解析幾何中斜率之積為定值的問題探究

1、微專題：解析幾何中斜率之積為定值（k1 ?k2b2f 的問題探究a15【教學(xué)重點】掌握橢圓中b2的形成的路徑探尋及成果運用理性判斷a【教學(xué)難點】運算的設(shè)計和化簡活動一：K?k2b形成的路徑探尋a2X1.若AB是橢圓-2a2 1(a b b20）上的不過原點的弦，點P是弦AB的中點，且直線OP,AB的斜率都存在，求Kab?Kpo.【解析】：設(shè)點PX0,y0B X2 , y22VIb21(1)；X2y2b21（2）;（代點作差）將式減式得,蘇01+制網(wǎng)-電）+£5+制）5_加=0凡+巧=2%,丁1+g=2穌所以2（.丫/）+-兇” 0所以再第一即 Kab?Kpob22 ,a【結(jié)論形成總結(jié)

2、】22【結(jié)論1】 若AB是橢圓 U y 1（a b 0）上的非直徑的弦，點 P是弦AB的中點，且 a2 b2直線OP,AB的斜率都存在，則 Kab ?Kpo-by e2 1 .a2 X2.已知AB是橢圓一2 a2" 1（a b 0）上過原點的弦，點 P是橢圓異于A,B的任意一點, b2若直線pa,pb的斜率都存在，記直線 pa,pb的斜率分別為k1, k2.求k1?k2的值?！窘夥?】：設(shè)P x0,y0 , A x1,y1又因為a,b是關(guān)于原點對稱,所以點B的坐標為B-K,- y1，所以 k1 ? k2y。 yi ? y。yi22y。yiXoXixoXi2X02 ,Xi又因為點Px,

3、y。,A Xi, yi在橢圓上,2 x0 所以有w a2V。1(1)；2 Xi -2 a2yii(2);兩式相減得,22y。 yi22Xo Xi【方法小結(jié)】b2-r，a所以K?k2之a(chǎn)本解法從設(shè)點入手，利用“點在曲線上”代點作差使用“點差法”。【解法2】橢圓圓化；由圓的結(jié)論類比到橢圓中。過圓X2 y2 r2上異于直徑兩端點的任意一點與一條直徑的兩個端點連線，則兩條連線的斜率之積為定值Kpa?Kpbi類比上述圓的結(jié)論通過伸縮變換橢圓圓化X x；v令a b2X2則有a2 y b2i(a b 0)22(X')2 y' iP X。，y。 P' ',""

4、; 點P,A,B為橢圓上點 a bAXi,yiA''，* 點p' ,a' ,b'為新圓上點a bB x, ViB'由圓上的kp'A'?kP,B， -i的關(guān)系過渡到pa,pb上(kp'A' ? kp'B-史)2 (Y_)2b '' b "1戶)2(土)2a a22(yo) (y1)22(Xo)(X)b2a【方法小結(jié)】解法 2運用類比聯(lián)想的方法；由圓的結(jié)論過渡到橢圓，學(xué)生易于理解，但通過 伸縮變換將橢圓圓化的過程對于學(xué)生的能力具有一定的要求。這也正是我們要 加強訓(xùn)練的地方?！窘Y(jié)論形成總

5、結(jié)】22【結(jié)論2】 已知AB是橢圓 0 -y2 1(a b 0)的中心弦，點a bP是橢圓上任意一點,b2若直線PA,PB的斜率都存在，則 Kpa?Kpbja活動二：K?k2b2結(jié)論的應(yīng)用a【例1】(1)已知橢圓c：一621直線m與橢圓C相交于A,B兩點，且AB的中點為P(1,1)3,【解析】本題具有弦中點的特征所以應(yīng)用結(jié)論Kab?Kpob22a因為P(1,1)易求Kpo1的，所以Kab所以直線m的方程為：x+2y-3=0(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，R, F2分別為橢圓y2b21的左、右焦點，b1C分別為橢圓的上、下頂點，直線BF2與橢圓的另一交點為 D.若cos F1BF2 2則直

6、線CD的斜率為.5【解析】觀察圖形易發(fā)現(xiàn) BC具有中心弦的特征選用結(jié)論 2因為 cos F1BF2 1 所以 F1BF2 600 2所以 OBF2 300 ；在Rt BOF2中易知BF2 2OB 3 bBF2O 600所以直線BD的傾斜角為1200所以直線BD的斜率為Kbd -J3;b233由結(jié)論可知Kbd ?Kcd 所以Kcd a24 CD 4【方法小結(jié)】通過兩道小題強化結(jié)論的應(yīng)用；并讓學(xué)生能夠通過圖形自主發(fā)現(xiàn)中點弦，中 心弦的特征，從而合理巧妙的應(yīng)用結(jié)論。22l2是橢圓的右準線,MN的最小值。一 xy.【例2】如圖，橢圓 一 y- 1中，A,B分別為橢圓的左右頂點，43P是橢圓上的動點，直

7、線 AP,BP分別交心于M,N,求線段【解析】【設(shè)K法】設(shè)直線AP的斜率為K (k>0),則直線AP的方程為：y=k(x+2);又MN的方程為x=4.易求M(4,6K);y k(x 2)x2y23 4k2x216k2x16k212 。又 A(-2,0)；設(shè)PX0,y0 143(-2) xo16k2 123 4k2xo6 8k2曰/日3而勿信y012k3 4k26 8k212k、P( 2,2)3 4k2 3 4k2N(4,)；所以 MN2k1 一2時等號成立)解法二：【利用中心弦結(jié)論 Kpa?Kpbb2 -31 a 4設(shè)直線AP的方程為：y=k(x+2);因為Kpa ?Kpbb1 -2 K

8、 -Aa24 pb 4k所以直線PB的方程為：y3 一 一3 .一 (x 2);易得 M(4,6K) ; N(4, 一)4k2k所以MN6k 32k,一， ,1 一，6(當(dāng)且僅當(dāng)k 1時等號成立)解法三：【設(shè)點法】設(shè) M(4,m)(m>0);N(4,n)(n<0);A(-2,),B(2,0) KPA m; KPB -PA 62Kpa?Kpbmn12b23c 3 -a4m( n) 9一.一，一 33 .又點B (2,0);所以Kpb ；所以直線PB的方程為：y (x 2);令x=4得4k4k3一6k 6(當(dāng)且僅當(dāng)k2kMN m ( n) 2v1m( n) 6(當(dāng)且僅當(dāng)m ( n) 3

9、時等號成立)【點評】三種方法兩個角度：顯然從設(shè)點和設(shè)速計算找到解題的突破口?！就卣寡由臁縆的角度處理問題結(jié)合中心弦的結(jié)論能夠快在平面直角坐標系xOy中，設(shè)A,B為橢圓y21上異于頂點的兩點。1_2_2(1)若OA,OB的斜率之積為,求證：OA OB為定值;21(2)若OA,OB的斜率之積為,求證：線段 AB的中點2C在某個定橢圓上?！窘馕觥康谝恍栐O(shè)A(x1,y1)；B(x2,y2)； K°a?K°bV1V2*212；2y1y24x2224y1 y222x x2 ；又因為點A,B在橢圓上2_2X 2-2y1；x22-2y22代入上式得:2224y1 y2x x2(2-2y：

10、) ?(2-2y22)2y21_2_22OA2 OB2 x1222V1 x2 V2,2、(2-2yJ2 ,2、小(2-2y2)2V2 422(y1 y2 )3(2)設(shè)C(Xo, y0);因為C為AB中點2x0x1平方2 y0V1V24x024 y022X2V12 t、2x1x2 x2 (1)廠, x1 222( ) 因為 Koa?K2yy2 y2 (2)OBy2印21-；221iV2X1X204y1y22x1x20;所以(1) +X2可得2224x08 y0 x1222Vl 用2xo【探究形成結(jié)論】在平面直角坐標系 xOy中，設(shè)A,B為橢圓2x2ay2b71(a0)上異于頂點的兩點。OB2 a

11、2b2;b22(1)若OA,OB的斜率之積為Koa ? Kob ；貝U OA2 a【解析】設(shè) A（Xi，y）B（X2，y2）； Koa?KobX1X2b2-2 ；a2a yiy22b X1X2422a yi y2422b Xi X2 ；又因為點A,B在橢圓上22222 222222 2 一bx a y1 a b ; b x2 a y2 a b 移項得:得:-a2y12 b2x12 -a2b2(1) ; -a2y22 b2x22-a2b2(2)由(1)/ 2 24/ 22、c/ 2 -24 2 222_2a y1y 2b(X1- a )? ( x2 - a ) bX1x2X1x2a由(1)+(2

12、)得：-a2(y12y22)b2(x12x22)-2a2b2a2b2y12y22b22222222,2OA OB X1 y1 X2 y2abb2（2）若OA,OB的斜率之積為-2,求證：線段 AB的中點C在某個定橢圓上。a設(shè)C（x0, y0）；因為C為ab中點2X0 x1 X2 平方2y° V1V24X024yo222八X12X1X2 x2 (1)22,V12丫1丫2 y2 因為 Koa?Kobb2X1X22.222a y1y2 b x1x2 0；所以(1) b (2) a 可得4b2Xo2 b2x； 2b2xx2 b%2。)足 2 -2。2. 22 22 222 2 4b X0 4

13、a yo2ab4a v。a V12a y* a y2 (2)22AB的中點軌跡方程為：*Vt 1 a b22【小結(jié)】伴生結(jié)論：x）2 x22 a2; y12 y22 b2【鞏固練習(xí)】1. （2。11江蘇卷18）如圖，在平面直角坐標系xOy中，M N分別是橢圓2-y-1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過 P作x軸的垂線，垂足為C,連接AC,并延長交橢圓于點B,設(shè)直線PA的斜率為k,對任意k>0,證明：PA PB法一：運用點差法求解；主要應(yīng)用上述結(jié)論推導(dǎo)過程中設(shè)點作差的思想方法。由題意設(shè) P(X0,y0),A( xo, y。), B(xi,y)則C(x0,0),

14、QA、C、B三點共線,也 江_也，又因為點P、B在橢圓上, x1 x。 2x。 xi x。222xoyo142,42yL 1 ,兩式相減得:2kpBx。 x12（ y。y1）kpAkpB9戶、x。2（ y。y1）（y1 y0）（x。 x1）（x1%）（y。 y1）1 PA PB法二：注意有 中心弦的特征所以嘗試運用 結(jié)論1的方法由題意設(shè) Plx。d。),” X0, y。)，B(x1,y1),則C(x。,。)KPAy。一；x0K AB K ACy。2x。1 人KPA ；由結(jié)論2 PA1:Kab?Kpbb2-2a1 一 12;用"代換Kab則 KAB?KPB1-Kpa?KpbKPA ?

15、K PB1 PAPB法三：因為AB不是中心弦，通過 構(gòu)造弦AB中點嘗試運用 結(jié)論2的方法設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2),A,B 中點 N(x0,y。),則 P(-x1, y1),C(-x1,。),QA、C、B三點共線,y2X2Xiy2yiyiX2Xi2x1kAB，又因為點A、B在橢圓上,2X22 y222i,Y2左i,兩式相減得:2yoXo2kABkONkPAyo yiXo Xii2kAB2kAB1,ON / PB, PA PB【點評】通過一道例題將上述結(jié)論的探究方法（設(shè)點法，點差法等）以及兩個結(jié)論都的到 了運用。起到了典例示范的作用，并通過三種方法的對比訓(xùn)練學(xué)生發(fā)現(xiàn)中心弦特 征

16、；挖掘弦中點的方法技巧；真正起到學(xué)以致用的作用。2 . X2.如圖，已知橢圓 Ei: -2 a2yy i(a b 0)橢圓 E2： b22X4a22"i(a b 0), 4b2橢圓Ei的離心率為 , 2P在橢圓E2上，過點P的直線L交橢圓Ei于A,B兩點，且1AP AB,若直線op,oa的斜率之積為-,求實數(shù) 2的值?！窘馕觥糠椒ㄒ唬河深}意得X2 2y2 8b2,X2 2y； 2b2,X2 2y2 2b2,uurAPuur AB,所以(Xo (yoXo則（X01)Xi)2yiXi即 X0X12y0yi 0,X2Xo (1)xXi, yoyi)(X2 Xi,y2 y1)，解得1)yi

17、221)2 2b2則 X2 2(1)XoXi (1)2Xi2 2y2 4(1)y0yi 2(X2 2y；) 2(1)(XoXi 2y°yi) (1)2(痛 2y2) 222222 一22 一所以8b (1) 2b 2 b ,即4 (1) ，所以方法二：不妨設(shè)點 p在第一象限，設(shè)直線OP: yy2yo (1)yi,、2 2-2, 2i) yi2 b2b2kX(k o),代入橢圓E2：x2 2y2 8b2,解得xo2、2b,1 2k2，則yo2、.2bk,1 2k2_ i直線OP,OA的斜率之積為 -,則直線2OA:y1一x , 2k代入橢圓E1 : x2 2y2 2b2,解得x12bk.1 2k2，則 yib.12k2uurAPuurAB,則(Xo Xi, yo yi)(X2y1)，解得X2Xo (1)Xi所以（xo (1)X12 . yo (1)yb22)2() 2by2yo (i)yi則X22(1)XoXi (1)2Xi2 2 y24(i)yoyi 2(2 2i) yi2 2b2(X22yo)2(1)(xoXi 2yoyi)(22_ 21) (Xi 2yi)2b2所以8b22(2 .2b / 2bk 、1)( 2 ( =2). 1 2k 1 2k2 _2=2b