矩陣學(xué)習(xí)指導(dǎo)

1、矩陣【基本要求】1. 理解矩陣的概念.2. 熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算、轉(zhuǎn)置及運(yùn)算規(guī)律, 以及方陣的冪、行列式，對(duì)角矩陣的定義及其性質(zhì).3. 理解逆矩陣的概念.4. 掌握矩陣的初等變換。知道初等變換與初等矩陣、可逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系。5. 熟練掌握求逆矩陣的兩種方法:伴隨矩陣法和初等變換法.6、理解矩陣的秩的概念和基本性質(zhì)，特別是“矩陣的初等變換不改變矩陣的秩”這一性質(zhì)。7、熟練掌握用矩陣的初等變換求矩陣的秩的方法【主要內(nèi)容】一、重要定理：定理1 設(shè)A，B是n階矩陣，則。定理2 如果A是可逆矩陣，則A的逆矩陣唯一。定理3 n階矩陣A可逆，其中定理4 初等陣左（右）乘給定的矩陣，其結(jié)果就

2、是對(duì)給定的矩陣作相應(yīng)的初等行（列）變換。定理5 初等矩陣可逆，且其逆為同類型的初等矩陣，即。二、重要公式、法則：1加法與數(shù)乘（1）A+B=B+A; (2 ) (A+B)+C=A+(B+C); (3 ) A+O=O+A=A; (4 ) A+(-A)= O.; (5 ) k (l A)=(kl)A; (6 ) (k+l)A=kA+lA; (7 ) k(A+B)=kA+kB; (8 ) 1A=A, 0A=O.2. 乘法（1）(AB)C=A(BC) (2)A(B+C)=AB+AC (3 ) (kA)(lB)=kl(AB) (4)A0=0A=O3. 轉(zhuǎn)置(1) （AT）T=A; (2) (A+B)T=A

3、T+BT ; (3) (kA)T=kAT ; (4) (AB)T=BTAT; 4. 可逆(1) ; (2) ; (3) ; (4) .5. 伴隨矩陣 （1）; （2）; (3) ;(4) ; (5) .6. n階矩陣的行列式（其中分別是n階、n階、m階方陣）（1） ; (2); (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) (其中分別是n階、m階方陣)。三、二階方陣：（1）; （2）即主對(duì)角線上的元素調(diào)換位置，副對(duì)角線上的元素變化符號(hào)。四、分塊陣： ；;；.五、可逆的判斷法：1. n階矩陣A可逆A的行（列）向量組線性無關(guān) 僅有零解，2. 上三角陣的逆陣仍為上三角陣，且其主對(duì)角線上的元

4、素為其原對(duì)角元素的倒數(shù)，下三角類同。六、正交陣：（）1. A正交，; 2. A正交正交; 3. A正交正交; 4. A正交正交; 5. A正交，; 6. A、B正交AB正交?？谠E：1、題設(shè)條件與代數(shù)余子式或有關(guān)，則立即聯(lián)想到用行列式按行(列)展開定理以及。 2、若涉及到A、B是否可交換，即ABBA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。 3、若題設(shè)n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+bE?！镜湫屠}】例1 設(shè)為三階方陣，為的伴隨矩陣，,求行列式的值。解: 由 , 得 例2 若方陣滿足矩陣方程 ,其中為單位陣，證明： 可逆并求其逆矩陣。證明: 將方程改寫為 則 可逆，

5、且例3 設(shè)為可逆陣，且的元素全為整數(shù)，試證 的元素全為整數(shù)的充要條件為=1或。證明: 必要性：因?yàn)榈脑厝珵檎麛?shù)， 所以 也是整數(shù)，又 的元素為整數(shù)，則 也為整數(shù)，而 ,所以 =1或。 充分性： 因?yàn)?=1或，且 , 又因?yàn)榈脑厝珵檎麛?shù)，則 的元素也全為整數(shù)，所以 的元素全為整數(shù)。例4 設(shè)方陣滿足 ()，則可逆，證明: 可逆，且例5 設(shè)為階方陣，其中可逆且，證明：都可逆。 證明: 由得即兩邊取行列式 又可逆 ， ，從而；都可逆。例6 設(shè) 1.試證：當(dāng)時(shí)，有 2.求 解: 1.證 采用數(shù)學(xué)歸納法: 當(dāng)時(shí)，經(jīng)計(jì)算 設(shè)（）時(shí)結(jié)論成立，即：兩邊乘以得： 將 代入，得 2. 例7 設(shè)(2EC1B)AT

6、=C1,其中E是4階單位矩陣,AT是4階矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，求A。解: 由題設(shè)得C(2EC1B)AT=E，即 (2CB)AT=E。由于，|2CB|=10，故2CB可逆，于是A=(2CB)1T=(2CB)T1【自我練習(xí)及解答】一、填空題1已知是三階方陣，B是四階方陣，且 則 2設(shè)是階方陣，則 ， ；34 設(shè)，是A的伴隨矩陣，則（）1= ；5 設(shè)A為n階可逆陣，是A的伴隨矩陣，則A= ，若A是可逆的，則()1 = ；6 已知矩陣，則7 8. 二、. 選擇題（1）設(shè) ， 則必有（ ）(A). (B). (C). (D). （2）設(shè)A是任一階方陣，是其伴隨矩陣，為常數(shù)，且，則必有 (A) (B) (C)

7、 (D) （3）A為四階方陣，則|3A|為( ).（A）43|A|；（B）3|A| （C）4|A| （D）34|A| （4）若|A|=2，且A為5階方陣，則|2A|=（ ）（A）4 （B）4 （C）64 （D）64；(5) 設(shè)A和B都是n階方陣，且|A+AB|=0，則有（ ）（A）|A|=0（B）|I+B|=0 （C）|A=0|或|I+B|=0 （D）|A|=0且|I+B|=0(6) 設(shè)矩陣A、B、C滿足AB=AC，且A0，則 。(A) B=C；（B）BC；（C）B可能等于C，也可能不等于C。三、判斷題: (若錯(cuò),請(qǐng)舉反例;若對(duì),請(qǐng)論證) （1）若則 （ ） （2）若，則或 （ ） （3）若，

8、則； （ ） （4）設(shè)是階方陣，若存在階非零方陣B，使得AB=BA=B，則A=I；（ ） （5）若AX=AY，則X=Y。 （ ）四、用兩種方法判斷下列矩陣是否可逆，若可逆求其逆陣： 五、已知，I為單位陣，試計(jì)算的行列式的值。六、設(shè)，求矩陣X，使。七、求下列矩陣的n次冪 (1) ; (2) ; 八、設(shè)、為階方陣，且可逆，求證： 均為可逆陣。九、寫出下列等式成立的充分條件：（、均為階矩陣） (1) (2) 十、證明：若為實(shí)矩陣，滿足且, 則。十一、 若，為階方陣，和都可逆，且 ,則可逆。十二、 已知 A=,B=(1,-1,2,3),試計(jì)算AB，BA及-2BTAT。十三、已知三階方陣的逆矩陣為，試求

9、A的伴隨矩陣的逆矩陣。十四、設(shè)A、B為n階方陣，IAB可逆，證明：IBA也可逆，且。十五、設(shè)A、B、A+B為同階可逆方陣，試證明A1+B1可逆，并求其逆。十六、 設(shè)（1）求A的行列式 ； （2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，A為正交矩陣？十七、已知矩陣，且，求。十八、設(shè)將n階可逆陣A的第i，j行互換之后得到矩陣B，（1）求證B是可逆的； 十九、設(shè)方陣A滿足，證明A及A+2I都可逆，并求。習(xí)題參考答案一、148 24， 3. 4 5. , 6. 96,7. 8. 二 (1) (C); (2)（B）; （3）D; (4) C; (5) C; (6)C; 三、（1）× 如(2)× 如(3)× 如(4)× 如(5)× 如 四、 (1) (2) (3)五、原式=原式的行列式=六、 提示: 將中的含X的項(xiàng)都移到等式的左端,并提取左提取X得,再驗(yàn)證可逆,再右乘即得. 七、(1) , (提示：. ) (2) 八、 證可逆均可逆 均為可逆陣。九、（1） （2） 十、證明: 設(shè), 展開得: 比較兩端的主對(duì)角線元素得,故,即A=O.十一、提示：由 兩端取行列式即得B可逆, BT可逆, 從而A可逆.十二、 十三、 提示: 利用公式.十四、=十五、因A1+B1=A1(BB1)+(A1A)B1=A1(B+A