用待定系數(shù)法求數(shù)解析式

1、用待定系數(shù)法求數(shù)解析式作者:日期:5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)主要內(nèi)容之一，也是聯(lián)系高中數(shù)學(xué)的重要紐帶。它是初中代數(shù)中“函數(shù)及其 圖象”中的難點，求二次函數(shù)的解析式又是重點。求二次函數(shù)的解析式，要觀察題目中給出的條件，靈活 選用方法。一般地，有三個點且點不是特殊點時，一般采用一般式；若有三個點，且有二點為函數(shù)圖像與 x軸交點時，采用交點式；若有頂點時，一般采用頂點式。同時，在采用交點式時，要注意二次項系數(shù)a 不能漏掉。應(yīng)根據(jù)題目的特點靈活選用二次函數(shù)解析式的形式，運用待定系數(shù)法求解。即：根據(jù)已知條 件列出關(guān)于a、b、c或h、k及xi、X2的方程（注意有幾個未知數(shù)就列出幾個方

2、程）；解方程組求出 待定的系數(shù)；寫出解析式，要化為一般式.一般式：y=ax2+bx+c（a工0）頂點式：y=a（x-h） 2+ k（a工0）， （h,k ）是拋物線頂點坐標(biāo)。（3）交點式：y=a（x-x i）（x-x 2）（a工0），xi，X2分別是拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo).思路1、已知圖象過三點，求二次函數(shù)的解析式，一般用它的一般形式：較方便。例1圖像過A（0，1）,B（1，2）,C（2，-1）三點，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式.解：分析：因為圖像過三點，且三個點不屬于特殊點。因此，只能米用一般式求解。設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c拋物線過（0，1）, （1, 2），（2, -1 ）C=

3、1a+b+c=24a+2b+c=-1解之得a=-2，b=3， c=1 ；函數(shù)解析式為y=-2x 2+3x+1小結(jié)：此題是典型的根據(jù)三點坐標(biāo)求其解析式，關(guān)鍵是：（1）熟悉待定系數(shù)法；（2）點在函數(shù)圖象上時，點的坐標(biāo)滿足此函數(shù)的解析式；（3）會解簡單的三元一次方程組。思路2、已知頂點坐標(biāo)，對稱軸、最大值或最小值，求二次函數(shù)解析式，一般用它的頂點式較方便。例2已知一個二次函數(shù)的圖象過點（0，1），它的頂點坐標(biāo)是（8，9），求這個二次函數(shù)的關(guān) 系式.分析 因為這個二次函數(shù)的圖象的頂點是（8, 9），因此，可以設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y二a （x 8） 2+ 9. 根據(jù)它的圖象過點（0，1）,容易確定a的值.小結(jié)

4、：此題利用頂點式求解較易，用一般式也可以求出，但仍要利用頂點坐標(biāo)公式。試一試, 比較一下。思路3、已知圖象與 軸兩交點坐標(biāo)，可用交點的形式，其中X1、X2,為拋物線與 軸的交點的橫坐標(biāo)，也是一元二次方程的兩個根。一般地，函數(shù)y = ax2 + bx+ c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)即為方程 ax2 + bx+ c = 0的解；當(dāng)二 次函數(shù)y = ax2+ bx + c的函數(shù)值為0時，相應(yīng)的自變量的值即為方程 ax2 + bx + c = 0的解，這一結(jié) 論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。 所以，已知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)時，可選用二 次函數(shù)的交點式：y= a（x x”（x X2），其中X1

5、 , X2為兩交點的橫坐標(biāo)。例3已知二次函數(shù)的圖象過（-2 , 0）、（4, 0）、（0, 3）三點，求這個二次函數(shù)的關(guān)系式.解 設(shè)所求二次函數(shù)為，y=a（x+2）（x-4），由于這個函數(shù)的圖象過（0, 3）,可以得到a（0+2） X （0-4）=3解這個方程組，得 a= - 3 所以：y= - 3 （x+2）（x-4）=3x2 -x 3.8884所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是 y= 3x23x 3.84思路4、已知圖象與 軸兩交點間距離，求解析式，可用丨X1-X2|2=（X1+X2）2 -2x1X2的形式來求，其中丨X1-X 2 |為兩交點之間的距離,X1、X2為圖象與 軸相交的交點的橫坐標(biāo)。

6、4、二次函數(shù)的圖象與 軸兩交點之間的距離是2,且過（2, 1）、（一 1, 8）兩點，求此二次函 數(shù)的解析式。思路5、由已知圖象的平移求解析式，一般是把已知圖象的解析式寫成y=a（x-h） 2+ k的形式，若圖象向左（右）移動 m個單位，括號里-h的值就加（減）m個單位；若圖象向上（下）平移 n個單位，k的值就加（減）n個單位，即左加右減，上加下減，平移后的拋物線形狀不變，大小不 變。5、將拋物線y= 5（x 1）2+ 3先向左平移2個單位，再向下平移4個單位后，得到拋物線的解析式 為檢測題：根據(jù)下列條件求二次函數(shù)解析式1、 已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過了點A （ 0, 1）, B （1, 0）

7、, C （ 1, 2）;2、 已知拋物線頂點 P（ 1 , 8），且過點A（0， 6）;3、 二次函數(shù)圖象經(jīng)過點A （ 1 , 0）, B （3, 0）, C （4, 10）;3、 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4， 3），并且當(dāng)x=3時有最大值4;4、 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過一次函數(shù)y x+3的圖象與x軸、y軸的交點，且過（1 , 1）;5、已知二次函數(shù)的圖象過（一 1, 9）、（ 1, 3）和（3, 5）三點；6、 二次函數(shù)當(dāng)x=8時，函數(shù)有最大值9,且圖象過點（0, 1）7、 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過 （0 , 0） , （1 , 2） , （-1 , -4）三點。8、已知二次函數(shù)的圖象頂點是

8、（-1 , 2）,且經(jīng)過（1 , -3 ）。9、已知二次函數(shù) y= x + px + q的圖象的頂點是（5 , 2）。10、 已知二次函數(shù) y= ax + bx + c的圖象過A（0， 5） , B（5 , 0）兩點，它的對稱軸為直線x= 2。11、 已知二次函數(shù)圖象與 x軸交點（2,0 ） （-1,0）與y軸交點是（0 , -1 ）。12、 已知拋物線y=ax+bx+c與x軸交于A B兩點，它們的橫坐標(biāo)為-1和3,與y軸的交點C的縱坐標(biāo)為3。13、 已知直線y=x-3與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋物線經(jīng)過A、B兩點，且對稱軸方程為x=1。14、已知一拋物線與 x軸的交點是 A （-2 ,

9、 0）、B （1, 0）,且經(jīng)過點 C （2, 8）。15、 已知拋物線的頂點在原點，且過點（2, 8）;16、已知拋物線的頂點是（一 1, 2）,且過點（1, 10）;17、 已知拋物線過三點：（0， 2）、（1, 0）、（ 2, 3）.18、 已知拋物線過三點：（一1 , 0）、（1, 0）、（0, 3）.求函數(shù)關(guān)系式；寫出開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)；19、 已知拋物線的頂點在原點，且過點（3, 27）;20、已知拋物線的頂點在（1, 2）,且過點（2, 3）;21、 已知拋物線過三點：（一1 , 2）, （ 0, 1） , （ 2, 7）.22、二次函數(shù)對稱軸x=8,函數(shù)最大值9,且圖象過點（0, 1）。2 3、已知拋物線的頂點（一 1, 2）且圖象經(jīng)過（1 , 10）。24、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且當(dāng)x = 1時，y有最小值一1。25、已知二次函數(shù)的圖象過（3, 0）、（2, -3 ）、二點，且對稱軸是x=1.26. 有一個拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4 m跨度為10 m.把它的截面邊緣的圖形放在如圖所示的直角坐標(biāo)系中.求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;如圖，在