公平的評(píng)卷系統(tǒng)模型

1、公平的競(jìng)賽評(píng)卷系統(tǒng)模型摘要本文針對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽評(píng)卷系統(tǒng)進(jìn)行模型建立和求解.問(wèn)題一：研究一種答卷編號(hào)加密和解密的數(shù)學(xué)公式方法（其中題號(hào)為明號(hào)）；通過(guò)碼制轉(zhuǎn)換和異或運(yùn)算進(jìn)行簡(jiǎn)單易算、可隨意轉(zhuǎn)換且保密性良好的加密和解密方法。問(wèn)題二：研究一種評(píng)閱答卷分配的數(shù)學(xué)公式方法。通過(guò)以滿意度最大為目標(biāo)函數(shù)建 立0-1整數(shù)規(guī)劃模型，把所有評(píng)委分組，分別為7,8,5,5，再引入隸屬度函數(shù)，以廣 泛度最大為目標(biāo)函數(shù)，回避本校答卷和滿足某些特殊要求為約束條件建立優(yōu)化模型，給 各題組的評(píng)委具體分配答卷。問(wèn)題三：研究評(píng)分一致性或公正性的檢驗(yàn)方法。通過(guò)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理分析了評(píng)委 的類型一客觀公平型、一致性偏高型、一致性偏低型

2、、大幅度波動(dòng)型和作弊型。問(wèn)題四：研究最終的分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算公式，該公式要處理那些可能出現(xiàn)的“不公平”，及尺度偏差。通過(guò)對(duì)各類型的評(píng)委的評(píng)分作出合理的量化，并以這些量作為權(quán)值對(duì)不合m 理分?jǐn)?shù)進(jìn)行最終調(diào)整，最終調(diào)整公式為：SjWi Sj .綜上所述，利用本文所建立的各種模型，可以有效的對(duì)試卷編號(hào)進(jìn)行加密，合理的對(duì) 試卷分配，根據(jù)評(píng)委的公正性和每份試卷打分的置信區(qū)間可以給出最終分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式， 反應(yīng)了試卷的真實(shí)水平。關(guān)鍵詞：加密系統(tǒng)，滿意度，廣泛度- 1 -一、問(wèn)題提出（1）數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽吸引了眾多的大學(xué)生、研究生甚至中學(xué)生的參與，越來(lái)越多的 人關(guān)心競(jìng)賽評(píng)卷的公平性現(xiàn)今大多數(shù)的評(píng)卷工作是這樣進(jìn)行的：先將答

3、卷編成密號(hào)， 評(píng)委由各參賽學(xué)校（20-50所）派出，按不同的題目分成幾個(gè)題組，每個(gè)題組由M個(gè)評(píng)委組成，評(píng)閱N份答卷，每份答卷經(jīng) L個(gè)評(píng)委評(píng)閱，評(píng)委對(duì)每份答卷給出等級(jí)分A ,A,A-,B ,B,B；C ,C,C-,D，如果L個(gè)評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)基本一致，就給出這份答卷的平均分，否則需討論以達(dá)成一致（其中 M =5-10,N =60 -200丄=3-5）.假定有35所學(xué)校298個(gè)參賽隊(duì)參賽，數(shù)據(jù)見(jiàn)附錄1.其中：數(shù)字前兩位代表學(xué)校， 甲組選做A, B題；乙組選做C, D題；25名評(píng)委所屬的學(xué)校編號(hào)為：1-17，20, 21, 22, 24， 26, 28, 29, 30.每份試卷經(jīng)四位評(píng)委評(píng)閱，編號(hào)為

4、15, 22的只容許評(píng)C, D題，編號(hào)為26的只容 許評(píng)A, B題，編號(hào)為1, 4, 6, 12, 16的評(píng)委要求評(píng)A題，編號(hào)為2, 5, 7, 10的評(píng) 委要求評(píng)B題；編號(hào)為24的評(píng)委要求評(píng)C題，編號(hào)為29的評(píng)委要求評(píng)D題.其余按所 在學(xué)校的甲、乙組別及個(gè)人的要求安排。二、模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明（一）模型假設(shè)1假設(shè)除了問(wèn)題中某些評(píng)委提出的要求，其他評(píng)委無(wú)明確要求；2假設(shè)每個(gè)評(píng)委的評(píng)卷速度和閱卷量相近；3假設(shè)每個(gè)評(píng)委在評(píng)卷過(guò)程中不會(huì)交流評(píng)卷業(yè)務(wù)以外的試卷信息，獨(dú)立地評(píng)出 每份答卷的分?jǐn)?shù)，對(duì)于評(píng)閱同一份答卷的評(píng)委不會(huì)相互交流各自所評(píng)的分?jǐn)?shù).（二）符號(hào)說(shuō)明1. 答卷的加密與解密B明文空間，它是全體明文

5、的集合；C密文空間，它是全體密文的集合；K密鑰空間，密鑰是加密算法中的可變參數(shù);E加密算法，它是一族由B到C的加密變換;D 解密算法，它是一族由C到B的加密變換.2. 答卷的分配a, b,c,d :分配到題組 A B C D的評(píng)委數(shù)目；kXj :在第k個(gè)題組中，第i個(gè)評(píng)委評(píng)閱第j所學(xué)校答卷的份數(shù);Uj :在第k個(gè)題組中，第j所學(xué)校的答卷數(shù)；Ak :第k個(gè)題組的總答卷數(shù)；?。涸诘趉個(gè)題組中，第i個(gè)評(píng)委評(píng)閱答卷的總份數(shù)；mk :第k個(gè)題組的評(píng)委數(shù)；nk :第k個(gè)題組的參賽學(xué)校數(shù).3. 分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算可：第i個(gè)評(píng)委評(píng)閱第j份答卷的分?jǐn)?shù);Sj :第j份答卷的平均分；Sj :第j份答卷的最終分?jǐn)?shù)；w:第i

6、個(gè)評(píng)委的類型系數(shù).4. 統(tǒng)計(jì)量說(shuō)明1）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)V：選擇標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)考察平均分的代表性.標(biāo)準(zhǔn)差二是反映一組數(shù)據(jù)分布的離散程度的 統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，以絕對(duì)值表示標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值，用百分比表示，即：VcCJ(1)比較每份答卷的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)若答卷 A比答卷B的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)大，說(shuō)明評(píng)委對(duì)答 卷A的意見(jiàn)差異更大，即使答卷 A和B的平均分相同，答卷A的評(píng)分問(wèn)題上存在較大 爭(zhēng)議，應(yīng)當(dāng)慎重考慮，需要進(jìn)一步考察.2）離差絕對(duì)值之和Sa將某評(píng)委對(duì)每份答卷的評(píng)分，分別減去該答卷的平均分，即得到該評(píng)委對(duì)該答卷的 離差，將全部離差的絕對(duì)值累加求和，得出該評(píng)委的離差絕對(duì)值之和，即：S；=送 Xj -Xjj上式Xj表示第

7、i個(gè)評(píng)委對(duì)第j份答卷的評(píng)分，Xj表示第j份答卷的平均分.離差絕對(duì)值之和的大小反映各個(gè)評(píng)委對(duì)測(cè)評(píng)對(duì)象整體水平的看法，離差絕對(duì)值之和與測(cè)評(píng)對(duì)象整體水平成負(fù)相關(guān)，離差絕對(duì)值之和越大，測(cè)評(píng)對(duì)象整體水平越不整齊，內(nèi) 部差異即離散程度則越大.3) 離差代數(shù)和Sd將各個(gè)評(píng)委對(duì)每一份答卷的評(píng)分，分別減去該答卷的平均分，即得到該評(píng)委對(duì)該答 卷的離差，將全部離差累加求和，即得到該評(píng)委的離差代數(shù)和，離差代數(shù)和沒(méi)有直接意 義，必須與離差絕對(duì)值之和結(jié)合起來(lái)考察，才有實(shí)際意義.4) 絕代比rad絕代比是每個(gè)評(píng)委的離差絕對(duì)值之和與其離差代數(shù)和的比值，即：i sarad FSd( 3)忌有以下三種情況: rad "

8、,這是因?yàn)槊恳浑x差均取正值或負(fù)值，其代數(shù)和不存在正負(fù)抵消現(xiàn)象，正 好與離差絕對(duì)值之和一致，這種情況只有該評(píng)委的評(píng)分全部低于或高于平均分時(shí)才出 現(xiàn)； rad的比值很高，也就是說(shuō)，離差絕對(duì)值之和遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于離差代數(shù)和的絕對(duì)值，這 種情況，往往因?yàn)樵撛u(píng)委的評(píng)分往往遠(yuǎn)離總體平均分，同時(shí)，具體評(píng)分圍繞平均分上下波動(dòng)，因此，離差正負(fù)相抵后所得的代數(shù)和，其數(shù)值較小，兩相比較，ad的數(shù)值較大; rad比1稍大，是因?yàn)樵撛u(píng)委所評(píng)分?jǐn)?shù)在平均分?jǐn)?shù)線上下小幅波動(dòng).三、模型分析、建立、求解1. 模型分析：(1) 對(duì)加密系統(tǒng)的分析，通過(guò)對(duì)編號(hào)的碼制轉(zhuǎn)換便于我們對(duì)位進(jìn)行異或邏輯運(yùn)算， 從而使加密過(guò)程更加隱蔽、易行；(2) 把所

9、有答卷編號(hào)進(jìn)行矩陣排列，再按列操作，可以簡(jiǎn)化加密工作量；(3) 通過(guò)要求評(píng)委們各自秘密發(fā)送 3-5個(gè)字母給公證人，再由公證人順序或逆序 排列(只有所有評(píng)委和公證人的“密鑰”都被知道了，已知道加密算法的人才能破譯該 系統(tǒng))，從而大大增加了破譯的難度，提高了加密系統(tǒng)的保密性能；(4) 異或邏輯運(yùn)算是一種可逆運(yùn)算，簡(jiǎn)單易行，不僅隱蔽了原本學(xué)校和參賽的信息，同時(shí)又保證了針對(duì)每個(gè)不同的序號(hào)能得到一個(gè)唯一與其對(duì)應(yīng)的16位二進(jìn)制序列,實(shí)現(xiàn)對(duì)于答卷分配的分析，我們先提出滿意度函數(shù)，再引入模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)來(lái)求 解，較好地滿足了回避本校答卷和評(píng)委廣泛度盡量大的要求；運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，根據(jù)不同的評(píng)分特點(diǎn)把評(píng)委

10、分成不同類型，再用層次分析法來(lái)(2)-5 -檢驗(yàn)評(píng)委的公平性，使得問(wèn)題的描述比較清晰；運(yùn)用加權(quán)的方法調(diào)整分?jǐn)?shù)，在實(shí)際操作上具有一定的意義.2. 模型建立：1）評(píng)委分組：依題意，把25個(gè)評(píng)委分配到A、B、C、D四個(gè)題組，必須滿足以下要求：a.每個(gè)評(píng)委只能分配到一個(gè)題組中；b為了回避本校答卷，分組過(guò)程中每個(gè)評(píng)委所在的題組需要評(píng)閱的題目是該評(píng)委所在學(xué)校的參賽隊(duì)選擇最少的題目；c嚴(yán)格滿足特殊要求中某些評(píng)委只容許評(píng)閱的題組的要求；d 在滿足公平原則和以上 3項(xiàng)原則前提下，盡量滿足特殊要求中某些評(píng)委要求評(píng) 閱的題組的要求；e在滿足以上原則的前提下，使每個(gè)評(píng)委評(píng)閱的答卷盡可能廣泛；f.對(duì)于沒(méi)有提出要求或題目

11、沒(méi)有明確限制評(píng)閱題組的評(píng)委，在滿足以上幾項(xiàng)原則 前提下，我們對(duì)這些評(píng)委進(jìn)行隨機(jī)分配.基于以上原則，我們采用數(shù)學(xué)規(guī)劃中的整數(shù)規(guī)劃，引入滿意度的概念，并用決策變量ykl表示對(duì)其量化：用k=123,4表示四個(gè)題組a、b、c、D，用丨二1,2,，25表示25個(gè)評(píng)委1-17、20、21、22、24、26、28、29、30，ykl表示第1個(gè)評(píng)委被分到第k個(gè)題組 的滿意度大小.滿意度定義為：a） 當(dāng)某個(gè)評(píng)委的“只容許”條件被滿足時(shí)，ykl二2，否則為-2；b） 當(dāng)某個(gè)評(píng)委的“要求”條件被滿足時(shí)，ykl "，否則為-1；c） 當(dāng)沒(méi)有特殊要求的評(píng)委被分到任意題組時(shí)，其滿意度為0. 我們可以用丫表示由y

12、kl組成的矩陣，則丫可寫成以下形式：-1-10 1-11-100-10 100_21 000-2-120-101-11 0-11-1100 10-100_2-1 0002120-10Y =-1-10-1-1-1-100-10-1002-1 0002 1-20-10-11011110010-1002-1 0002-1-2010一由于每個(gè)評(píng)委只能分配到一個(gè)題組， 所以對(duì)于矩陣的每一列4個(gè)元素只能選取其中 一個(gè)，于是我們以最大滿意度為目標(biāo)函數(shù)：425（max - yk| k丘1峰（4）I其中，ykl是基于丫矩陣的得到的一系列矩陣中的最優(yōu)矩陣 丫'的元素.由題目可知，每個(gè)題組至少要有 5個(gè)評(píng)委

13、評(píng)閱答卷，同時(shí)從表 3.1可以看到選擇題組A、B的參賽隊(duì)要比選擇題組 C、D的多，為了保證閱卷的公平性，分配到題組 A、 B的評(píng)委數(shù)目應(yīng)該比C、D的多，不妨假設(shè)題組A和B的評(píng)委數(shù)至少分別比題組 C和D 的多1，于是有以下模型（I）:425max 二二 ykik 4 l 4"a+b+c + d=25a +b 蘭12s.t.c _5d - 5（I）我們運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件Lingo9.0來(lái)求解以上的數(shù)學(xué)模型，得到下面的分配結(jié)果（見(jiàn)表3.1）:表3.1評(píng)委答卷分配題組5該題組評(píng)委數(shù)目該題組評(píng)委所在學(xué)校編號(hào)A71, 4, 6, 12, 16, 28, 30B82, 5, 7, 10, 17, 20,

14、 21, 26C511, 13, 14, 15, 24D53, 8, 9, 22, 292）答卷分配：在評(píng)閱過(guò)程中，每份答卷必須經(jīng)四位不同的評(píng)委評(píng)閱，同時(shí)要求評(píng)委回避本校答卷， 滿足某些特殊要求，在此基礎(chǔ)上盡可能使評(píng)委評(píng)閱的答卷廣泛，也就是說(shuō)，該評(píng)委所評(píng) 閱的答卷含不同學(xué)校數(shù)目盡量多.在上一步中已經(jīng)討論了把25名評(píng)委分到四個(gè)題組的問(wèn)題，現(xiàn)在我們以題組A為例, 建立模型求解出題組A評(píng)委的具體分配情況，其他題組可以類似地求解.題組A的評(píng)委數(shù)為7,分別是1、4、6、12、16、28、30,我們重新對(duì)這些評(píng)委編 號(hào)為1, 2, . .，7,選做題組A的學(xué)校編號(hào)為1，2, .，19.為了使評(píng)委評(píng)閱答卷盡

15、可能廣泛，我們引入模糊數(shù)學(xué)的柯西型隸屬度函數(shù)，給出各 評(píng)委每評(píng)閱一份答卷的值一一廣泛度：f Xj)='Xj -124(5)其中廣泛度f(wàn) Xj是Xj的減函數(shù)，表示當(dāng)?shù)趇個(gè)評(píng)委評(píng)閱的答卷越廣泛，即所含學(xué) 校越多，Xij越小，則廣泛度f(wàn) Xj越大，（見(jiàn)表3.2）:表3.2xij函數(shù)表Xj123456f(Xj )0.88320.86210.83510.80000.75380.6923Xij789101112f(Xij )0.60980.50000.36000.20000.05880于是，我們以廣泛度最大為目標(biāo)函數(shù)建立優(yōu)化模型（U）:719max 二二 f Xij Xiji 4 j 4"

16、;7瓦 Xij =4Uj, j =1,，19i £719送送Xij = 4疋95S.tJ i j j；19X xij = bj, i = 1 ，7j壬bi 45,651（n）在模型（U）中，第一約束條件表示每所學(xué)校的每份答卷都有 4位評(píng)委評(píng)閱；第. 約束條件表示所有的答卷都有4位評(píng)委評(píng)閱；第三、四約束條件表示每個(gè)評(píng)委評(píng)閱一定 量的答卷，且答卷量相當(dāng).推廣到其他題組，把模型（U）寫成模型（川）:mk nkmax 二二 f xk x：, k =1,2,3,4i ：! j 珀mk' xj =4U：, j =1, ,nki =1mk nks 送瓦 x：=4Aki呂j呂n：'

17、x：二bik, i =1, ,m： j 1k _bib：, buk(m)- 23 -其中，$和bk分別表示第:個(gè)題組評(píng)委評(píng)閱答卷數(shù)的下界和上界.3. 模型求解：1:1）答卷的加密 一個(gè)密碼系統(tǒng)，通常簡(jiǎn)稱為密碼體制，由五部分組成，可用數(shù)學(xué)符號(hào)描述如下SB,C,K,E,D?（1）對(duì)于每一個(gè)確定的密鑰，加密算法將確定一個(gè)具體的加密變換，解密算法將確定個(gè)具體的解密變換，而且解密變換就是加密變換的逆變換對(duì)于明文空間B中的每一個(gè)明文，加密算法E在密鑰Ke的控制下將明文B加密成密文C :(5)C 二 E B,Ke于是，我們對(duì)加密算法E按以下步驟對(duì)答卷編號(hào)進(jìn)行加密：Stepl進(jìn)行碼制轉(zhuǎn)換；Step2確定密鑰；

18、Step3明文與密鑰進(jìn)行異或運(yùn)算；Step4把結(jié)果轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制；Step5添加題組標(biāo)示，即為密文.為了更好地理解該算法，我們選取了一個(gè)編號(hào)（1209 B題）來(lái)簡(jiǎn)單描述：Stepl把1209的每個(gè)數(shù)字轉(zhuǎn)換為四位二進(jìn)制，即0001 0010 0000 1001;Step2隨機(jī)選取一個(gè)3-5個(gè)字母的英文單詞，如num,把每一個(gè)字母轉(zhuǎn)化為 ASCII 碼，即 110 117 109 再把 ASCII 碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，即 1101 0010 0000 1000 0001 1110 10,1 取前 16 位，即 1101 0010 0000 1000Step3按位進(jìn)行異或運(yùn)算，即用密鑰K =1101 00

19、10 0000 1000與Step1得到的二進(jìn) 制序列 0001 0010 0000 1001 異或，得到序列 1100 0000 0000 0001Step4把新得到的序列轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制，即五位數(shù)字49153;Step5在49153的最高位前添加2,即249153,代表該參賽隊(duì)是B題組的（數(shù)字1、 2、3、4分別代表題組A、B、C、D）.故：編號(hào)1209 B題的密號(hào)為249153.為了減少工作量和提高加密系統(tǒng)的保密性，我們可將所有的參賽隊(duì)編號(hào)按先后順序 先自上而下、后從左到右地排列成 n m的矩陣；按每一列逐列進(jìn)行整體加密；每一個(gè) 評(píng)委分別秘密地發(fā)給公證人（注：該公證人不參與評(píng)卷工作，只負(fù)責(zé)對(duì)

20、答卷加密、解密 和分配答卷的工作.）3-5個(gè)字母的英文單詞，公證人按順序或逆序把每一個(gè)字母轉(zhuǎn)化為 ASCII碼，再把各ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，取一定的位數(shù)，此位數(shù)取決于每一列的編號(hào) 轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后的全體比特?cái)?shù).這樣，就可以簡(jiǎn)化了Step2隨機(jī)選取密鑰的工作量，同時(shí)不會(huì)降低其保密性能.而解密算法D在密鑰Kd的控制下將密文C解密出同一明文B :M 二DC,© 二D E BK（6）如果一個(gè)密碼體制的Ke二Kd，則成為單密鑰密碼體制或?qū)ΨQ密碼體制，否則成為 雙密鑰密碼體制.我們?cè)诒疚闹胁捎脝蚊荑€密碼體制，即Ke=Kd，對(duì)答卷編號(hào)進(jìn)行加密和解密.針對(duì)本題，我們加密的目的是把各參賽隊(duì)的序號(hào)反映

21、出來(lái)的學(xué)校信息以及每個(gè)參賽 學(xué)校不同隊(duì)伍的組號(hào)信息進(jìn)行隱藏，即對(duì)答卷編號(hào)隱藏，而各答卷編號(hào)（即題號(hào)）是明 號(hào).因此可以得出以下結(jié)論：明文空間 B為各參賽隊(duì)的序號(hào)，密文空間C為我們對(duì)明文空間B進(jìn)行加密后的號(hào)碼.2）答卷的解密對(duì)密號(hào)進(jìn)行解密，實(shí)際上是對(duì)加密算法的逆運(yùn)算，即D二E.我們對(duì)解密算法D按 以下步驟對(duì)密號(hào)進(jìn)行解密：Stepl評(píng)委們公開(kāi)各人秘密發(fā)給公證人的字母，公證人公開(kāi)其按順序還是逆序排列 評(píng)委們的字母；Step2把所有字母轉(zhuǎn)換為ASCII碼，再把各ASCII碼轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制，取一定的位數(shù)， 此位數(shù)取決于每一列的編號(hào)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后的全體比特?cái)?shù)；Step3取密號(hào)的后五位，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制，得到的結(jié)

22、果與密鑰K進(jìn)行異或運(yùn)算；Step4所得結(jié)果每四位二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成一位十進(jìn)制，按順序逐個(gè)轉(zhuǎn)換，得到的結(jié)果每 四位十進(jìn)制便是明號(hào)，即答卷的編號(hào).3）數(shù)據(jù)的處理在答卷數(shù)量不至于太多同時(shí)參賽學(xué)校不至于太少的情況下， 我們要求每個(gè)評(píng)委來(lái)自 不同學(xué)校，以示其公平性而本問(wèn)題中要求，每個(gè)題組的 M個(gè)評(píng)委來(lái)自不同學(xué)校，則 我們不需要考慮某學(xué)校參賽隊(duì)數(shù)目與來(lái)自該校的評(píng)委數(shù)比例關(guān)系的公平性問(wèn)題.對(duì)于附錄給出的數(shù)據(jù)，我們經(jīng)統(tǒng)計(jì)可得以下的信息：35所學(xué)校298個(gè)參賽隊(duì)，各參 賽隊(duì)選擇題組分別為 A題95個(gè)、B題107個(gè)、C題50個(gè)、D題46個(gè)（見(jiàn)下表1）. 25 名評(píng)委分別來(lái)自不同學(xué)校，評(píng)委所屬的學(xué)校編號(hào)分別為：1-17、

23、20、21、22、24、26、28、29、30.對(duì)于評(píng)委評(píng)閱答卷，還有些特殊要求，如：編號(hào)為15、22的只容許評(píng)C、D題，編號(hào)為26的只容許評(píng)A、B題，編號(hào)為1、4、6、12、16的評(píng)委要求評(píng)A題， 編號(hào)為2、5、7、10的評(píng)委要求評(píng)B題；編號(hào)為24的評(píng)委要求評(píng)C題，編號(hào)為29的 評(píng)委要求評(píng)D題（見(jiàn)表3.3）.表3.3參賽學(xué)校與組隊(duì)情況學(xué)枝代碼1234&6789 10 11 12 13 14 15 16 1? 18該爭(zhēng)校C題13 436766764447522S22222總計(jì)30 86 10 15 10 11 20 10 10 10 10 15 15 577 8芋佼代碼19 20 21

24、 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35總計(jì),該學(xué)校A題 衣學(xué)較E迪 該學(xué)松港 該學(xué)狡0坯213273344334231211463224334311119S1075046軌計(jì)3?8 1O576S6$8542321298表3.4評(píng)委評(píng)閱答卷的特殊要求評(píng)委編號(hào)1234S 673g10111213WJft號(hào)r 12345678910111213只尋許評(píng)闔要求評(píng)倔hBAB ABA評(píng)委編號(hào)14151ITL3 19202122232425學(xué)校冗號(hào)1415IT20 21222426382930只容杵評(píng)閱G DQ DJL B戲求評(píng)憫ACD4）評(píng)委的公平性評(píng)價(jià)在評(píng)卷

25、過(guò)程中，不可避免地會(huì)出現(xiàn)評(píng)分一致偏高或偏低的情況，也有可能出現(xiàn)某些 評(píng)委評(píng)分不公正的現(xiàn)象于是，給出一種評(píng)分一致性或公正性的檢驗(yàn)方法，是非常必要 的.本文運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，引入幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)各評(píng)委的評(píng)分特點(diǎn)在這些統(tǒng)計(jì)量上 表現(xiàn)出來(lái)的不同特征，對(duì)不同特點(diǎn)的評(píng)委進(jìn)行分類，從而實(shí)現(xiàn)評(píng)分一致性或公正性的檢 驗(yàn).4. 1評(píng)分特點(diǎn)的分類從經(jīng)驗(yàn)角度看，觀察評(píng)委的評(píng)分線與平均分線的關(guān)系，實(shí)際上有這樣幾種評(píng)委的評(píng) 分傾向：1）客觀公平型：這種評(píng)委的評(píng)分線圍繞平均分線做小幅波動(dòng).他們?cè)噲D按照客觀 標(biāo)準(zhǔn)掌握評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，保持客觀公允態(tài)度，謹(jǐn)慎小心，離差絕對(duì)值較小，即使在平均分線 上下波動(dòng)，但起伏不大，其離差絕對(duì)值之和與

26、離差代數(shù)和的比值雖大與1，但比較接近1,或者比值在開(kāi)區(qū)間（1, 2）里.從經(jīng)驗(yàn)角度看，這類評(píng)委的評(píng)分水平比較高，主觀 傾向與客觀實(shí)際相接近，是比較理想的評(píng)委.T-平均分公平性圖1公平型評(píng)委評(píng)分曲線圖2）一致性偏高型：評(píng)委的評(píng)分線始終高于全體評(píng)委打分確定的平均分線，與平均平均分偏高型分線呈近似平行的關(guān)系這種評(píng)委是一種帶有主觀色彩的“公正”評(píng)委，有一個(gè)穩(wěn)定的 主觀傾向在理解和掌握評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，堅(jiān)持按偏松的傾向打分,圖2偏高型評(píng)委評(píng)分曲線圖3) 致性偏低型：評(píng)委的評(píng)分線始終低于全體評(píng)委打分確定的平均分線，與平均分線呈近似平行的關(guān)系與一致性偏高型評(píng)委相似，堅(jiān)持從嚴(yán)的傾向打分,Y平均分-偏低型圖3偏低型評(píng)委

27、評(píng)分曲線圖4）大幅度波動(dòng)型：這種類型的評(píng)分其離差代數(shù)值的方差較大，離差絕對(duì)值方差較小離差絕對(duì)值之和較大，離差代數(shù)和較小，忌的絕對(duì)值較大且符號(hào)不定.5）作弊型：這種評(píng)委的評(píng)分線與平均分線的關(guān)系有明顯的不規(guī)則性形態(tài)這里最 常見(jiàn)的情況是，該評(píng)委給出的大多數(shù)對(duì)象的分?jǐn)?shù)與平均分線呈一有規(guī)律的吻合，但是在 少數(shù)個(gè)別分?jǐn)?shù)上出現(xiàn)明顯的跳躍，遠(yuǎn)離平均分線似乎在有意壓低其他大多數(shù)測(cè)評(píng)對(duì)象 的分?jǐn)?shù)，而故意抬高自己看好或是有特殊關(guān)系的個(gè)別測(cè)評(píng)對(duì)象的分?jǐn)?shù).4. 2檢驗(yàn)方法采用層次分析法，其檢驗(yàn)步驟如下圖:圖6層次分析法其中，Dd表示第i個(gè)評(píng)委的離差代數(shù)值的方差，°；表示第i個(gè)評(píng)委的離差絕對(duì)值的 方差.首先計(jì)算

28、全部評(píng)委的離差代數(shù)值的方差，將超過(guò) 20的視為不公平型，將低于20的 視為公平型.其次，對(duì)于不公平型計(jì)算離差絕對(duì)值的方差，以15為門限將其分為大幅波動(dòng)型和作弊型.同時(shí)，對(duì)于公平型首先利用離差絕對(duì)值之和將其分為評(píng)分一致型和客 觀公正型，劃分的標(biāo)準(zhǔn)以該評(píng)委評(píng)閱試卷的份數(shù)乘以5作為區(qū)分大小的臨界值.最后對(duì)于評(píng)分一致性再計(jì)算r；d，通過(guò)判斷其符號(hào)將其分為一致性偏高和一致性偏低.這樣就 將評(píng)委分為五類.5）分?jǐn)?shù)調(diào)整計(jì)算1“不公平”及尺度偏差的處理在分?jǐn)?shù)調(diào)整中，我們要處理那些可能出現(xiàn)的“不公平”及尺度偏差.由于每份答卷 只由四名評(píng)委評(píng)閱，若使用除去最高分和最低分后求平均分的方法， 就只剩下2名評(píng)委， 再求

29、平均分就沒(méi)有普遍意義了.從第三問(wèn)中，我們已經(jīng)把評(píng)委分成不同特點(diǎn)的類型：客觀公平型、一致性偏高型、 一致性偏低型和作弊型.根據(jù)不同的類型，分別把評(píng)委的分?jǐn)?shù)乘以該類型的權(quán)系數(shù)，再 累加求平均.1）客觀公平型：這種類型的評(píng)委評(píng)分比較公正，權(quán)系數(shù)可以認(rèn)為是1.2）一致性偏高（偏低）型：、Sj(7)j=1 w n -sjj丄nn瓦 SijZ Sj其中，心 表示第i個(gè)評(píng)委評(píng)閱的全部n份答卷的總分，j - 表示n份答卷平均分 的總分該權(quán)值表示了一個(gè)相對(duì)合理的分?jǐn)?shù)占該評(píng)委所給分?jǐn)?shù)的比例.3）大幅度波動(dòng)型：將大幅度波動(dòng)型評(píng)委所評(píng)的成績(jī)分為大幅偏高和大幅偏低兩種，分別按照（9）所給的權(quán)系數(shù)公式進(jìn)行折算對(duì)于這類評(píng)委

30、所評(píng)成績(jī)高（或低）出平均分兩個(gè)等級(jí)分以上 的試卷認(rèn)為此時(shí)的成績(jī)合理性較低，取消該評(píng)委對(duì)此份試卷的評(píng)分.4）作弊型：評(píng)委如在某些試卷上出現(xiàn)作弊行為則取消該評(píng)委對(duì)該張?jiān)嚲淼脑u(píng)分，以其他三個(gè)評(píng)委所評(píng)的分?jǐn)?shù)作為有效成績(jī)進(jìn)行下一步處理.2最終分?jǐn)?shù)調(diào)整公式綜上所述，我們給出的最終分?jǐn)?shù)調(diào)整公式為：mSj = ' Wi Sij（8）i=1其中，m表示第j份答卷評(píng)委最終評(píng)出的有效分?jǐn)?shù)時(shí)評(píng)委的人數(shù)，即去除被取消成績(jī)的評(píng)委人數(shù).4）答卷分配經(jīng)數(shù)學(xué)軟件Lingo9 . 0的編程求解（程序見(jiàn)附錄2），我們得到以下的答卷分配結(jié)果 （見(jiàn)表 3.5, 表 3.6. 表 3.7.表 3.8）:表3.5 A題組的答卷分配

31、情況學(xué)校編號(hào) 評(píng)委編號(hào)、123456789101112131415161718191I 0 I2I 2 I5454433 I2I 3 I5I 3114224921044444232431231161031340344323431131112I 10 I3I 2 I4443432 I2I 0 I4I 31121116821444443232422031128722344343223431231130I 8 I2I 3 I5433442 I2I 3 I3）311211表3.6 B題組的答卷分配情況、學(xué)校編號(hào) 評(píng)委編號(hào)1234567891011121314151617181921 8 101 2 1

32、3324623 131 3 131 313230582220237243343231307932222062433432313010r 9 :3r 1 12224720 :3r 3 14r 3121311792222236233343230302082113227233343221312122222724 13r 3 i4I12131269212222623335312131表3.7 C題組的答卷分配情況''學(xué)校編號(hào) 評(píng)委編號(hào)、5142021222324252627282930313233343511223252333223220211131222533332232311111

33、42021633433231212111512325233323422111024222172034333131201表3.8D題組的答卷分配情況學(xué)校編號(hào) 評(píng)委編號(hào)、51420212223242526272829303132333432135314232243010181234323132243101192144323232242111022123601323334211112922353231433021111其中，A題組的評(píng)委每人閱卷54,551份，B題組的評(píng)委每人閱卷53,54 W, C題組的評(píng)委每人閱卷40份，D題組的評(píng)委每人閱卷36,37份.四、結(jié)果評(píng)價(jià)對(duì)模型的最終結(jié)果進(jìn)行了預(yù)期估算

34、和實(shí)際模型檢驗(yàn)，我們以本班同學(xué)模擬參賽隊(duì)并以另一部分作為評(píng)委，按照本模型給出的方法進(jìn)行求解，其結(jié)果符合預(yù)期期望并且符合 計(jì)算結(jié)果，因此其結(jié)果是可靠的。五、模型檢驗(yàn)1）對(duì)于問(wèn)題一，由加密表得知，不同的明文經(jīng)加密后產(chǎn)生不同的密文，并且經(jīng)過(guò)解密 后得到的明文都與原明文相同，合理。達(dá)到了題目要求的簡(jiǎn)單易算，可隨意變換，保密性 好的要求。2）從試卷的分配表中，我們實(shí)現(xiàn)了題目中的各項(xiàng)制約，包括評(píng)委不評(píng)本校試卷和評(píng)閱 他所對(duì)應(yīng)的題目的要求3）由 matlab 作圖可分析得，用此模型求解符合實(shí)際情況。六、模型評(píng)價(jià)1）對(duì)于問(wèn)題 1 提出的加密系統(tǒng)模型，實(shí)質(zhì)上是對(duì)明文進(jìn)行碼制轉(zhuǎn)換和異或邏輯運(yùn) 算，簡(jiǎn)單易行，可隨意

35、變換且保密性能好；2）對(duì)于答卷分配，我們先提出滿意度函數(shù)，再引入模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)來(lái)求 解，較好地滿足了回避本校答卷和評(píng)委廣泛度盡量大的要求；3）運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，根據(jù)不同的評(píng)分特點(diǎn)把評(píng)委分成不同類型，再用層次分析 法來(lái)檢驗(yàn)評(píng)委的公平性，使得問(wèn)題的描述比較清晰；4）運(yùn)用加權(quán)的方法調(diào)整分?jǐn)?shù)，在實(shí)際操作上具有一定的意義七、推廣與應(yīng)用 結(jié)合實(shí)際情況，該模型可作為比賽時(shí)的評(píng)分規(guī)則，依照該模型的公平性原則進(jìn)行統(tǒng) 計(jì)評(píng)分，可保證比賽的公平性。參考文獻(xiàn)1 張煥國(guó)，劉玉珍，密碼學(xué)引論 M ，武漢：武漢大學(xué)出版社， 2003.102 美D.E.R.丹寧，密碼學(xué)與數(shù)據(jù)安全M，北京：科學(xué)出版社，1991.113

36、 韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用M，北京：高等教育出版社，2005.64 謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件M，北京：清華大學(xué)出版社，2005.75 段華洽，評(píng)委打分的真實(shí)有效性問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，附錄附錄1 XX賽區(qū)參賽情況表XX賽區(qū)參賽情況表序號(hào)選題序號(hào)選題序號(hào)選題序號(hào)選題序號(hào)選題序號(hào)選題序號(hào)選題序號(hào)選題序號(hào)選題序號(hào)選題0101A0201A0507A0801A1001B1301A1501A2001C2401C2804C0102B0202B0508A0802B1002A1302A1502B2002C2402D2805C0103B0203A0509B0803B1003B1303A15

37、03B2003D2403C2806D0104A0204B0510B0804A1004A1304A1504A2004D2404D2901C0105A0205B0511A0805B1005A1305B1505B2005D2405D2902D0106B0206B0512C0806B1006B1306B1601B2006C2406D2903C0107B0207A0513C0807B1007B1307A1602B2007D2407C2904D0108A0208A0514D0808B1008A1308B1603B2101C2501C2905D0109B0301A0515D0809A1009B1309B16

38、04A2102D2502D2906D0110B0302B0601B0810A1010B1310B1605A2103D2503C2907C0111A0303A0602A0811B1101B1311B1606B2104C2504C2908C0112B0304B0603B0812B1102B1312A1607B2105D2505D3001D0113A0305A0604A0813A1103A1313A1701A2106D2506C3002C0114B0306B0605B0814A1104A1314B1702A2107D2601C3003C0115A0401A0606A0815B1105B1315B17

39、03A2108D2602D3004D0116B0402B0607B0816B1106B1401A1704A2201C2603D3005D0117A0403A0608A0817A1107A1402A1708B2202C2604D3101C0118A0404A0609A0818B1108A1403B1709B2203C2605D3102C0119B0405A0610A0819B1109B1404B1710A2204D2606C3103C0120B0406B0701B0820B1110B1405A1801B2205D2607C3104D0121A0407B0702B0901B1201A1406B18

40、02B2206C2608C3201C0122B0408A0703A0902A1202B1407B1803B2207C2701D3202D0123B0409B0704B0903A1203B1408B1804B2208C2702C3301C0124B0410A0705A0904B1204B1409B1805A2209D2703D3302D0125B0501B0706A0905B1205B1410A1806A2210C2704C3303C0126A0502A0707A0906A1206A1411A1807B2301D2705D3401C0127A0503B0708B0907A1207A1412D18

41、08B2302C2706C3402D0128B0504A0709B0908A1208B1413C1901A2303D2801C3501C0129B0505A0710A0909A1209B1414C1902B2304C2802D0130A0506A0711A0910B1210A1415D1903A2305C2803D附錄 2 lingo 程序代碼model: sets: s1/1.7/:; s2/1.19/:u;link(s1,s2):x;endsetsdata:U=13 4 3 6 7 6 6 7 6 4 4 4 7 5 2 2 5 2 2; enddata(-1);max=sum(li nk

42、(i,j):x(i,j)*(1+(x(i,j)-12)/4)A(-2)F for(s2(j):sum(s1(i):x(i,j)=4*u(j);sum(link(i,j):x(i,j)=380; for(link(i,j):gin(x(i,j);end附錄 3 matlab 作圖程序代碼% plot(JData2(1:10,1),JData2(1:10,3); hold on;plot(JData2(1:10,1),JData2(1:10,5);hold on; plot(JData2(1:10,1),JData2(1:10,7);hold on;%JS = ;JDataEvg = ;JSEvg = zeros(7);JSCount = zeros(7);for i = 1:length(JData2)cnt= JData2(i,1);jsarr = JData2(i,:);JDataEvg(i) = (jsarr(3)+jsarr(3)+jsarr(3)/3.0;JS(jsarr(2),i) = jsarr(3);JSC