2021北京石景山高三一模數(shù)學(xué)試題與答案

1、2021北京石景山高三一模本試卷共8頁(yè)，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.請(qǐng)務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效，考試 結(jié)束后上交答題卡.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).(1 )已知集合人=1,3,5, 5 = “/一16<0,則4口8 =(A) 1,3(B) 3,5(D) (0,4)13（2）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且最小正周期丁 =兀的是(B)/(X)= x(C) /(x) = 2sinxcosx(D)/(x) = sinx（3）復(fù)數(shù)學(xué)在復(fù)平而上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,則實(shí)數(shù)"的取值范

2、圍是(A)(B) S,0)(C)(0,+8)(D) (L-KO)（4）一幾何體的直觀圖和主視圖如圖所示，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是(D)正（主）視圖（5） “直線/垂直于平面。內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”是“直線/垂直于平面，”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（6）已知菱形,458 的邊長(zhǎng)為。，NABC = 60°,則85.。力=(A) 一二“2(B) 一二4/3 ->(C) 一14(D) -a22(7)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)廠的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),若F是線段AB的中點(diǎn)，則IA3I二(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(8 )“

3、回文數(shù)”是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22, 121, 3443等.那么在四位數(shù)中，回文數(shù) 共有(A) 81 個(gè)(B) 90個(gè)(C) 100個(gè) (D) 900個(gè)*2 2 T W 0(9)已知/*)= ： f ：若1/(刈2心在上恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值 范圍是 3x-2,x> 0. »(A) (-oo,-lU0.-K»)(B) OJJ(C) -1,0(D) (-1,0)(10)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后 人稱為三角形的“歐拉線在平面直角坐標(biāo)系中作ABC, AB=AC=4,點(diǎn)3(-1,3)

4、,點(diǎn)C(4,-2 ),且其“歐 拉線”與圓M：。-。尸+(，一。+ 3)2=產(chǎn)相切.則圓M上的點(diǎn)到直線x-y + 3 = 0的距離的最小值為(A) 272(B) 32(C) 472(D) 6第二部分(非選擇題共U0分)二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.(11)雙曲線壬三=1的離心率為. 16 9(12)已知函數(shù)f(x)=llnxl,若 =/心，c = .2),則從小到大排序?yàn)?13)如圖，如果每個(gè)橫行上兩數(shù)字之和相等，每個(gè)豎列上兩個(gè)數(shù)字之和相等，請(qǐng)寫(xiě)出一組滿足要求的不全相等的421，%的值.(14)在銳角ABC 中，a = 3y/3,c = 5,a = 2/?sin A W'J

5、 B =，b =.(15)海水受日月的引力，會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象.在通常情況下，船在漲潮時(shí)咬入航道，進(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海 洋.某興趣小組通過(guò)AI技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深y (單位：米)隨 時(shí)間X(單位：小時(shí))的變化規(guī)律為y = 0.8sinox + 2 (tywR),其中0WxW：然后，假設(shè)某虛擬貨船空載 co時(shí) 吃水深度(船底與水面的距離)為0.5米，滿載時(shí)吃水深度為2米，卸貨過(guò)程中，隨著貨物卸載，吃水深 度以每小時(shí)04米的速度減?。翰⒅贫税踩珬l例，規(guī)定船底與海底之間至少要有64米的安全間隙.在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是. 若刃二

6、三，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)： O 若。=三，該貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留4個(gè)小時(shí)； o 若3=1,貨船于X = 1時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則X = g時(shí)，船底離海底的距離最大： 若G=l,貨船于x = l時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則x = ?時(shí)，船底離海底的距離最大.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步躲或證明過(guò)程.（16 ）（本小題13分）如圖，在五面體ABCDEP中，面ABC。為正方形，而4?莊0而。£尸=石尸，ADrED. CDLEA.（C）求證：8平而,18FE：（）若EF = ED

7、, CD = 2EF=2,求平面與平面以才所成的銳二面角的大小.（17 ）（本小題13分）已知有限數(shù)列（4共有30項(xiàng)，其中前20項(xiàng)成公差為"的等差數(shù)列，后11項(xiàng)成公比為4的等比數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為S”.從條件、條件、條件這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（2） 的值；（）數(shù)列”“）中的最大項(xiàng).條件：%=4. Ss=3O, % =20：條件：Sy = 0, a2Q = -36, a22 = -9 ：條件:S = 48M?1 = 20,=160.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（18）（本小題14分）某大型連鎖超市的市場(chǎng)部為了比較線下、線上這兩種模式的銷售情況，從某地區(qū)

8、眾多門(mén)店中隨機(jī)抽取8家 門(mén)店，對(duì)其線下和線上這兩種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額（單位：萬(wàn)元）進(jìn)行調(diào)查.調(diào)查結(jié)果如下：門(mén)店1門(mén)店2門(mén)店3門(mén)店4門(mén)店5門(mén)店6門(mén)店7門(mén)店8線下日營(yíng)業(yè)額96.5199.514.516.520.512.5線上日營(yíng)業(yè)額11.591217192321.515若某門(mén)店一種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額不低于15萬(wàn)元，則稱該門(mén)店在這種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額達(dá)標(biāo)；否 則就稱該門(mén)店在此種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額不達(dá)標(biāo).若某門(mén)店的日營(yíng)業(yè)總額（線上和線下兩種銷售模式下的日營(yíng)業(yè)額之和）不低于30萬(wàn)元，則稱該門(mén)店的日 營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)：否則就稱該門(mén)店的日營(yíng)業(yè)總額不達(dá)標(biāo).（各門(mén)店的營(yíng)業(yè)額之間互不影響）（O從8個(gè)樣本門(mén)店中

9、隨機(jī)抽取3個(gè)，求抽取的3個(gè)門(mén)店的線下日營(yíng)業(yè)額均達(dá)標(biāo)的概率：（-）若從該地區(qū)眾多門(mén)店中隨機(jī)抽取3個(gè)門(mén)店，記隨機(jī)變量X表示抽到的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的門(mén)店個(gè)數(shù).以樣 本門(mén)店的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的頻率作為一個(gè)門(mén)店的日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：（O線下日營(yíng)業(yè)額和線上日營(yíng)業(yè)額的樣本平均數(shù)分別記為從和2,線下日營(yíng)業(yè)額和線上日營(yíng)業(yè)額的樣本方差 分別記為S；和S：.試判斷從和出的大小,以及S；和底的大小.（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）22已知橢圓。：二+二=1（“。）的右焦點(diǎn)為尸（1.。），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)42,0）和點(diǎn)8（2,0）.cc lr（）求橢圓C的方程：（C） M和N是橢圓。上兩個(gè)不同的

10、點(diǎn)，四邊形AA仍N是平行四邊形，直線AM、AN分別交y軸于點(diǎn)夕和 點(diǎn)。，求四邊形APFQ而積的最小值.(20)(本小題15分)己知函數(shù)/(x) = q)(aeR).()當(dāng)。=-1時(shí)，求J。)在x = O處的切線方程;(C)已知/("W1對(duì)任意X£R恒成立，求”的值.(21)(本小題15分)由加個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集"=4M2M3,mJ (其中、V0<<4)，記P(M) = q+g+M，特別規(guī)定(0)=。，若集合M滿足：對(duì)任意的正整數(shù)女WP(M),都存在集合M的兩個(gè)子集區(qū)工使得k = P(A)-P(B)成立，則稱集合M為“滿集()分別判斷集合M =1，2與

11、心=引是否為“滿集”，請(qǐng)說(shuō)明理由:(D)若集合M為“滿集”，求的值;13()若M2M3，m”,是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，判斷集合M是否為“滿集”，并說(shuō)明理由.2021北京石景山高三一模數(shù)學(xué)參考答案4(15) ©.(14)6三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共85分.解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.(16)(本小題13分)解：(I )在五而體A8CQEF中，因?yàn)槊鍭BCD是正方形，所以CO又因?yàn)锳Bu平面ab莊，CD u 平面 ABFE，所以CD 平面ABFE.(H)因?yàn)槊鍭5c。是正方形，所以又因?yàn)镃D A£.又 AZ)nAE = A,所以81.平面A£

12、)E又因?yàn)镈Ku平面ADE，所以 CD _L DE.因?yàn)槎鳤BC。是正方形，所以 C0_LA£>.又因?yàn)锳D _L OE,所以以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，"."。£：分別為工，兒2軸,如圖建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?CD=2EF = 2,EF = ED0(0,0.0), A(2,0,0), 8(2,2,0),C(0,2.0), E(0,0,l).由(I ) CO平面4?莊，COu平面CQEF,平面 CDEFD 平而 ABFE = EF ,所以CO EF.1所以EF = DC.可得F(OJ).由題意知平面ADE的法向量為。C = (0.2,0)設(shè)平面BCF的法向

13、量為 =(x, y, z).=0,=0,- 2x = 0, y - Z = 0,令y = l,得z=l，x=0,所以G = (OJ1)設(shè)平面4?6與平面BCF所成銳二面角為0.DCnCOS0 =DC n2>/2所以平而ADE與平面BCF所成銳二面角為v (17 )(本小題13分)選擇條件：“2=4, 55=30, % =20解：(I)因?yàn)椤薄暗那?0項(xiàng)成等差數(shù)列，%=4, S5=30 ,q +4 = 4,所以5x45 + -d = 331 2所以 %)=2 +19 x 2=40 .因?yàn)閿?shù)列“”后11項(xiàng)成公比為“的等比數(shù)列,所以4 =色=；.4 2綜上，d = 2, q =；.(H) %的

14、前20項(xiàng)成等差數(shù)列,d>0.所以前20項(xiàng)為遞增數(shù)列.即:前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為.=4。.數(shù)列%的后11項(xiàng)成等比數(shù)列，q = ；，所以后11項(xiàng)是遞減數(shù)列.即:后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為“20 =40綜上，數(shù)列“”的最大項(xiàng)為第20項(xiàng),其值為40.選擇條件：Sj = 0.仆=-36,甸=-9解：(I )因?yàn)閝的前20項(xiàng)成等差數(shù)列,S3=0.o=-36,3a. + 3d = 0,所以 j4+191 = _36,所以斤；a = -2. »因?yàn)閿?shù)列"”后11項(xiàng)成公比為4的等比數(shù)列，"2。二-36，又因?yàn)?2=-9，所以q = ±；.綜上，d = -2, q = ±

15、;.(H)勺的前20項(xiàng)成等差數(shù)列，J<0.所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列.前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為q =2.因?yàn)閝 = ±：.L當(dāng)g = l時(shí)，a =-36 -(2OWW3O且eN),2 l2j所以當(dāng)2O«K3O時(shí)，4<0.此時(shí)，數(shù)列，的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2；1( 1 Y"20ii .當(dāng)4 = 一一 時(shí)，« =-36 -1(20WW30且eN>2I 2)后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為% =18.此時(shí)，數(shù)列4的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18.綜上，當(dāng)q 時(shí)，數(shù)列，“的最大項(xiàng)為第1項(xiàng)，其值為2：當(dāng)。=-；時(shí)，數(shù)列”“的最大項(xiàng)為第21項(xiàng)，其值為18.選擇條件：H=4

16、8,=20,%4=160解：(I)因?yàn)閿?shù)列",后11項(xiàng)成公比為4的等比數(shù)列，4 =20.旬=160 ,所以9' =至=8 , %解得4 = 2.所以“20 =2=1° . q又因?yàn)椤啊钡那?0項(xiàng)成等差數(shù)列，。=48 ,所以d =駕=1=2.20-1綜上，d = -2, q = 2.(H) 勺的前20項(xiàng)成等差數(shù)列,d<0.所以前20項(xiàng)為遞減數(shù)列.前20項(xiàng)的最大項(xiàng)為4 =48.”“的后11項(xiàng)成等比數(shù)列，而. = 10, 4 = 2,an =10 2"7)(20 W n W 30且 e N),所以后11項(xiàng)為遞增數(shù)列.后11項(xiàng)的最大項(xiàng)為0 = 1024。綜上

17、,數(shù)列q的最大項(xiàng)為第30項(xiàng),其值為10240.(18)(本小題14分)11/13解：(I )設(shè)“抽取的3個(gè)門(mén)店的線下日營(yíng)業(yè)額均達(dá)標(biāo)”為事件A,由題意知，8個(gè)樣本門(mén)店中線下日營(yíng)業(yè)額達(dá)標(biāo)的有3家，C5 1所以P(A) =另二 Co jo所以抽取的3個(gè)門(mén)店的線下日營(yíng)業(yè)額均達(dá)標(biāo)的概率為1.(H)由題意，8個(gè)樣本門(mén)店中線下日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的有4家， 所以從該地區(qū)眾多門(mén)店中任選1個(gè)門(mén)店，日營(yíng)業(yè)總額達(dá)標(biāo)的概率為;. 依題意，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,2,3.P(X=0) = Cf(l)°(l-i)313其數(shù)學(xué)期望 EX=0x( + lXd + 2Xd + 3x： = 7. o oOO 2(III

18、) M<2，S：=S；.(19 )(本小題15分)解：(I )由已知4 = 2, c = l,所以 2 ="2"2=3.所以橢圓C的方程為t + ! = l, 3(II)因?yàn)樗倪呅未ㄐ厥瞧叫兴倪呅危訟B與MN的中點(diǎn)重合，所以M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.=l； P(X=1) = c；(l)-(i-l)2=|：P(X = 2) = *)2(1 W ； P(X = 3) = *)3(>；)。= 1.所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P18383818#/ 13設(shè) M（x，y）,則 N（fj, -（*工±2 且為。0）心。二三，直線AM的方程為 y =三。+ 2

19、）,令x = 0,得y =三彳.即尸（。，法），.X十ZA j十乙X十ZX十Z又以八，=3,直線AN的方程為y = 3（x + 2）,令x = 0,得,，=義、，即。（0,義、）.% _ 2Xi _ 2K . 2X - 2四邊形APF。面枳為3aFIIPQI=）IPQI, IP01=14-1.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以工+二=1, 一"Wy W"且y工0 ,所以玉2-4 = 一:3；, 433所以I尸。.所以當(dāng)凹=±力時(shí)，|尸。1mm=26.所以四邊形APEQ面積的最小值為36.（20 ）（本小題15分）1 - Yx - 2解：（1）當(dāng)“ 二一1時(shí)，/（A-） = ，

20、fX）=， ee所以以0） = 1,r（o）=-2切線/的斜率為& =/'（0） = -2.所以Ax）在x = 0處的切線方程為.¥ = -2 a-+1.（匚）依題意，對(duì)任意xeR恒成立，,，/、（1 + ax）'e' （1 + t/-¥）（e'）' ax + a 1/ （x） =T7=;（e廠e當(dāng)a=o時(shí)，ra）=-二，由于e”>o,則ro）。恒成立， e所以f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)闉?） = 1,故當(dāng)XV。時(shí)，/W>I,不符合題意.當(dāng)工0時(shí)，令r（x）=o,得x=i：當(dāng)"V0時(shí)，A = lL>0,因?yàn)榘?） = 1,那么xJ'（x）J（x）的變化情況如下表： aA1-1 a（1,+8） a/'8)()+/(A)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以結(jié)合/“)的單調(diào)性知：當(dāng)x<0時(shí)，不符合題意.當(dāng)>0時(shí)，x,/'(x),/(x)的變化情況如下表：.V(一！) a1-1 a(1,+8) a/'(X)+0/(A)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng) Ov4Vl 時(shí)，x = l-i<0,因?yàn)?(0) = 1, a所以結(jié)合/的單調(diào)性知當(dāng)X£(l-Lo)時(shí)，/(x)>l,不符合題意. a當(dāng)時(shí)，x = l-l>0,因?yàn)?(。) =