向量空間的定義和基本性質(zhì)

1、5.2 向量空間的定義和基本性質(zhì)授課題目：5.2 線性空間的定義和基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握線性空間的定義及基本性質(zhì)授課時數(shù)：3 學(xué)時教學(xué)重點(diǎn)：線性空間的定義及基本性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：性質(zhì)及有關(guān)結(jié)論的證明教學(xué)過程：一、線性空間的定義1.-引例定義產(chǎn)生的背景例子.設(shè),-, Fn,a,b F則向量的加法和數(shù)與向量的乘法滿足下述運(yùn)算律（1）:丄亠-?（3）零向量 0 對:療有 0 - :- = :（5）a（霊亠F） = ata （7）（ab）：=a（b：）這里：,-,-Fn,a,b F2.向量空間的定義一抽象出的數(shù)學(xué)本質(zhì)Def:設(shè) V 是(2)(4)對:匕，有-二使0(6)(a b)：= a：b：(8)

2、 1 ）=aa-a,b, - F，如果在集合V 中定義了一個叫做加法的代數(shù)運(yùn)算，且定義了FV 到 V 的一個個非空集合，其中的元素稱為向量。記作I：, ; F 是一個數(shù)域叫做純量乘法的代數(shù)運(yùn)算6) (a bp -a：b：7)(ab)a(b：)V 是 F 上的一個線性空間，并稱F 為基數(shù)域.3.進(jìn)一步的例子一一加深定義的理解例 1 :復(fù)數(shù)域 C 對復(fù)數(shù)的加法和實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的乘法作成實(shí)數(shù)域R 上的線性空間.例 2 :任意數(shù)域 F 可看作它自身的線性空間.例 3V =用其加法定義為:- ? - ?,數(shù)乘定義為=，則 V 是數(shù)域 F 上的線性空間.注：V=0對普通加法和乘法是數(shù)域F 上的線性空間，稱為零

3、空間.例 4 : 設(shè) F 是有理數(shù)域，V 是正實(shí)數(shù)集合，規(guī)定匚二-：-,aa（：, I V,a：二F）練習(xí) 集合 V 對規(guī)定的二，、是否作成數(shù)域 F 上的線性空間？V = FSga, ,an）二（bidb）（aib（,a2lb?,，a.0）,a、忌,，an） =（0,0, ,0）解 顯然 V 對，E滿足條件 1） 7），但對任意的（ai,a2, ,an） Fn有1、佝總,a） =（0,0,0）珂總,a）,故集合 V 對規(guī)定的不作成數(shù)域 F 上的線性空間.由此例可以看出，線性空間定義中的條件8）是獨(dú)立的，它不能由其他條件推出.二、線性空間的簡單性質(zhì)1、線性空間 V 的加法和純量乘法有以下基本性質(zhì)

4、.Th5.2.11） V 的零向量唯一，V 中每個向量的負(fù)向量是唯一的2） _（八）=:-證明：1）設(shè)Q,02是 V 的兩個零向量，則 00!002.設(shè)1, 2是的負(fù)向量，則有：=0,：2： 0,于是 0二 r V 亠很2）=（?）：心2 =0九二2二：2*由于負(fù)向量的唯一性，以后我們把的唯一負(fù)向量記作.2） 因二：（-）=0,所以-（一3） * 我們規(guī)定：_.（），且有-1.定理 5.2.2 對 F 的任意數(shù) a, b 和 V 中任意向量，：，則有1) 0: - : 0 = 0.2)= (一a)-a ,特別地,(1),-八.3)a：=0= a =0或：=0.4)a(：-)二a：- a：,(a

5、 - b)：- a：- b_：=證明：1)因?yàn)?= (00 = 0隈亠0.所以0=0.類似地可證二0 = 0.2)因?yàn)閍.工二aC；：；-( =) ) a 0二所以a( -：)是的負(fù)向量，即a(_：) _ _a：.同理可證(-a)=-a二.3)設(shè)a-0,女口果a = 0,貝U有aJF,于是a =1 a a(= a)a生(的i = a 0=0 .4)a(x)=aC：、(-：)=a工11a( -：)= a：-a：,(a-b)：=(a (-b)：=au ( -bp = aJb-：注：線性空間的定義中1匚=:-與定理 5.2.2 的性質(zhì) 3)在其他條件不變的情況下等價事實(shí)上，由線性空間的定義可推出定理

6、5.2.2 的性質(zhì) 3).反之，由線性空間定義中的條件1) 7)及定理 5.2.2 的性質(zhì) 3)可推得 1 :-:1 (1用)=1(1：(一：)因?yàn)?1 (V：) 1 (-:)=(1 1) :(-1):=1：(-1)：=0,由性質(zhì) 3)1-0所以仁=：.課堂討論題：檢驗(yàn)以下集合對于指定的線性運(yùn)算是否構(gòu)成相應(yīng)數(shù)域上的線性空間：1)起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在一條直線上的空間向量的全體作成的集合V，按通常集合向量的加 法及數(shù)乘運(yùn)算；2)V1=(X1,X2，Xn)|x1+X2 +Xn=1,x E FV2二(X1,X2, ,Xn)|xX2Xn= 0必F按通常數(shù)域 F 上 n 維向量的加法及乘法運(yùn)算；3)V3二X

7、|Tr(X) =0,X Fn nV3門數(shù)域F上n階對稱與反對稱方陣的全體按通常數(shù)域 F 上矩陣的加法及乘法運(yùn)算;4)V5=dx+a3X3卄+a2nM2nH1a* FV6=玄+4X +a2X2+ + +an= 1,a F按通常數(shù)域 F 上多項(xiàng)式的加法及數(shù)乘運(yùn)算；5） 全體實(shí)數(shù) R 的集合按通常數(shù)的加法與乘法運(yùn)算是否構(gòu)成復(fù)數(shù)域C 上線性空間？全體復(fù)數(shù)域 C 的集合按通常數(shù)的加法與乘法運(yùn)算是否構(gòu)成實(shí)數(shù)域R 上線性空間？6）數(shù)域 F 上的 n 階方陣全體，按通常數(shù)與矩陣乘法，但加法定義為A 二 B = AB BA三、子空間1、子空間的定義定義 2:子空間的定義：V 是 F 上一個線性空間，W 是 V

8、的一個非空子集，如果 W 對 V 的加法和 FV 到 V 的純量乘法，也作成 F 上的一個線性空間，則稱W 是 V 的子空間。例 5： Fx是 Fx的子空間.例 6： V 是它本身的一個子空間.0也是 V 的子空間.V 和零空間叫做 V 的平凡子空間，V 的其他子空間叫做 V 的真子空間.2、子空間的判斷：Th5.2.3 設(shè) V 是數(shù)域 F 上的線性空間，W 是 V 的一個非空子集，則 W 是 V 的子空間 的充要條件：（1） ；=,三V,有很亠）三V（2）-a F,x V有a- W證明：（1）W 對加法封閉，即對任意:/W,有用 I- W.（2）W 對純量乘法封閉，即對任意aF,xwW,有a

9、：-eW.證明：必要性.設(shè) W 是 V 的子空間，則 V 的加法是 W 的代數(shù)運(yùn)算，從而 W 對 V 的加法 封閉；另外，F(xiàn) V到 V 的純量乘法也是F W到 W 的純量乘法，因此 W 對純量乘法 也圭寸閉.充分性.由于 W 對 V 的加法封閉，對F V到 V 的純量乘法封閉，所以 V 的加法是 W 的代數(shù)運(yùn)算，F(xiàn) V到 V的純量乘法也是F W到 V 的純量乘法的代數(shù)運(yùn)算.線性空間 定義中的算律 1）, 2）, 5）, 6）, 7）, 8）對 V中任意向量都成立，自然對 W 的向量也成立.由 W對純量乘法的封閉性和定理5.2.2,對于-W,0 =0 圧-W,所以 V 中的零向量屬于 W,它自然

10、也是 W 的零向量，并且-=（-1 W,因此條件 3）和條件 4）也成立，故 W 是 V 的子空間.推論 1： W 是 V 的一個非空子集，則 W 是 V 的子空間的充要條件：一a,b F,：,：W有a= b：W3、生成子空間例 7 :設(shè)1,2,，：r 是數(shù)域 F 上的線性空間 V 的一組向量L（：1,：2, ,：n）二ai：1a2：2亠 亠an|aiF則LCr，n)作為 V 的一個子空間事實(shí)上,取ai=0（i =1,2，,n）,于是0 =0：10：20：nL（：1,：2,，:n）,又因（?。? a2：2 an、n） （6：1 b2bn用n）=佝巾)：1b2)：2anbn)：n)L( ：1,：

11、2,，：n)a(1a?：2*nn)= (aq)：1(aa2)：2raaJ：nLC、，,：n),所以LG1, 2,，:n)作成V的一個子空間.L(：,2,，n)稱為由1/2/ /n生成的子空間，冷，2,，兒稱為它的一組生成元.4、子空間的交與并Th4:W,W 是 V 的兩個子空間，貝 y W W 仍是 V 的子空間.(問 WW 是否為 V 的子空間.)證明：因?yàn)?W,W 是 V 的兩個子空間，所以0W；,0 EW2,從而0丘W；CW2,于是- .對任意a,b F,：,：W W2,有a。+bP ww,a。+bP W2,因而abW1 W2,所以 W2是 V 的子空間.推廣：若W,wwn是 V 的子空間，貝UW；(i =1,2/ n)也是 V 的子空間.例：A 是一個 n 階矩陣，S ( A) =BMnF|AB=BA則 S (A)是UnF的一個 子空間.證：TA = Al . I S(A) - :J-B1,B2S(A),于是ABB1A,AB2二B2A所以 LC 仆：2；A(kB IB2) = kAB IAB2=kB* IB2A= (kB,IB2)A.kB IB?S(A)2