第六講 行列式之性質(zhì)(II)

1、第六講 行列式之性質(zhì)(II)在這一講中繼續(xù)介紹兩個(gè)矩陣相乘後的行列式值應(yīng)如何計(jì)算。由(5-18)及(5-19)兩式可得(6-1)由於左項(xiàng)是矩陣A乘上一個(gè)上三角矩陣後的行列式，利用性質(zhì)5.3可求得(6-2)其中、正好是此上三角矩陣的對(duì)角線元素，且D11正好是，所以比較(6-1)與(6-2)兩式後，可得，這是一個(gè)非常重要的公式，列為一個(gè)性質(zhì)如下：性質(zhì)6.1 兩個(gè)同階的方陣A和B滿足(6-3)接著介紹一個(gè)基本的矩陣，稱(chēng)為單位矩陣，表為I，其對(duì)角線元素都是1，而且其餘的元素皆為0，有時(shí)為了刻意表示其階數(shù)為n，而寫(xiě)為In，例如：， ， (6-4)單位矩陣扮演一個(gè)很重要的角色，那就是任何同階的矩陣乘上單位

2、矩陣後，矩陣不變，即A I=A。出現(xiàn)了單位矩陣後，緊跟著而來(lái)的問(wèn)題是：矩陣A乘上什麼矩陣才會(huì)等於單位矩陣I？答案是：反矩陣A-1！亦即A A-1 =I，要知道反矩陣的長(zhǎng)相為何，必須先觀察底下的矩陣運(yùn)算：(6-5)其中稱(chēng)為矩陣A的伴隨矩陣，在這個(gè)矩陣中第j行第k列的元素不是Akj，而是Ajk。上式所依據(jù)的公式仍然是第四講所列的四個(gè)與伴隨因子相關(guān)的重要公式。顯然地，由(6-5)式可以知道，當(dāng)時(shí)，在兩邊同除，則(6-6)換句話說(shuō)，就是我們所稱(chēng)的反矩陣，即。同樣的觀察方式，可以知道底下的運(yùn)算也是正確的：(6-7)在的條件下，兩邊同除，則(6-6)此式代表矩陣的反矩陣不論是乘在前或乘在後，其結(jié)果都是單位

3、矩陣，表示式如下：(6-7)其中(6-8)應(yīng)注意的是當(dāng)方陣的行列式值為0時(shí)，該方陣沒(méi)有反矩陣。由於單位矩陣的行列式值為1，所以利用性質(zhì)6.1的(6-3)式及(6-7)式，可求得反矩陣的行列式值，先將(6-7)式各項(xiàng)取行列式值如下：(6-9)利用(6-3)式可得，故得到如下的性質(zhì)：性質(zhì)6.2 方陣A的反矩陣行列式值為(6-10)進(jìn)一步由(6-8)式可知(6-11)若兩邊同取行列式值，則(6-12)接著就是一個(gè)簡(jiǎn)單但是常讓人犯錯(cuò)的問(wèn)題了，要注意上式的右項(xiàng)不能夠直接將數(shù)值提出行列式外，換句話說(shuō)(6-13)必須利用到底下的性質(zhì)：性質(zhì)6.3 一個(gè)n階方陣A乘上 k倍後，其行列式值增加為原來(lái)的kn倍，即(6-14)這是因?yàn)閗A代表矩陣A中之所有元素都乘上k倍，因此利用(3-3)式計(jì)算行列式值時(shí)，每一個(gè)元素都必須乘上k，使得(6-15)驗(yàn)證了上面之性質(zhì)，故由(6-10)、(6-12)及(6-15)三式可得(6-16)寫(xiě)成如下之性質(zhì)：性質(zhì)6.4伴隨矩陣的行列式為 (6-17)以上從第一講至第六講所介紹的是矩陣最基本的運(yùn)算與性質(zhì)，這些都將被應(yīng)用到矩陣處理的各種科技中，大家一定要熟記並且加以演練，從下一講開(kāi)始，正式進(jìn)入矩陣的各種應(yīng)用，首先將介紹大家最熟悉的多元一次聯(lián)立方程組，解法雖然相同，但是在原理解釋上，將大量使用矩陣運(yùn)算，繼續(xù)讀下去吧！有問(wèn)題時(shí)歡迎隨時(shí)上網(wǎng)提出。練習(xí)6-1