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文檔簡介
1、極值點偏移問題的處理策略及探究 所謂極值點偏移問題,是指對于單極值函數(shù),由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同,使得函數(shù)圖像沒有對稱性。若函數(shù)在處取得極值,且函數(shù)與直線交于,兩點,則的中點為,而往往.如下圖所示.極值點沒有偏移此類問題在近幾年高考及各種???,作為熱點以壓軸題的形式給出,很多學(xué)生對待此類問題經(jīng)常是束手無策。而且此類問題變化多樣,有些題型是不含參數(shù)的,而更多的題型又是含有參數(shù)的。不含參數(shù)的如何解決?含參數(shù)的又該如何解決,參數(shù)如何來處理?是否有更方便的方法來解決?其實,處理的手段有很多,方法也就有很多,我們先來看看此類問題的基本特征,再從幾個典型問題來逐一探索!【問題特征】【處理策略】1、
2、 不含參數(shù)的問題.例1.(2010天津理)已知函數(shù) ,如果,且 ,證明:【解析】法一:,易得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,時,時, 函數(shù)在處取得極大值,且,如圖所示.由,不妨設(shè),則必有,構(gòu)造函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞增,也即對恒成立.由,則,所以,即,又因為,且在上單調(diào)遞減,所以,即證法二:欲證,即證,由法一知,故,又因為在上單調(diào)遞減,故只需證,又因為,故也即證,構(gòu)造函數(shù),則等價于證明對恒成立.由,則在上單調(diào)遞增,所以,即已證明對恒成立,故原不等式亦成立.法三:由,得,化簡得,不妨設(shè),由法一知,.令,則,代入式,得,反解出,則,故要證:,即證:,又因為,等價于證明:,構(gòu)造函數(shù),則,故在上單調(diào)遞增,
3、從而也在上單調(diào)遞增,即證式成立,也即原不等式成立.法四:由法三中式,兩邊同時取以為底的對數(shù),得,也即,從而,令,則欲證:,等價于證明:,構(gòu)造,則,又令,則,由于對恒成立,故,在上單調(diào)遞增,所以,從而,故在上單調(diào)遞增,由洛比塔法則知:,即證,即證式成立,也即原不等式成立.【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式,方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的,方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元,將兩個舊的變元都換成新變元來表示,從而達到消元的目的.2、 含參數(shù)的問題.例2.已知函數(shù)有兩個不同的零點,求證:.【解析】思路1:函數(shù)的兩個零點,等價于方程的兩個實根,從而這一問題與例1
4、完全等價,例1的四種方法全都可以用;思路2:也可以利用參數(shù)這個媒介去構(gòu)造出新的函數(shù).解答如下:因為函數(shù)有兩個零點, 所以, 由得:,要證明,只要證明, 由得:,即, 即證:, 不妨設(shè),記,則, 因此只要證明:,再次換元令,即證構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo),得在遞增,所以,因此原不等式獲證.【點評】含參數(shù)的極值點偏移問題,在原有的兩個變元的基礎(chǔ)上,又多了一個參數(shù),故思路很自然的就會想到:想盡一切辦法消去參數(shù),從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決;或者以參數(shù)為媒介,構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù)。例3.已知函數(shù),為常數(shù),若函數(shù)有兩個零點,試證明:【解析】法一:消參轉(zhuǎn)化成無參數(shù)問題:,是方程的兩根,也是方程的兩根,則是,設(shè)
5、,則,從而,此問題等價轉(zhuǎn)化成為例1,下略.法二:利用參數(shù)作為媒介,換元后構(gòu)造新函數(shù): 不妨設(shè),欲證明,即證.,即證,原命題等價于證明,即證:,令,構(gòu)造,此問題等價轉(zhuǎn)化成為例2中思路二的解答,下略.法三:直接換元構(gòu)造新函數(shù):設(shè),則,反解出:,故,轉(zhuǎn)化成法二,下同,略.例4.設(shè)函數(shù),其圖像與軸交于兩點,且.證明:.【解析】由,易知:的取值范圍為,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.法一:利用通法構(gòu)造新函數(shù),略;法二:將舊變元轉(zhuǎn)換成新變元:兩式相減得:,記,則,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞減,故,而,所以,又是上的遞增函數(shù),且,.容易想到,但卻是錯解的過程:欲證:,即要證:,亦要證,也即證:,很自然會想到:對兩式
6、相乘得:,即證:.考慮用基本不等式,也即只要證:.由于.當(dāng)取將得到,從而.而二元一次不等式對任意不恒成立,故此法錯誤.【迷惑】此題為什么兩式相減能奏效,而變式相乘卻失???兩式相減的思想基礎(chǔ)是什么?其他題是否也可以效仿這兩式相減的思路? 【解決】此題及很多類似的問題,都有著深刻的高等數(shù)學(xué)背景.拉格朗日中值定理:若函數(shù)滿足如下條件:(1) 函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù);(2) 函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則在內(nèi)至少存在一點,使得.當(dāng)時,即得到羅爾中值定理.上述問題即對應(yīng)于羅爾中值定理,設(shè)函數(shù)圖像與軸交于兩點,因此,由于,顯然與,與已知不是充要關(guān)系,轉(zhuǎn)化的過程中范圍發(fā)生了改變.例5.(11年,遼寧理)已知函數(shù)(I)討
7、論的單調(diào)性;(II)設(shè),證明:當(dāng)時,;(III)若函數(shù)的圖像與軸交于兩點,線段中點的橫坐標(biāo)為,證明:.【解析】(I)易得:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(II)法一:構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性證明,方法上同,略;法二:構(gòu)造以為主元的函數(shù),設(shè)函數(shù),則,由,解得,當(dāng)時,而, 所以,故當(dāng)時,.(III)由(I)知,只有當(dāng)時,且的最大值,函數(shù)才會有兩個零點,不妨設(shè),則,故,由(II)得:,又由在上單調(diào)遞減,所以,于是,由(I)知,.【問題的進一步探究】對數(shù)平均不等式的介紹與證明兩個正數(shù)和的對數(shù)平均定義:對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系:(此式記為對數(shù)平均不等式)取等條件:當(dāng)
8、且僅當(dāng)時,等號成立.只證:當(dāng)時,.不失一般性,可設(shè).證明如下:(I)先證:不等式構(gòu)造函數(shù),則.因為時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,從而不等式成立;(II)再證:不等式構(gòu)造函數(shù),則.因為時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,從而不等式成立;綜合(I)(II)知,對,都有對數(shù)平均不等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.前面例題用對數(shù)平均不等式解決例1.(2010天津理)已知函數(shù) ,如果,且 ,證明:【解析】法五:由前述方法四,可得,利用對數(shù)平均不等式得:,即證:,秒證.說明:由于例2,例3最終可等價轉(zhuǎn)化成例1的形式,故此處對數(shù)平均不等式的方法省略.例4.設(shè)函數(shù),其圖像與軸交于兩點,且.證明:.【解析】法三:由前述
9、方法可得:,等式兩邊取以為底的對數(shù),得,化簡得:,由對數(shù)平均不等式知:,即,故要證,而顯然成立,故原問題得證.例5.(11年,遼寧理)已知函數(shù)(I)討論的單調(diào)性;(II)設(shè),證明:當(dāng)時,;(III)若函數(shù)的圖像與軸交于兩點,線段中點的橫坐標(biāo)為,證明:.【解析】(I)(II)略,(III)由故要證.根據(jù)對數(shù)平均不等,此不等式顯然成立,故原不等式得證.【挑戰(zhàn)今年高考壓軸題】(2016年新課標(biāo)I卷理數(shù)壓軸21題)已知函數(shù)有兩個零點.證明:.【解析】由,得,可知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.要使函數(shù)有兩個零點,則必須.法一:構(gòu)造部分對稱函數(shù)不妨設(shè),由單調(diào)性知,所以,又在單調(diào)遞減,故要證:,等價于證明:,又,且,構(gòu)造函數(shù),由單調(diào)性可證,此處略.法二:參變分離再構(gòu)造差量函數(shù)由已知得:,不難發(fā)現(xiàn),故可整理得:設(shè),則那么,當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增設(shè),構(gòu)造代數(shù)式:設(shè),則,故單調(diào)遞增,有因此,對于任意的,由可知、不可能在的同一個單調(diào)區(qū)間上,不妨設(shè),則必有令,則有而,在上單調(diào)遞增,因此:整理得:法三:參變分離再構(gòu)造對稱函數(shù)由法二,得,構(gòu)造,利用單調(diào)性可證,此處略.法四:構(gòu)造加強函數(shù)【分析說明】由于原函數(shù)的不對稱,故希望構(gòu)造一個關(guān)于直線對稱的函數(shù),使得當(dāng)時,當(dāng)時,結(jié)合圖像,易證原不等式成立
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