高等數(shù)學：D1_4無窮小無窮大

1、 第一章 二、二、 無窮大無窮大 三三 、 無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系 一、一、 無窮小無窮小 第四節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 無窮小與無窮大當一、一、 無窮小無窮小定義定義1 . 若0 xx 時 , 函數(shù),0)(xf則稱函數(shù))(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函數(shù) 1x當1x時為無窮小;,01limxx函數(shù) x1x時為無窮小;,011limxx函數(shù) x11當x)x(或為時的無窮小無窮小 .時為無窮小.)x(或機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 說明說明: 除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 ! 因為0)(lim0 xfxx,0,0當00 xx時, 0)

2、(xf顯然 C 只能是 0 !CC0 xx 時 , 函數(shù),0)(xf(或 )x則稱函數(shù))(xf為0 xx 定義定義1. 若(或 )x則時的無窮小無窮小 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 其中 為0 xx 時的無窮小量 . 定理定理 1 . ( 無窮小與函數(shù)極限的關系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,證證:Axfxx)(lim0,0,0當00 xx時,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx對自變量的其它變化過程類似可證 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 Mxf)(二、二、 無窮大無窮大定義定義2 . 若任給任給 M 0 ,000 xx一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù))(xf

3、當0 xx 時為無窮大, 使對.)(lim0 xfxx若在定義中將 式改為Mxf)(則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) X ) ,記作, )(Mxf總存在機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 注意注意:1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !例如例如, 函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n當n2但0)(2nf所以x時 ,)(xf不是無窮大 !oxyxxycos機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例 . 證明11lim1xx證證: 任給正數(shù) M ,

4、 要使,11Mx即,11Mx只要取,1M則對滿足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy若 ,)(lim0 xfxx則直線0 xx 為曲線)(xfy 的鉛直漸近線 .漸近線1說明說明:xyo機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、無窮小與無窮大的關系三、無窮小與無窮大的關系若)(xf為無窮大,)(1xf為無窮小 ;若)(xf為無窮小, 且,0)(xf則)(1xf為無窮大.則(自證)據(jù)此定理 , 關于無窮大的問題都可轉化為 無窮小來討論.定理定理2. 在自變量的同一變化過程中,說明說明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結1. 無窮小與無窮大的定義2. 無窮小與函數(shù)極限的關系Th13. 無窮小與無窮大的關系Th2思考與練習思考與練習P41 題1 , 3P41