指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、福函數(shù)的圖像與性質(zhì)(一)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.根式(1)根式的概念11根式的概念符號表示備注如果xn =a，那么x叫做a的n次方根Nn不且n eN *當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次中a零的n次方根是零方根是一個負數(shù)當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，它們互為相反數(shù):a ( a> 0)負數(shù)沒有偶次方根(2) .兩個重要公式n為奇數(shù)n為偶數(shù)a n a n 二 a( a 0) I a尸八 ！ a(a 0)(n a ) n = a (注意a必須使n 7 a有意義)182.有理數(shù)指數(shù)事(1)窯的有關(guān)概念正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)窯正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)事0的正分數(shù)指數(shù)窯等于m

2、n _ n m4 V : aa a m a n -1a、-m(>0,、4 ，且 > 1)；m n N n1二 l(a >0, m、n= N ,且 n> 1)n am0,0的負分數(shù)指數(shù)窯沒有意義通常利用分數(shù)指數(shù)事進行根式的運算。注：分數(shù)指數(shù)窯與根式可以互化,(2)有理數(shù)指數(shù)窯的性質(zhì)aras=ar+s(a>0,r、s Q); r s rs(a ) =a (a>0,r、s G Q)；(ab)r=arbs(a>0,b>0,r G Q)；.3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)x y=a圖象a>10<a<1R定義域值域性質(zhì)（1 ）過定點（0,1）(2)

3、當(dāng) x>0 時，y>1;當(dāng) x>0 時，0<y<1;x<0 時，y>1x<0 時，0<y<1在（-吧,+ 0 ）上是增函數(shù)（3）在（-8 , +沖）上是減函數(shù)注：如圖所示，是指數(shù)函數(shù)（1) y=ax, (2) y=b x,(3) ,y=c x (4) ,y=d x的圖象，如何確定底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系?提示：在圖中作直線與它們圖象交點的縱坐標(biāo)即為它們各自底數(shù)的值，即c1>d1>1>a 1>b1,/. c>d>1>a>b。即無論在軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大。（二）

4、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)的概念（1）對數(shù)的定義如果ax =N （a >0且a*1）,那么數(shù)x叫做以a為底，N的對數(shù)，記作 x = log叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。（2）幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a a、0,且a *1N 10g a常用對數(shù)底數(shù)為101g N自然對數(shù)底數(shù)為e1n N2、對數(shù)的性質(zhì)與運算法則i_Ng01 a（1）對數(shù)的性質(zhì)（a0,且 a 1)： 10ga 0, 0g1(2)對數(shù)的重要公式：換底公式：10gb N二loga N (a,b均為大于零且不等于1,N >：0)； 10ga b10g a bl 二 o10gba(3)對數(shù)的運算法則：如果a注0,且a

5、Hl , M：>0, N > 0那么D log a (MN )二 log a M + log a N ;2)logaMlog a M-log a N ；N log a M n二 n log a M ( n £ R)；3) log m bn 二 一 log a b。3、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖 象(1)定義域：(0,+ a)(2)值域：R(3)當(dāng)x=1時，y=0即過定點(1,0)(4)當(dāng)0 Mx(1時，y之(一個0)；當(dāng) A時， w-x1y(0,)(5)在(0,+ 8 )上為增函數(shù)(4)當(dāng)x1時，丫之產(chǎn)，0);當(dāng) << 時， +-C-0 x1y(0,)(5)在(0

6、,+如)上為減函數(shù)注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù)a, b, c, d與1的大小關(guān)系提示：作一直線y=1,該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)。0<c<d<1<a<b.4、反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=log ax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱。（三）窯函數(shù)1、窯函數(shù)的定義形如y=x " （ a G R）的函數(shù)稱為窯函數(shù)，其中 x是自變量，a為常數(shù)注：窯函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別在于自變量的位置不同，窯函數(shù)的自變量在底數(shù)位置，而指數(shù)函數(shù)的自變量在指數(shù)位置。2、窯函數(shù)的圖象i注：在上圖第一象限中如何確定y=x 3, y=x 2, y=x

7、 , y x2 , y=x -1方法：可畫出x=x 0；i當(dāng)xo>1時，按交點的高低，從高到低依次為y=x 3, y=x 2, y=x , y 領(lǐng),y=x -1 ；1當(dāng)0Vx 0<1時，按交點的高低，從高到低依次為y=x -1, y= x 2 , y=x , y=x2, y=x3、窯函數(shù)的性質(zhì)y=xy=x2y=x 31/x2-1 y=x定義域RRR0 ,+30 )x | x R 且 x 0值域R0,)R0,)fW R且力ty 1 y y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x 0,乜）時，增；x L ,0時，減增增x （0,+ S ）時，減；x （-國，0）時，減定點(1,1)三：例題詮

8、釋，舉一反三知識點1 :指數(shù)窯的化簡與求值例1.(2007 育才A)3 2_ 2_ 11(3-)3 (54 )0.5(0.0083( 0.02)- 2 (0.32) 2 0.0625 0.25(1)計算： 893 o 3 ka _8a b(2)變式:2化簡：4b323 ab a32 (a 323sa)a . aJT 53y V V a a(1)（2007執(zhí)信A）化簡下列各式（其中各字母均為正數(shù)）1a b5b31-2-=-r2"3a b ( 3a b)(4ab ).知識點2:指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2.（2009廣附A）已知實數(shù)a、b滿足等式（）=（1）b ,下列五個關(guān)系式: 0V b

9、v a; a< bv 0; 0 V a< b; bv a< 0; a=b.A.1個B.2 個其中不可能成立的關(guān)系式有C.3個D.4個變式：（2010華附A）若直線 y = 2a與函數(shù)y = | ax1 | （ a> 0且a黃1）的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是知識點3:指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例3.(2010省實B）已知定義域為2x b . 皿R 的函數(shù) f (x) =是奇函數(shù)。2x 12(n)（田）變式:求b的值;判斷函數(shù)若對任意的f（ x的單調(diào)性；f（t2-2t）'f（2t 2 - k嚴0恒成立，求k的取值范圍.ex(2010東莞B)設(shè) a >0,f(x)=

10、_-ax e 是R上的偶函數(shù).（1）求a的值;（2）求證：f（x）在（0, +°0）上是增函數(shù).知識點4:對數(shù)式的化簡與求值例 4. ( 2010 云浮 A)計算：(1)10g 2r3 (2 2(1g 2 ) 2+1g 2、1g5+(1g+1g 2 1 ;(3) 1 lg 32 -4 lg Mlg 2,* - VV2493變式：(2010惠州A)化簡求值.(1) log 2 I 7 +log 212- 1 log 242-1;1 482(2) (lg2) 2+lg2 lg50+lg25;(3) (log 32+log 92) - (log 43+log 83).知識點5:對數(shù)函數(shù)的性

11、質(zhì)例5. (2011深圳A)對于0 < log a (1 a) log a (a ); aa 1 ,給出下列四個不等式： log a (件 a) > log a );a(A )與(B)與(變式：(2011韶關(guān)A)已知1 . 1+ :漳5a1 a * a a ；其中成立的是()C)與(D)與0V av 1,b > 1,ab > 1,則 log a-1/0g a b,log bj bb的大小關(guān)系是11A.loga1Joga blog b1bb11C. logab5；ogb二：log abb例6. ( 2010廣州B)已知函數(shù) f(x)=logB. log a b log a

12、 -log b-11D.log b：7* log a-log a bbbax(a > 0,a中1),如果對于任意xG 3, +s)都有|f(x)|>1成立，試求a的取值范圍、一 ，一一一3變式：(2010廠雅B)已知函數(shù)f ( x) =log 2(x 2-ax-a)在區(qū)間(- oo ,1-上是單調(diào)通減函數(shù).求實數(shù)a的取值范圍.知識點6:窯函數(shù)的圖象及應(yīng)用例7.(2009 佛山B)已知點(J2, 2)在窯函數(shù)f (x)的圖象上，點在募函數(shù)g (x)的圖4象上.問當(dāng) x 為何值時有：(1 ) f (x)>g ( x) ; ( 2 )f (x) =g (x) ; (3) f (x)

13、 < g ( x).是單調(diào)減函數(shù).(1)求函數(shù)f(x);變式：(2009揭陽B)已知窯函數(shù)f(x)=xm# m 3 ( mG Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0, +oo)上的奇偶性(2)討論 F ( x)營a 仃 f (x)xf x四：方向預(yù)測、勝利在望1 . ( A)函數(shù)f ( x) =lg 1二x的定義域為()x 41 U (4, +00 )A. (1, 4) B. 1, 4) C.(巴 1) U (4, +00 ) D.(巴2 . ( A )以下四個數(shù)中的最大者是()22(A) (ln2)(B) ln(ln2)(C) ln(D) ln2 3 ( B)設(shè)a>1 ,函數(shù)f(x)=log

14、 ax在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為Jjm(A) 2(B) 2(C) 2V 2(D) 44. ( A )已知f (x)是周期為 2的奇函數(shù)，當(dāng)635a = f (工 b = fj ), c =f ( 4 則(0 V x< 1 時，f ( x) 4g x.設(shè))(A ) a 也 <c ( B) b 毋 c<2ex 1 , x 2,5. ( B)設(shè) f(x)=12log 3 (x2 1), x 2(A) ( 1, 2) 3 ( 3, +8)(C) ( 1 , 2) M ( 3 10 , +°0):(C) c<:b Q (D) c <a b則不等式f(x

15、)>2的解集為()(B) (V 10 , +8)(D) ( 1 , 2)6. ( A)設(shè) P = log 2 3 , Q-log3 2 , A. RQP <B. PRQ <R =log 2 (log 3 2),則()C. qRPD . #PQ5227. (A)已知 log 1 b < log 1 a 目og 1 c，則()2228.A . 2b >2a >2cB. 2a 第2b >2cC.2c 2b2a(B)下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是區(qū)間匚1,1上單調(diào)遞減的是(D. 2c> 2 a> 2b)(A ) f ( x)= sin x(B) f (

16、 x) = - x(C) f (x) -1(a xa ' )(D)29. ( A)函數(shù)y =、，啕1 (3 x-2)的定義域是：( 2A 1,：) B (32 ： ) C32 ,1 D ( 32,110.(A)已知函數(shù)1A .4y =log 1 xy= kx的圖象有公共點a,且點a的橫坐標(biāo)為4111B. C.-跖D,142211 . ( B)若函數(shù)f (x)=ax *b 1( a>0且a 1)的圖象經(jīng)過第二 、三、四象限，則一定 有()3倍，則a=1(D)一 2,在區(qū)間 (一°O, 0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間 (0, + °0)上單調(diào)遞減a .0 W仔且b 0 c

17、. 0 醫(yī) 1 b 0： . 若函數(shù) =12(B)f (x) log a(上_22A.B.4213.(A)已知 0vxv yv av1,(A ) log a ( xy)<0(C) 1 (log a (xy 尸214. ( A)已知 f ( x6 ) =log4-(A ) (B)315. ( B)函數(shù) y= lg|x| (A .是偶函數(shù)，在區(qū)間 (一(C.是奇函數(shù)，在區(qū)間 (0,B . a刁且b七D . a H 且 b，0.< < 在區(qū)間a, 2ax(0 a 1)-1 1C. =D.42則有()(B) 0 <log a ( xy)*'1(D) log a (xy

18、) > 22 x ,那么f (8)等于()8(C) 18)R 0)上單調(diào)遞增 B .是低 + oo)上單調(diào)遞增D .是奇16. ( A)函數(shù) ylg( 4 -x )的定義域是17- (B)函數(shù)y總1 "(a>0, a 1)的圖象恒過定點A，若點 A在直線11mx ny 1 _O(mn 、 0)上，則_的最小值為m ne, x0一118. ( A) < g( x)= 1則 g( g ( ) Inx, x0.219. ( B)若函數(shù)f(x) = V x2t ax：一 的定義域為 R,則a的取值范圍為 20. (B)若函數(shù) f (x) = loga ( x+ x x 2

19、+ 2a2 )是奇函數(shù)，貝U a=.21.(B)已知函數(shù)性._ 11+，求函數(shù)f ( x) x 10g 2 1 xf ( x)的定義域，弁討論它的奇偶性和單調(diào)參考答案：三：例題詮釋，舉一反三例 1.解：(1)2, ( 2) a2911313一 "一 一 =_5a 2一 .92=- 5 1變式：解：(1 ) 1,(32)6b 3(a3b 2)44 ab例2.解：B1 1變式：解：(0, 1 )；2_5 ab2 . (3)1104ab例 3.解：(I) b = 1(n)減函數(shù)。變式：解：例4.解:7121-變式：解： -(1) a=1. (2)略(1) -1.(2) 1.332W二_3 .( 2) 2.( 3) _548422 log 2 2 210g 2 224例5.解：選D。變式：解：C 例 6.解：(1 , 3 U ： 1 - 1)3變式：解：a|2-2V3 < av 2例 7.解：(1)當(dāng) x>1 或 x<_1 時，f ( x) > g (x);(2)當(dāng) x =士 1 時，f (x) = g( x);(3)當(dāng) Lx 1 且 x 薩時，f (