) 0在(a,b)內(nèi)有且僅有一個根.x2、求證：當x 0時，有不等式ln(1 x) x.1 x證明：設(shè)f(x) ln(1 x)，易知函數(shù)f (x)在0, x(x)1r_xf(x) f(0) xf ()，x即f(x) f(0)，其中o x.111x又1，因此ln(1 x) x.1 x