勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

1、勾股定理的教學(xué)設(shè)計(jì)（第一課時(shí)）一、教案背景（一）教材分析這節(jié)課是九年制義務(wù)教育初級中學(xué)教材華師大版八年級上冊第十四章第一 節(jié)勾股定理第一課時(shí)：直角三角形三邊的關(guān)系。勾股定理是反映自然界基本 規(guī)律的一條重要結(jié)論，它是直角三角形的一條重要性質(zhì)，揭示了一個(gè)直角三角形 三邊之間的數(shù)量關(guān)系。它把三角形有一個(gè)直角的“形”的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為三邊之間 的“數(shù)”的關(guān)系，它是數(shù)形結(jié)合的典范。它可以解決許多直角三角形中的計(jì)算問 題，勾股定理有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中有 著廣泛的作用。是初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)之一。學(xué)生通過對勾股定理的學(xué)習(xí)，可 以在原有的基礎(chǔ)上對直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識和理解。

2、 也可了解我國古代在勾 股定理研究方面的成就，激發(fā)熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情。（二）學(xué)情分析1 通過初一一年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，初二學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)有較強(qiáng)的好奇心和求知欲，他們能探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī) 律，也能較清楚地表達(dá)解決問題的過程及所獲得的解題經(jīng)驗(yàn)，他們愿意對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行討論，并敢于對不懂的地方和不同的觀點(diǎn)提出自己的疑問。2. 考慮到三角尺學(xué)生天天在用，較為熟悉，但真正仔細(xì)研究過三角尺的同學(xué) 并不多，通過這樣的情景設(shè)計(jì)，能非常簡單地將學(xué)生的注意力引向本節(jié)課的本質(zhì)。3. 以與勾股定理有關(guān)的人文歷史知識為背景展開對勾股定理的認(rèn)識，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。（三

3、）教學(xué)設(shè)想1 課型：新授課2設(shè)計(jì)理念：本教案以學(xué)生手中舞動的三角尺為知識背景展開，以勾股定 理在古今中外的發(fā)展史為主線貫穿課堂始終， 讓學(xué)生對勾股定理的發(fā)展過程有所 了解，讓他們感受勾股定理的豐富文化內(nèi)涵，體驗(yàn)勾股定理的探索和運(yùn)用過程， 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，特別是通過向?qū)W生介紹我國古代在勾股定理研究和運(yùn) 用方面的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的 民族自豪感和探究創(chuàng)新的精神。3 教學(xué)思路：探索結(jié)論-得出結(jié)論-歷史介紹-初步應(yīng)用結(jié)論-應(yīng)用結(jié)論解決 簡單的實(shí)際問題。二、教學(xué)目標(biāo)（一）知識目標(biāo)1 理解回顧直角三角形中三角之間的關(guān)系，掌握新知即三邊之間關(guān)系。2理解勾股定

4、理的內(nèi)涵，并能用勾股定理進(jìn)行簡單的計(jì)算3.通過畫圖實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷探索勾股定理的過程，發(fā)展合情推理的能力， 體會數(shù)形結(jié)合的思想。（二）能力目標(biāo)1. 掌握勾股定理的內(nèi)容，初步會用它進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，即已知兩邊，運(yùn)用勾 股定理列式求第三邊。2. 應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題（探索性問題和應(yīng)用性問題）。3. 經(jīng)歷探索勾股定理內(nèi)容的過程，學(xué)會簡單的合情推理與數(shù)學(xué)說理。4 通過勾股定理的簡單應(yīng)用，能用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界和有條理思考 與表達(dá)的能力，感受勾股定理的價(jià)值，也能寫出簡單的推理格式，以培養(yǎng)學(xué)生的 邏輯思維能力。（三）情感與價(jià)值觀培養(yǎng)學(xué)生參與的積極性，及合作交流的意識。學(xué)生通過適當(dāng)訓(xùn)練，養(yǎng)成數(shù)學(xué) 說理的

5、習(xí)慣，逐步體驗(yàn)數(shù)學(xué)說理的重要性。在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣。 引導(dǎo)學(xué)生積極探索，注意觀察生活，體驗(yàn)生活中的數(shù)學(xué)。通過了解我國古代在勾股定理研究方面的成就， 激發(fā)熱愛祖國，熱愛祖國悠 久文化的思想感情。三、重點(diǎn)難點(diǎn)剖析（一）重點(diǎn)1 體驗(yàn)勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程，勾股定理的內(nèi)涵。2勾股定理的簡單應(yīng)用，即在直角三角形中，知道兩邊，可以求第三邊。（二）難點(diǎn)1 勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程。2.應(yīng)用勾股定理時(shí)斜邊或直角的確定，推理格式的正確書寫。3 靈活運(yùn)用勾股定理。（三）難點(diǎn)成因在勾股定理的探索和驗(yàn)證過程中，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，而學(xué)生已有的知 識能力水平很難從代數(shù)表示聯(lián)想到有

6、關(guān)的幾何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代 數(shù)表示，這對學(xué)生具有一定的挑戰(zhàn)性。（四）難點(diǎn)突破為了突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，在探索勾股定理的過程中，按特殊到一般的思想， 引導(dǎo)學(xué)生先由特殊的直角三角形開始研究， 然后從正方形的面積聯(lián)想a2、b2、c2； 得出結(jié)論后，不把重點(diǎn)放在勾股定理的驗(yàn)證過程中，而只是簡單介紹勾股歷史， 簡單提到古今中外對勾股定理有很多證明方法，而對于怎樣證明則作為課后閱讀 留給學(xué)生自己探索。然后直接進(jìn)入勾股定理的應(yīng)用。 在教學(xué)中，給學(xué)生提供充分 實(shí)踐、探索和交流的時(shí)間，鼓勵他們積極思考解決問題的辦法， 并與他人進(jìn)行合 作與交流。另外對練習(xí)的精選，也選擇學(xué)生易錯(cuò)的題型，讓他們養(yǎng)成先確定斜

7、邊 或直角再利用定理的習(xí)慣。四、教學(xué)策略及教法設(shè)計(jì)（一）教學(xué)策略課堂組織策略：創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活、生動有趣的問題情境，以熟悉的學(xué)習(xí)工 具一三角板為導(dǎo)入，開展有效的數(shù)學(xué)活動，組織學(xué)生主動參與、勤于動手、積極 思考，使他們在自主探究與合作交流的過程中， 從整體上把握勾股定理探索的方 法。學(xué)生學(xué)習(xí)策略：明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，了解所需掌握的知識，在教師的組織、引導(dǎo)、 點(diǎn)撥下主動地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動，從而真正有效地 理解和掌握勾股定理。輔助策略：借助多媒體課件，使學(xué)生直觀形象地觀察、動手操作。（二）教法設(shè)計(jì)探索法：讓學(xué)生在探索直角三角形三邊關(guān)系的活動中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。討論法：在學(xué)生進(jìn)行

8、了自主探索之后，讓他們進(jìn)行合作交流，使他們互相促 進(jìn)、共同學(xué)習(xí)。練習(xí)法：教學(xué)中通過對形的計(jì)算，使學(xué)生了解數(shù)對形的意義，使數(shù)形結(jié)合在 勾股定理教學(xué)中得到充分的展示。并精心設(shè)計(jì)隨堂變式練習(xí)，鞏固和提高學(xué)生的 認(rèn)知水平。五、教學(xué)過程師生雙邊教學(xué)活動教學(xué)手記教學(xué)過程學(xué)生活動新知 介紹這是新課，要掌握的哦。1、情景 創(chuàng)設(shè)由身邊熟悉的工具-三角板開 始新課根據(jù)三角板拓展思維回答相 關(guān)冋題(1) 情景 導(dǎo)入同學(xué)們，當(dāng)你每天手握三角 尺繪制自己的宏偉藍(lán)圖時(shí)，你是 否仔細(xì)研究過三角尺，它作為工 具在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用非凡，同 時(shí)，它又可以作為直角三角形家 族的典型代表。那么，從數(shù)學(xué)的 角度來看，你對這兩位老朋友了

9、解多少呢？角：(1)有一個(gè)角是直角/ C=(2)兩個(gè)銳角互余；/ A+Z B=邊：(1) 三角形兩邊的和大 于第三邊；a+b>c(2) 在直角三角形中，斜 邊大于任意一條直角邊； c>a, c> b(3) 對于比較特殊的直角 三角形，如果一個(gè)銳角等于 30°,那么它所對的直角邊等 于斜邊的一半.這不是 本課重 占學(xué)八、? J 生回答 時(shí)教師 也簡略 而過， 不必板 書和過 多延 伸。(2) 設(shè)置 問題一般的直角三角形，三邊之 間究竟具有怎樣的等量關(guān)系 呢？今天我們就來探索這一小 秘密。(板書課題：直角三角形三邊關(guān) 系)學(xué)生渴求直角三角形的新知， 積極期待。2、合作探

10、究探索討論交流(1) 嘗試畫直角 ABC使兩直角邊的長 分別是3cm 4cm用直尺量出斜同學(xué)們幸喜地發(fā)現(xiàn)正好斜邊 正好是5作圖邊的長度（2） 發(fā)現(xiàn) 猜想找出這三條邊有什么等量關(guān) 系？學(xué)生基于這個(gè)特殊的直角三 角形，發(fā)現(xiàn)了很多特殊的關(guān) 系。如（3+5） -2=4 3+4十 2=5 不能否 定，因 此再要 求畫一 個(gè)直角 三角形（如果再畫一個(gè)直角三角形，使 兩直角邊的長分別是5cm 12cm 用直尺量出斜邊的長度。再找出這三條邊有什么等量關(guān) 系。）兩個(gè)直 角三角 形比 較，同 學(xué)自然明白上 面的式 子僅符 合第一 個(gè)直角 三角 形，而 它們共 有的規(guī) 律就是“兩直 角邊的 平方 和，等 于斜邊 的

11、平 方?！?在學(xué)生 畫圖的 前提 下，再 展示幾 何畫板 課件， 動畫演 示直角 三角形gt - aC. Ut It三邊關(guān) 系。鞏 固（3） 提示 幫助如圖，以這個(gè)直角三角形三條邊 的長度為邊長，作三個(gè)正方形， 計(jì)算這三個(gè)正方形的面積，并觀 察這三個(gè)正方形的面積有何等 量關(guān)系。3、師生互動（1） 總結(jié) 特殊 規(guī)律我們可以得到下面的結(jié)論：（1）以這個(gè)直角三角形兩直角 邊為邊長的兩個(gè)正方形的面積 之和等于以斜邊為邊長的正方 形的面積。S+S=S3（2）這個(gè)直角三角形的兩直角 邊的平方和等于斜邊的平方。如 32+42=52學(xué)生總 結(jié)出 來，教 師板書（2） 提出 一般 規(guī)律是不是所有直角三角形都有這

12、 個(gè)性質(zhì)呢？世界上許多數(shù)學(xué)家，先后用不同 方法證明了這個(gè)結(jié)論.我國把 它稱為“勾股定理”4、定理展示勾股定理（gou-gu theorem）: 文字語言：在一個(gè)直角三角形 中：兩直角邊的平方和等于斜邊 的平方。也就是說：如果直角三角形的兩 直角邊為，斜邊為那么幾何語言： ABC是直角三角 形（已知）（勾股定理）板書“勾股 定理”ABC是直角三 角形（已知）（勾股 定理）5、勾股史話人們對勾股定理的認(rèn)識經(jīng)歷了 從特殊到一般的過程，這在世界 許多地區(qū)的數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)中都 有反映.（1） 三邊 古稱同學(xué)們知道勾股定理這個(gè)名稱 的由來嗎？這是源于直角三角形的三邊古弦稱.股曲成直角，上半部分稱為"

13、;勾",下半部分稱為"股".我國古代學(xué)者又把直角三角形看作一把弓箭，所以，在直角三角形中，我們一般把較短的直角邊叫做 勾,較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.早在幾千年前西周時(shí)期,商高就當(dāng)時(shí)學(xué)(2)商咼發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)論,商高定理生很激IIII勾在古漢語里，人們將手臂彎定理即為勾股定理.勾股定理在我國古代數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，千百年來逐漸形成了一門以勾股定理及其應(yīng)用為核心的中國式的幾何學(xué).動，為祖國的歷史感到驕傲(3)II勾股定理"在國外，尤其在西學(xué)生很專心的聽著老師的講學(xué)生聽百牛方被稱為"畢達(dá)哥拉斯定理II完這個(gè)定理或"百牛定理他發(fā)現(xiàn)勾

14、股定介紹理后高興異常，命令他的學(xué)生宰了一百頭牛來慶祝這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，因此勾股定理又叫做"百牛定理".1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤排列而成.這張郵票也是為了紀(jì)念勾股定理這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn).可畢達(dá)哥拉斯要比商高晚500多年，就因?yàn)槲覈菚r(shí)沒能流傳出去，所以國外只承認(rèn)"畢達(dá)哥拉斯定理II后，嘆聲一片，紛紛為祖國道不平，我順勢做起了思想工作，“現(xiàn)在科學(xué)如此發(fā)達(dá)，我們的學(xué)習(xí)條件又如此的好,我們更應(yīng)努力學(xué)習(xí),繼續(xù)去完成前人未完成的事業(yè)，把-ic祖國的r". -Ph / 丫、貢獻(xiàn)發(fā)揚(yáng)光大，為 祖國爭 光！”學(xué)生都 會意地 笑了。6、達(dá)標(biāo)反饋(1) 新知

15、應(yīng)用例 1、在 Rt ABC中, A吐 c,BC =a, AO b, / B=90 .(1) 已知 a=6,b=10,求c ；(2) 已知 a=24,c=25,求 b。尋找已知條件列式求解強(qiáng)調(diào)先 確定直 角或斜 邊的重 要性練習(xí)1、 在Rt ABC中, AB=c,BC= a, AO b, / B=90 已知a=3,b=4,求c(2) 在 Rt ABC中, A吐c,BC = a, AO b,/ C=90已知a=3,b=4,求c(3) 如果一個(gè)直角三角形 的兩條邊長分別是3厘米和4厘 米，那么這個(gè)三角形的周長是多 少厘米？在前兩 個(gè)練習(xí) 的鋪墊 下，學(xué) 生很容 易理解 練習(xí)3 的用意、。例2、將長

16、為5.41米的梯子AC勾股定(2)斜靠在墻上，BC長為2.16米,理簡單拓展引申求梯子上端A到墻的底端B的距的實(shí)際應(yīng)用,離AB.(精確到0.01米)體會數(shù) 學(xué)源于 生活、 用于生 活的意 義。強(qiáng) 調(diào)要畫 圖，以 轉(zhuǎn)化到 直角三 角形中 解題是例2練習(xí)2、將長為5米的梯子AC斜靠在墻上，梯腳與墻的距離BC長為2米，若將梯腳與墻的距離 拉到3米，求梯子的垂直咼度下 降多少米？(精確到0.01米)的變式 練習(xí)， 體會數(shù) 學(xué)的樂 趣。(3) 鞏固 練習(xí)(1) 直角三角形一條直角邊與斜邊分別長為3cm 5cm則第三 邊長為cm(2) 在厶 ABC中,/ C= Rt/ .若 a = 2、b= 3,則 c=

17、可根據(jù) 時(shí)間隨 機(jī)而 定。若 a= 5、c = 13,則 b=;若 c = 61、b= 11,則 a=(3)如果等邊三角形的周長為12cm則它的面積為cm(4)如圖，隔湖有 兩點(diǎn)A B,從與BA方向成直角 的BC方向上的點(diǎn)C,測得CA=50m,CB=40i求 AB.課外延伸這個(gè)部 分供學(xué) 生課后 探索，感受數(shù) 學(xué)情趣7、定理 證明世界上很多數(shù)學(xué)家用多種方法 證明了勾股定理，據(jù)說至今已經(jīng) 找到的證明方法有五百多種，且 每年還會有所增加。下面我們就借助拼圖的方法，探 究證明的思路.(1) 趙爽 弦圖上圖稱為“弦圖”，或“勾股圓 方圖”，最早是由三國時(shí)期的數(shù) 學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注 時(shí)給出的下圖是

18、在北京召開的 2002年國際數(shù)學(xué)家大會(TCW 2002)的會標(biāo)，其圖案正是“弦 圖”，它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué) 成就.設(shè)問：你能用不同方法表示大正 方形的面積嗎？用四個(gè)準(zhǔn)備好的完全相同的直角三角形，如圖所示的圖 形大正方形的面積可以表示 為又可以表示為對比兩種表示方法，看看能 不能得到勾股定理的結(jié)論（2）用四個(gè)準(zhǔn)備好的完全相同的直 辛卜角三角形，如圖所示的圖形 松圖設(shè)問：你能用不同方法表示大正 方形的面積嗎？大正方形的面積可以表 示為又可以表示為對比兩種表示方法，看看能 不能得到勾股定理的結(jié)論（3）勾股定理是數(shù)學(xué)史上的一顆璀 總統(tǒng)璨明珠，它的證明在數(shù)學(xué)史上屢 證法 創(chuàng)奇跡，從畢達(dá)哥拉斯到現(xiàn)在，吸引著世界上無數(shù)的數(shù)學(xué)家、物 理學(xué)家、數(shù)學(xué)愛好者對它的探 究，甚至政界要人一一美國第20 任總統(tǒng)加菲爾德，也加入到對它 的探索證明中，如圖是他當(dāng)年設(shè) 計(jì)的證明方法。設(shè)問：你能用不同方法表示大正 方形的面積嗎？大梯形的面積可以表示為又可以表示為 對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論8、 這個(gè)不起眼的圖形有什么作用讓學(xué)生勾股 呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)感受數(shù)之樹學(xué)家 畢達(dá)哥拉斯就是利用這個(gè) 圖形也證明了勾股定理.你能利用勾股定理的圖形設(shè)計(jì) 出一棵勾股樹嗎？用這美麗的 數(shù)學(xué)圖形來裝飾我們的教室吧！學(xué)的 美。9、勾股名題九章算術(shù)中的勾股問