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文檔簡介
1、一元一次方程的實際應(yīng)用題 愛因斯坦是現(xiàn)代物理學(xué)的開創(chuàng)者、 集大成者和奠基人, 同時也是一位著名的思想家和哲學(xué)家。 其中他的一句名言還包含了我們的數(shù)學(xué)知識哦。 一起看看吧, 是我們所學(xué)過的什么知識呢?A = x+y+z:成功=艱苦的勞動+正確的方法+少說空話。在我們思考這偉大哲理的同時,請思考一下,這上面的是不是一元一次方程呢? A 列方程解應(yīng)用題的原理正確列出方程能準(zhǔn)確表達(dá)題目中量之間的關(guān)系。B 列方程解應(yīng)用題的實質(zhì)先分析,再找等量關(guān)系,最后列方程。 找出題目中“相等關(guān)系”再列方程。 一兩種方式表達(dá)一個相同的量,列出方程1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟 (1審題:弄清題意. (2找出等量關(guān)
2、系:找出能夠表示本題含義的相等關(guān) 系. (3設(shè)出未知數(shù),列出方程:設(shè)出未知數(shù)后,表示出有關(guān)的含字母的式子, 然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程. (4解方程:解所列的方程,求出未知 數(shù)的值.(5檢驗,寫答案:檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解, 是否 符合實際,檢驗后寫出答案. 題型一:利率問題利率問題利息 =本金×利率×期數(shù)本利和 =本金十利息 =本金×(1+利率×期數(shù)利息稅 =利息×稅率稅后利息 =利息一利息稅 =利息×(1-稅率稅后本利和 =本金+稅后利息【總結(jié)】 若利率是年利率,期數(shù)以“年”為單位計數(shù),若是月利率,則期數(shù)以“月
3、”為單位 計數(shù),解題時要注意 .【例 1】 某人把若干元按三年期的定期儲蓄存入銀行,假設(shè)年利率為 3. 69%,到期支取時 扣除所得稅實得利息 2 103.3元,求存入銀行的本金. (利息稅為 5%【答案】設(shè)存入銀行的本金為 x 元,根據(jù)題意,得(33. 69152103. 3x -=%x =20000x =,因此,存入銀行的本金是 20000元.【總結(jié)】 利息 =本金×利率×期數(shù)×利息稅我來試一試 !【鞏固練習(xí)】1:小青的媽媽前年買了某公司的二年期債 4500元, 今年到期, 扣除利息稅后,共得本利和 約 4700元,問這種債券的年利率是多少 (精確到 0.01
4、%?解:設(shè)這種債券的年利率是 x ,得(注意設(shè)未知數(shù)時 x 和 x %的區(qū)別4700-4500=4500×2x (1-20%解之,得x 2.78%(此題方程得解不是準(zhǔn)確數(shù),因此不必檢驗2:小明把壓歲錢按定期一年存入銀行。當(dāng)時一年期定期存款的年利率為 1.98%,利息稅的 稅率為 20%。到期支付時,扣除利息稅后小明實得本利和為 507.92元。問小明存入銀行的 壓歲錢有多少元?數(shù)量關(guān)系:利息 =本金×利率本息 =本金 +利息本金 +利息 -利息稅 =實得本利和解:設(shè)本金為 x 元,利息為 1.98%x,應(yīng)繳利息稅為 1.98%x ·20%,根據(jù)題意,得:x+1.9
5、8%x-1.98%x·20%=507.92 題型二:折扣問題利潤額 =成本價×利潤率售價 =成本價+利潤額新售價 =原售價×折扣【例 2】 小麗和小明相約去書城買書,請你根據(jù)他們的對話內(nèi)容(如圖 ,求出小明上次所 買書籍的原價. 圖 641-【分析】設(shè)小明上次購買書籍的原價是 x 元,由題意,得0. 82012x x+=-,解得 160x =.因此,小明上次所買書籍的原價是 160元,【答案】 160元 .我來試一試 !1:一件衣服按標(biāo)價的八折出售,獲得利潤 18元,占標(biāo)價的 10%,問該衣服的買入價? 分析:本金:標(biāo)價利率:-20%利息:成交價-標(biāo)價=買入價+利
6、潤-標(biāo)價解:設(shè)該衣服的買入價為 x 元x +18-18/10%=18/10%×(80%-1當(dāng)然,這道題這樣解是一種方法,還可以按照我們常規(guī)的算術(shù)方法解來,倒也簡單,因此, 列方程解應(yīng)用題是針對過程清楚的問題比較簡單方便。2. 一家商店將某種服裝按進價提高 40%后標(biāo)價,又以 8折優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件仍獲利 15元,這種服裝每件的進價是多少?分析 探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵,可直接設(shè)出成本為 X 元 等量關(guān)系:(利潤 =折扣后價格進價折扣后價格-進價 =15 解:設(shè)進價為 X 元, 80%X(1+40% X=15, X=125 答:進價是 125元。 題型三:行程問題行程問題:解行程問題
7、的關(guān)鍵是抓住時間關(guān)系或路程關(guān)系,借助草圖分析來解決問題. 路程 =速度×時間相遇路程 =速度和×相遇時間追及路程 =速度差×追及時間 基本關(guān)系:速度×時間 =路程 (圖示法 (一 相遇問題相遇問題的基本題型及等量關(guān)系 1.同時出發(fā)(兩段甲的路程 +乙的路程 =總路程 2.不同時出發(fā)(三段 先走的路程 +甲的路程 +乙的路程 =總路程【例 1】 甲、乙兩站相距 480公里,一列慢車從甲站開出,每小時行 90公里,一列快車從 乙站開出,每小時行 140公里。(1 慢車先開出 1小時, 快車再開。 兩車相向而行。 問快車開出多少小時后兩車相遇? (2兩車同時開
8、出,相背而行多少小時后兩車相距 600公里?(3 兩車同時開出, 慢車在快車后面同向而行, 多少小時后快車與慢車相距 600公里? (4兩車同時開出同向而行,快車在慢車的后面,多少小時后快車追上慢車?(5慢車開出 1小時后兩車同向而行,快車在慢車后面,快車開出后多少小時追上慢 車?(1分析:相遇問題,畫圖表示為:等量關(guān)系是:慢車走的路程 +快車走的路程 =480公里。解:設(shè)快車開出 x 小時后兩車相遇,由題意得, 140x+90(x+1=480 解這個方程, 230x=390, 23161 x甲 乙答:快車開出 23161小時兩車相遇 (2分析:相背而行,畫圖表示為:等量關(guān)系是:兩車所走的路程
9、和 +480公里 =600公里。 解:設(shè) x 小時后兩車相距 600公里,由題意得, (140+90x+480=600解這個方程, 230x=120 x= 2312 答:2312小時后兩車相距 600公里。 (3分析:等量關(guān)系為:快車所走路程-慢車所走路程 +480公里 =600公里。解:設(shè) x 小時后兩車相距 600公里, 由題意得, (140-90x+480=600 50x=120 x=2.4答:2.4小時后兩車相距 600公里。(4分析:追及問題,畫圖表示為:等量關(guān)系為:快車的路程 =慢車走的路程 +480公里。解:設(shè) x 小時后快車追上慢車。由題意得, 140x=90x+480 解這個
10、方程, 50x=480 x=9.6 答:9.6小時后快車追上慢車。(5分析:追及問題,等量關(guān)系為:快車的路程 =慢車走的路程 +480公里。解:設(shè)快車開出 x 小時后追上慢車。 由題意得, 140x=90(x+1+480 50x=570 x=11.4 答:快車開出 11.4小時后追上慢車?!纠?2】 .小杰和小麗分別在 400米環(huán)形跑道上聯(lián)系跑步與競走,小杰每分鐘跑 320米,小 麗每分鐘走 120米,兩人同時由同一起點同向出發(fā),問幾分鐘后小麗與小杰第一次相遇 . 【答案】 設(shè) x 分鐘后小麗與小杰第一次相遇 . 根據(jù)題意,得320120400x -=解方程,得 2x = 答:出發(fā) 2分鐘后小
11、麗與小杰第一次相遇 .【分析】 由于小杰、 小麗在環(huán)形跑道上同時同地同向出發(fā), 因此小麗與小杰第一次相遇, 必 須是小杰比小麗多跑一圈,得到的等式是:小杰所跑的路程小麗所走的路程 =400. 因為“速度×時間 =路程” ,所以三個量中只要已知其中兩個量就可以得到第三個量 .(2航行問題 順?biāo)?風(fēng)速度=靜水(風(fēng)速度+水流(風(fēng)速度 逆水(風(fēng)速度=靜水(風(fēng)速度-水流(風(fēng)速度 抓住兩碼頭間距離不變,水流速和船速(靜不速不變的特點考慮相等關(guān)系.甲 乙甲 乙【例 3】 某船從 A 地順流而下到達(dá) B 地,然后逆流返回,到達(dá) A 、 B 兩地之間的 C 地,一 共航行了 7小時,已知此船在靜水中的
12、速度為 8千米 /時,水流速度為 2千米 /時。 A 、 C 兩 地之間的路程為 10千米,求 A 、 B 兩地之間的路程。解:設(shè) A 、 B 兩碼頭之間的航程為 x 千米,則 B 、 C 間的航程為 (x-10千米, 由題意得,5. 327281082=-+x x x 解這個方程得答:A 、 B 兩地之間的路程為 32.5千米。 分析 這屬于行船問題,這類問題中要弄清:(1順?biāo)俣?=船在靜水中的速度 +水流速度;(2逆水速度 =船在靜水中的速度-水流速度。相等關(guān)系為:順流航行的時間 +逆流航 行的時間 =7小時。我來試一試 !1. 甲乙兩人在同一道路上從相距 5千米的 A 、 B 兩地同向
13、而行, 甲的速度為 5千米 /小時, 乙 的速度為 3千米 /小時,甲帶著一只狗,當(dāng)甲追乙時,狗先追上乙,再返回遇上甲,再返回 追上乙,依次反復(fù),直至甲追上乙為止,已知狗的速度為 15千米 /小時,求此過程中,狗跑 的總路程是多少?解:設(shè)甲用 X 小時追上乙,根據(jù)題意列方程 5X=3X+5 解得 X=2.5,狗的總路程:15×2.5=37.5答:狗的總路程是 37.5千米。分析 追擊問題, 不能直接求出狗的總路程, 但間接的問題轉(zhuǎn)化成甲乙兩人的追擊問題。 狗 跑的總路程 =它的速度×時間,而它用的總時間就是甲追上乙的時間2. 一架飛機在兩個城市之間飛行,風(fēng)速為 24千米 /
14、小時,順風(fēng)飛行需要 2小時 50分,逆風(fēng) 飛行需要 3小時,求兩個城市之間的飛行路程? 解:設(shè)兩個城市之間的飛行路程為 x 千米。 則24484831762432460502=-+=-x xx xx3. 一輪船在甲、乙兩碼頭之間航行,順?biāo)叫行枰?4小時,逆水航行需要 5小時,水流的速 度為 2千米 /時,求甲、乙兩碼頭之間的距離。 解:設(shè)甲、乙兩碼頭之間的距離為 x 千米。則 454+=x x x=80 題型四:工程問題工程問題解工程問題時,常將工作總量當(dāng)作整體“ 1” .基本關(guān)系為: 工作效率×工作時間 =1(工作總量等量關(guān)系:(圖示法 工作總量 =工作效率×工作時間全
15、部工作量之和 =各隊工作量之和,各隊合作工作效率 =各隊工作效率之和 工作總量不清楚時看成“ 1”【例 1】 一項工程甲做 40天完成,乙做 50天完成,現(xiàn)在先由甲做,中途甲有事離去,由乙 接著做,共用 46天完成.問甲、乙各工作了多少天? 【分析】 由題意知,甲每天完成全部工作量的 140,乙每天完成 150,設(shè)甲工作了 x 天,則 乙工作了(46x -天,根據(jù)題意,得4614050x x-+=.解得 16x =,則 461630-=(天. 故甲工作了 16天,乙工作了 30天.【答案】 甲工作 16天,乙工作 30天.【例 2】 一件工程,甲獨做需 15天完成,乙獨做需 12天完成,現(xiàn)先由
16、甲、乙合作 3天后, 甲有其他任務(wù),剩下工程由乙單獨完成,問乙還要幾天才能完成全部工程?解:設(shè)乙還需 x 天完成全部工程,設(shè)工作總量為單位 1,由題意得,5365331123 121151(=+x x 解之得 答:乙還需 536天才能完成全部工程。分析 設(shè)工程總量為單位 1,等量關(guān)系為:甲完成工作量 +乙完成工作量 =工作總量。 【例 3】 一個蓄水池有甲、乙兩個進水管和一個丙排水管,單獨開甲管 6小時可注滿水池; 單獨開乙管 8小時可注滿水池, 單獨開丙管 9小時可將滿池水排空, 若先將甲、 乙管同時開 放 2小時,然后打開丙管,問打開丙管后幾小時可注滿水池?解:設(shè)打開丙管后 x 小時可注滿
17、水池, 由題意得, 1342133019 2( 8161(=-+x x x 解這個方程得 答:打開丙管后 1342小時可注滿水池。 分析 等量關(guān)系為:甲注水量 +乙注水量 -丙排水量 =1。我來試一試 !1. 一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò), 甲獨做需 6小時, 乙獨做需 4小時, 甲先做 30分鐘,然后甲、乙一起做,則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作? 解:設(shè)甲、乙一起做還需 x 小時才能完成工作. 根據(jù)題意,得16×12+(16+14 x=1 解這個方程,得 x=115 115=2小時 12分 答:甲、乙一起做還需 2小時 12分才能完成工作.2. 某車間有 16名工人
18、,每人每天可加工甲種零件 5個或乙種零件 4個.在這 16名工人中, 一部分人加工甲種零件, 其余的加工乙種零件. 已知每加工一個甲種零件可獲利 16元, 每加工一個乙種零件可獲利 24元. 若此車間一共獲利 1440元, 求這一天有幾個工人加 工甲種零件.解:設(shè)這一天有 x 名工人加工甲種零件, 則這天加工甲種零件有 5x 個, 乙種零件有 4(16-x 個. 根據(jù)題意,得 16×5x+24×4(16-x =1440 解得 x=6 答:這一天有 6名工人加工甲種零件3. 一項工程甲單獨做需要 10天,乙需要 12天,丙單獨做需要 15天,甲、丙先做 3天后, 甲因事離去,
19、乙參與工作,問還需幾天完成? 解:設(shè)還需 x 天。3101 3(151=+=+ +x x x x 解得 或 我的 得分方法回顧1數(shù)字問題一般可設(shè)個位數(shù)字為 a ,十位數(shù)字為 b ,百位數(shù)字為 c . 十位數(shù)可表示為 10b+a, 百位數(shù)可表示為 100c+10b+a.然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程. 2.市場經(jīng)濟問題(1 商品利潤=商品售價-商品成本價 (2 商品利潤率=商品利潤商品成本價×100%(3商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量(4商品的銷售利潤=(銷售價-成本價×銷售量(5商品打幾折出售,就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售,如商品打 8折
20、出售, 即按原標(biāo)價的 80%出售.3.行程問題:路程=速度×時間 時間=路程÷速度 速度=路程÷時間(1相遇問題:快行距+慢行距=原距(2追及問題:快行距-慢行距=原距(3航行問題:順?biāo)?風(fēng)速度=靜水(風(fēng)速度+水流(風(fēng)速度逆水(風(fēng)速度=靜水(風(fēng)速度-水流(風(fēng)速度抓住兩碼頭間距離不變, 水流速和船速 (靜不速 不變的特點考慮相等關(guān)系. 4.工程問題 :工作量=工作效率×工作時間完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=15.儲蓄問題利潤= 每個期數(shù)內(nèi)的利息本金×100% 利息=本金×利率×期數(shù)注意:雖然我們分了幾種類型對應(yīng)用題進行
21、了研究, 但實際生活中的問題是千變?nèi)f化的, 遠(yuǎn)不止這幾類問題。 因此我們要想學(xué)好列方程解應(yīng)用題, 就要學(xué)會觀察事物, 關(guān)心日常生產(chǎn) 生活中的各種問題, 如市場經(jīng)濟問題等等,要會具體情況具體分析,靈活運用所學(xué)知識,認(rèn) 真審題,適當(dāng)設(shè)元,尋找等量關(guān)系,從而列出方程,解出方程,使問題得解 課后作業(yè)完成1. 某商店開張,為了吸引顧客,所有商品一律按八折優(yōu)惠出售,已知某種皮鞋進價 60元 一雙,八折出售后商家獲利潤率為 40%,問這種皮鞋標(biāo)價是多少元?優(yōu)惠價是多少元?分析 等量關(guān)系:商品利潤率 =商品利潤 /商品進價解:設(shè)標(biāo)價是 X 元,80%604060100x -=解之:x=105 優(yōu)惠價為 , (
22、8410510080%80元 =x2. 一家商店將某種服裝按進價提高 40%后標(biāo)價,又以 8折優(yōu)惠賣出,結(jié)果每件仍獲利 15元,這種服裝每件的進價是多少?分析 探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵,可直接設(shè)出成本為 X 元 等量關(guān)系:(利潤 =折扣后價格進價折扣后價格-進價 =15 解:設(shè)進價為 X 元, 80%X(1+40% X=15, X=125 答:進價是 125元。3. 一家商店將一種自行車按進價提高 45%后標(biāo)價,又以八折優(yōu)惠賣出,結(jié)果每輛仍獲利 50元,這種自行車每輛的進價是多少元?若設(shè)這種自行車每輛的進價是 x 元,那么所列方 程為( B A.45%×(1+80% x-x=50
23、B. 80%×(1+45% x - x = 50 C. x-80%×(1+45% x = 50 D.80%×(1-45% x - x = 504.某商品的進價為 800元,出售時標(biāo)價為 1200元, 后來由于該商品積壓,商店準(zhǔn)備打折出 售,但要保持利潤率不低于 5%,則至多打幾折. 解:設(shè)至多打 x 折,根據(jù)題意有 1200800800x -×100%=5% 解得 x=0.7=70%答:至多打 7折出售 .4. 某同學(xué)把 250元錢存入銀行,整存整取,存期為半年。半年后共得本息和 252.7元,求 銀行半年期的年利率是多少?(不計利息稅 分析 等量關(guān)系:
24、本息和 =本金×(1+利率解:設(shè)半年期的實際利率為 X ,依題意得方程 250(1+X=252.7, 解得 X=0.0108 所以年利率為 0.0108×2=0.0216 答:銀行的年利率是 21.6% 5. 為了準(zhǔn)備 6年后小明上大學(xué)的學(xué)費 20000元,他的父親現(xiàn)在就參加了教育儲蓄,下面有 三種教育儲蓄方式: (1直接存入一個 6年期;(2先存入一個三年期, 3年后將本息和自動轉(zhuǎn)存一個三年期; (3先存入一個一年期的,后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個一年期;你認(rèn)為哪 種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少?分析這種比較幾種方案哪種合理的題目,我們可以分別計算出每種教育儲蓄的本金是多
25、 少,再進行比較。 解:(1)設(shè)存入一個 6 年的本金是 X 元,依題意得方程 X(1+6×2.88%)=20000,解得 X=17053 (2) 設(shè)存入兩個三年期開始的本金為 Y 元,(1+2.7%×3) Y (1+2.7%×3) =20000, X=17115 (3)設(shè)存入一年期本金為 Z 元 ,Z(1+2.25%)6=20000,Z=17894 所以存入一個 6 年期的本金最少。 6某蔬菜公司的一種綠色蔬菜,若在市場上直接銷售,每噸利潤為 1000 元,經(jīng)粗加工后 銷售,每噸利潤可達(dá) 4500 元,經(jīng)精加工后銷售,每噸利潤漲至 7500 元,當(dāng)?shù)匾患夜臼?
26、購這種蔬菜 140 噸,該公司的加工生產(chǎn)能力是: 如果對蔬菜進行精加工,每天可加工 16 噸,如果進行精加工,每天可加工 6 噸,但兩種加工方式不能同時進行,受季度等條件 限制, 公司必須在 15 天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢, 為此公司研制了三種可行方案: 方案一:將蔬菜全部進行粗加工 方案二:盡可能多地對蔬菜進行粗加工,沒來得及進行加工的蔬菜,在市場上直接銷 售 方案三:將部分蔬菜進行精加工,其余蔬菜進行粗加工,并恰好 15 天完成 你認(rèn)為哪種方案獲利最多?為什么? .解:方案一:獲利 140×4500=630000(元) 方案二:獲利 15×6×7500+(140-15×6)×1000=
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