用待定系數(shù)法求數(shù)解析式

1、用待定系數(shù)法求數(shù)解析式作者:日期:5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)主要內(nèi)容之一，也是聯(lián)系高中數(shù)學(xué)的重要紐帶。它是初中代數(shù)中“函數(shù)及其 圖象”中的難點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式又是重點(diǎn)。求二次函數(shù)的解析式，要觀察題目中給出的條件，靈活 選用方法。一般地，有三個(gè)點(diǎn)且點(diǎn)不是特殊點(diǎn)時(shí)，一般采用一般式；若有三個(gè)點(diǎn)，且有二點(diǎn)為函數(shù)圖像與 x軸交點(diǎn)時(shí)，采用交點(diǎn)式；若有頂點(diǎn)時(shí)，一般采用頂點(diǎn)式。同時(shí)，在采用交點(diǎn)式時(shí)，要注意二次項(xiàng)系數(shù)a 不能漏掉。應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn)靈活選用二次函數(shù)解析式的形式，運(yùn)用待定系數(shù)法求解。即：根據(jù)已知條 件列出關(guān)于a、b、c或h、k及xi、X2的方程（注意有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方

2、程）；解方程組求出 待定的系數(shù)；寫(xiě)出解析式，要化為一般式.一般式：y=ax2+bx+c（a工0）頂點(diǎn)式：y=a（x-h） 2+ k（a工0）， （h,k ）是拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)。（3）交點(diǎn)式：y=a（x-x i）（x-x 2）（a工0），xi，X2分別是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).思路1、已知圖象過(guò)三點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式，一般用它的一般形式：較方便。例1圖像過(guò)A（0，1）,B（1，2）,C（2，-1）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式.解：分析：因?yàn)閳D像過(guò)三點(diǎn)，且三個(gè)點(diǎn)不屬于特殊點(diǎn)。因此，只能米用一般式求解。設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c拋物線過(guò)（0，1）, （1, 2），（2, -1 ）C=

3、1a+b+c=24a+2b+c=-1解之得a=-2，b=3， c=1 ；函數(shù)解析式為y=-2x 2+3x+1小結(jié)：此題是典型的根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)求其解析式，關(guān)鍵是：（1）熟悉待定系數(shù)法；（2）點(diǎn)在函數(shù)圖象上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足此函數(shù)的解析式；（3）會(huì)解簡(jiǎn)單的三元一次方程組。思路2、已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸、最大值或最小值，求二次函數(shù)解析式，一般用它的頂點(diǎn)式較方便。例2已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（8，9），求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān) 系式.分析 因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)是（8, 9），因此，可以設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y二a （x 8） 2+ 9. 根據(jù)它的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1）,容易確定a的值.小結(jié)

4、：此題利用頂點(diǎn)式求解較易，用一般式也可以求出，但仍要利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式。試一試, 比較一下。思路3、已知圖象與 軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)，可用交點(diǎn)的形式，其中X1、X2,為拋物線與 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也是一元二次方程的兩個(gè)根。一般地，函數(shù)y = ax2 + bx+ c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程 ax2 + bx+ c = 0的解；當(dāng)二 次函數(shù)y = ax2+ bx + c的函數(shù)值為0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為方程 ax2 + bx + c = 0的解，這一結(jié) 論反映了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。 所以，已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可選用二 次函數(shù)的交點(diǎn)式：y= a（x x”（x X2），其中X1

5、 , X2為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。例3已知二次函數(shù)的圖象過(guò)（-2 , 0）、（4, 0）、（0, 3）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式.解 設(shè)所求二次函數(shù)為，y=a（x+2）（x-4），由于這個(gè)函數(shù)的圖象過(guò)（0, 3）,可以得到a（0+2） X （0-4）=3解這個(gè)方程組，得 a= - 3 所以：y= - 3 （x+2）（x-4）=3x2 -x 3.8884所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是 y= 3x23x 3.84思路4、已知圖象與 軸兩交點(diǎn)間距離，求解析式，可用丨X1-X2|2=（X1+X2）2 -2x1X2的形式來(lái)求，其中丨X1-X 2 |為兩交點(diǎn)之間的距離,X1、X2為圖象與 軸相交的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

6、4、二次函數(shù)的圖象與 軸兩交點(diǎn)之間的距離是2,且過(guò)（2, 1）、（一 1, 8）兩點(diǎn)，求此二次函 數(shù)的解析式。思路5、由已知圖象的平移求解析式，一般是把已知圖象的解析式寫(xiě)成y=a（x-h） 2+ k的形式，若圖象向左（右）移動(dòng) m個(gè)單位，括號(hào)里-h的值就加（減）m個(gè)單位；若圖象向上（下）平移 n個(gè)單位，k的值就加（減）n個(gè)單位，即左加右減，上加下減，平移后的拋物線形狀不變，大小不 變。5、將拋物線y= 5（x 1）2+ 3先向左平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位后，得到拋物線的解析式 為檢測(cè)題：根據(jù)下列條件求二次函數(shù)解析式1、 已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)了點(diǎn)A （ 0, 1）, B （1, 0）

7、, C （ 1, 2）;2、 已知拋物線頂點(diǎn) P（ 1 , 8），且過(guò)點(diǎn)A（0， 6）;3、 二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （ 1 , 0）, B （3, 0）, C （4, 10）;3、 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4， 3），并且當(dāng)x=3時(shí)有最大值4;4、 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一次函數(shù)y x+3的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)，且過(guò)（1 , 1）;5、已知二次函數(shù)的圖象過(guò)（一 1, 9）、（ 1, 3）和（3, 5）三點(diǎn)；6、 二次函數(shù)當(dāng)x=8時(shí)，函數(shù)有最大值9,且圖象過(guò)點(diǎn)（0, 1）7、 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò) （0 , 0） , （1 , 2） , （-1 , -4）三點(diǎn)。8、已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)是

8、（-1 , 2）,且經(jīng)過(guò)（1 , -3 ）。9、已知二次函數(shù) y= x + px + q的圖象的頂點(diǎn)是（5 , 2）。10、 已知二次函數(shù) y= ax + bx + c的圖象過(guò)A（0， 5） , B（5 , 0）兩點(diǎn)，它的對(duì)稱(chēng)軸為直線x= 2。11、 已知二次函數(shù)圖象與 x軸交點(diǎn)（2,0 ） （-1,0）與y軸交點(diǎn)是（0 , -1 ）。12、 已知拋物線y=ax+bx+c與x軸交于A B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)為-1和3,與y軸的交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3。13、 已知直線y=x-3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1。14、已知一拋物線與 x軸的交點(diǎn)是 A （-2 ,

9、 0）、B （1, 0）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn) C （2, 8）。15、 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（2, 8）;16、已知拋物線的頂點(diǎn)是（一 1, 2）,且過(guò)點(diǎn)（1, 10）;17、 已知拋物線過(guò)三點(diǎn)：（0， 2）、（1, 0）、（ 2, 3）.18、 已知拋物線過(guò)三點(diǎn)：（一1 , 0）、（1, 0）、（0, 3）.求函數(shù)關(guān)系式；寫(xiě)出開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；19、 已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3, 27）;20、已知拋物線的頂點(diǎn)在（1, 2）,且過(guò)點(diǎn)（2, 3）;21、 已知拋物線過(guò)三點(diǎn)：（一1 , 2）, （ 0, 1） , （ 2, 7）.22、二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸x=8,函數(shù)最大值9,且圖象過(guò)點(diǎn)（0, 1）。2 3、已知拋物線的頂點(diǎn)（一 1, 2）且圖象經(jīng)過(guò)（1 , 10）。24、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且當(dāng)x = 1時(shí)，y有最小值一1。25、已知二次函數(shù)的圖象過(guò)（3, 0）、（2, -3 ）、二點(diǎn)，且對(duì)稱(chēng)軸是x=1.26. 有一個(gè)拋物線形的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為4 m跨度為10 m.把它的截面邊緣的圖形放在如圖所示的直角坐標(biāo)系中.求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;如圖，在