算法設計與分析考試題及答案-算法設計與優(yōu)化答案

1、1. 一個算法就是一個有窮規(guī)則的集合， 其中之規(guī)則規(guī)定了解決某一特 殊類型問題的一系列運算，此外，算法還應具有以下五個重要特 性 :, 。2. 算法的復雜性有 和 之分，衡量一個算法好壞的標準是 。3. 某 一 問 題 可 用 動 態(tài) 規(guī) 劃 算 法 求 解 的 顯 著 特 征 是4. 若序列 X=B,C,A,D,B,C,D ，Y=A,C,B,A,B,D,C,D ，請給出序列 X 和 Y 的一個最長公共子序列 。_5. 用回溯法解問題時， 應明確定義問題的解空間， 問題的解空間至少 應包含 。6. 動態(tài)規(guī)劃算 法的基本思想是 將待求解問題分 解成若 干 ，先求解 ，然后從這些 的 解得到原問題

2、的解。7. 以深度優(yōu)先方式系統(tǒng)搜索問題解的算法稱為 。8.0-1 背包問題的回溯算法所需的計算時間為 ,用動態(tài)規(guī)劃算法所需的計算時間為 。9. 動態(tài)規(guī)劃算法的兩個基本要素是 和 。10. 二分搜索算法是利用 實現(xiàn)的算法。二、綜合題 （50 分）1. 寫出設計動態(tài)規(guī)劃算法的主要步驟。2. 流水作業(yè)調度問題的 johnson 算法的思想。3. 若n=4,在機器M1和M2上加工作業(yè)i所需的時間分別為 日和bi,且(ai,a2,a3,a4)=(4,5,12,10), (bi,b2,b3,b4)=(8,2,15,9) 求 4 個作業(yè)的最優(yōu)調度方案，并計算最優(yōu)值。4. 使用回溯法解 0/1 背包問題： n

3、=3， C=9， V=6,10,3 ， W=3,4,4, 其解空間有長度為 3 的 0-1 向量組成，要求用一棵完全二叉樹表示其 解空間(從根出發(fā)，左 1 右 0) ，并畫出其解空間樹，計算其最優(yōu)值 及最優(yōu)解。5. 設S=X, & ，X是嚴格遞增的有序集，利用二叉樹的結點來存儲S中的元素，在表示S的二叉搜索樹中搜索一個元素 X,返回 的結果有兩種情形,(1)在二叉搜索樹的內結點中找到 X=Xi ,其概率 為bi。( 2)在二叉搜索樹的葉結點中確定X( X , X+1),其概率為ai。在表示S的二叉搜索樹T中，設存儲元素X的結點深度為C ；葉 結點(X , X+1)的結點深度為di，則二

4、叉搜索樹T的平均路長p為多 少？假設二叉搜索樹Tij=X , X+i，X最優(yōu)值為mij,Wij= a i-i +bi+ +b+a，貝S mij(1<=i<=j<=n)遞歸關系表達式為什么？6. 描述 0-1 背包問題。三、簡答題 (30分)1流水作業(yè)調度中，已知有n個作業(yè)，機器M1和M2上加工作業(yè)i所 需的時間分別為 ai 和 bi ，請寫出流水作業(yè)調度問題的 johnson 法則中 對 ai 和 bi 的排序算法。(函數(shù)名可寫為 sort(s,n) )2. 最優(yōu)二叉搜索樹問題的動態(tài)規(guī)劃算法(設函數(shù)名binarysearchtree)答案： 一、填空1確定性 有窮性 可行性

5、0 個或多個輸入 一個或多個輸出2. 時間復雜性 空間復雜性 時間復雜度高低3. 該問題具有最優(yōu)子結構性質4. BABCD或CABCD或CADCD5. 一個(最優(yōu))解6. 子問題 子問題 子問題7. 回溯法8. o(n*2 n) o(minnc,2 n)9. 最優(yōu)子結構 重疊子問題10. 動態(tài)規(guī)劃法二、綜合題1. 問題具有最優(yōu)子結構性質；構造最優(yōu)值的遞歸關系表達式；最優(yōu)值的算法描述；構造最優(yōu)解；2. 令N=i|a i<bi，N2=i|a i>=b；將N中作業(yè)按a的非減序排序得到NI'將N2中作業(yè)按b的非增序排序得到N2'N'中作業(yè) 接N '中作業(yè)就構

6、成了滿足Johnson法則的最優(yōu)調度。3. 步驟為： N1=1， 3， N2=2， 4；N1' =1 ， 3， N2'=4， 2；最優(yōu)值為： 38解空間為 (0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)解空間樹為:該問題的最優(yōu)值為：16 最優(yōu)解為：(1, 1, 0)nn5. 二叉樹 T 的平均路長 Pa bi* (1 Ci) +' aj*dji =1j=0.mij=Wij+mi nmik+mk+1j (1<=i<=j<=n, mii-1=0)mij=0 (i>j)6.

7、 已知一個背包的容量為C,有n件物品，物品i的重量為W,價值為V，求應如何選擇裝入背包中的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大。三、簡答題void sort(flowjope s,i nt n)int i,k,j,l;1.for(i=1;i<=n-1;i+)/ 選擇排序k=i;while(k<=n&&sk.tag!=0) k+;if(k>n) break;/沒有 q,跳出elsefor(j=k+1;j<=n;j+)if(sj.tag=0)if(sk.a>sj.a) k=j;swap(si.index,sk.index);swap(si.tag,sk

8、.tag); l=i;/ 記下當前第一個 bi 的下標for(i=l;i<=n-1;i+)k=i;for(j=k+1;j<=n;j+)if(sk.b<sj.b) k=j;swap(si.index,sk.index); / 只移動 index 和 tagswap(si.tag,sk.tag);2.void binarysearchtree(int a,int b,int n,int *m,int *s,int *w) int i,j,k,t,l;for(i=1;i<=n+1;i+) wii-1=ai-1;mii-1=0;for(l=0;l<=n-1;l+)/l 是

9、下標 j-i 的差for(i=1;i<=n-l;i+) j=i+l; wij=wij-1+aj+bj; mij=mii-1+mi+1j+wij; sij=i;for(k=i+1;k<=j;k+) t=mik-1+mk+1j+wij; if(t<mij) mij=t;sij=k;一、填空題(本題15分，每小題1分)1、算法就是一組有窮的 ，它們規(guī)定了解決某一特定類型問題的。2、在進行問題的計算復雜性分析之前，首先必須建立求解問題所用的計算模型。3個基本計算模型是 、。3、算法的復雜性是 的度量，是評價算法優(yōu)劣的重要依據(jù)。4、計算機的資源最重要的是 和資源。因而，算法的復雜性有和

10、之分。5、f(n)二 6 次+n2, f(n)的漸進性態(tài) f(n)二 0()6、貪心算法總是做出在當前看來 的選擇。也就是說貪心算法并不從整體最優(yōu)考慮，它所做出的選擇只是在某種意義上的。7、許多可以用貪心算法求解的問題一般具有2個重要的性質：性質和性質。二、簡答題(本題25分，每小題5分)1、簡單描述分治法的基本思想。2、簡述動態(tài)規(guī)劃方法所運用的最優(yōu)化原理。3、何謂最優(yōu)子結構性質？4、簡單描述回溯法基本思想。5、何謂P、NR NPC、可題三、算法填空(本題20分，每小題5分)1、n后問題回溯算法(1) 用二維數(shù)組ANN存儲皇后位置，若第i行第j列放有皇后，則Aij為非0值,否則值為0。(2)

11、分別用一維數(shù)組MN、L2*N-1、R2*N-1表示豎列、左斜線、 右斜線是否放有棋子，有則值為1,否則值為0。for(j=0;j<N;j+)if( 1 ) /*安全檢查*/ Aij=i+1;/*放皇后 */if(i=N-1)輸出結果；else 3; ; /* 試探下一行 */4;/* 去皇后*/22、數(shù)塔問題。有形如下圖所示的數(shù)塔，從頂部出發(fā)，在每一結點可 以選擇向左走或是向右走，一起走到底層，要求找出一條路徑，使 路徑上的值最大。自底向上遞歸計算82661481224for(r= n-2;r>=0;r-) / for(c=0;1;c+)if( tr+ 1c>t r+ 1c+

12、1) else3Hano i( n, a,b,c)3、Hanoi 算法if(n=1)1elseHan oi( n-1,b, a, c);4、Dijkstra算法求單源最短路徑du:s到u的距離pu: 記錄前一節(jié)點信息In it-s in gle-source(G,s)for each vertex v VGdo dv= oo ; 1ds=0Relax(u,v,w)if dv>du+w(u,v)then dv=du+wu,v;dijkstra(G,w,s)1. In it-s in gle-source(G,s)2. S=3. Q=VG4. while Q<>do u=mi n

13、(Q)S=S U u for each vertex 3do 4四、算法理解題（本題10分） 根據(jù)優(yōu)先隊列式分支限界法，求下圖中從v1點到v9點的單源最短路徑，請畫出求得最優(yōu)解的解空間樹。要求中間被舍棄的結點用x標記，獲得中間解的結點用單圓圈O框起,最優(yōu)解用雙圓圈框起 五、算法理解題（本題5分）設有n=2k個運動員要進行循環(huán)賽，現(xiàn)設計一個滿足以下要求的比賽日程表: 每個選手必須與其他n-1名選手比賽各一次;每個選手一天至多只能賽一次； 循環(huán)賽要在最短時間內完成（1）如果n=2k，循環(huán)賽最少需要進行幾天；（2）當 n=23=8 時，請畫出循環(huán)賽日程表。六、算法設計題（本題 15分）分別用貪心算法

14、、動態(tài)規(guī)劃法、回溯法設計 0-1 背包問題。要求： 說明所使用的算法策略； 寫出算法實現(xiàn)的主要步驟； 分析算法的時間。七、算法設計題（本題 10分）通過鍵盤輸入一個高精度的正整數(shù) n（n的有效位數(shù)w 240），去掉 其中任意s個數(shù)字后，剩下的數(shù)字按原左右次序將組成一個新的正整 數(shù)。編程對給定的n和s,尋找一種方案，使得剩下的數(shù)字組成的新 數(shù)最小?！緲永斎搿?78543S=4【樣例輸出】13答案：、填空題（本題 15 分，每小題 1 分）1規(guī)則一系列運算2. 隨 機 存 取 機 RAM(Random Access Machine) ； 隨 機 存 取 存 儲 程 序 機RASP(Random

15、Access Stored Program Machine；) 圖靈機 (Turing Machine)3.算法效率4.時間 、空間、時間復雜度、52n6最好局部最優(yōu)選擇空間復雜度7. 貪心選擇 最優(yōu)子結構、簡答題（本題 25 分，每小題 5 分）6分治法的基本思想是將一個規(guī)模為n的問題分解為k個規(guī)模較小的子問題， 這些子問題互相獨立且與原問題相同；對這 k 個子問題分別求解。如果子 問題的規(guī)模仍然不夠小，則再劃分為 k 個子問題，如此遞歸的進行下去， 直到問題規(guī)模足夠小，很容易求出其解為止；將求出的小規(guī)模的問題的解 合并為一個更大規(guī)模的問題的解，自底向上逐步求出原來問題的解。7、“最優(yōu)化原理

16、 ”用數(shù)學化的語言來描述：假設為了解決某一優(yōu)化問題，需要依次作出n個決策D1, D2,，Dn,如若這個決策序列是最優(yōu)的，對于任 何一個整數(shù) k， 1 < k < n ，不論前面 k 個決策是怎樣的，以后的最優(yōu)決策 只取決于由前面決策所確定的當前狀態(tài)，即以后的決策 Dk+1, Dk+2,， Dn也是最優(yōu)的。8、 某個問題的最優(yōu)解包含著其子問題的最優(yōu)解。這種性質稱為最優(yōu)子結構性 質。9、回溯法的基本思想 是在一棵含有問題全部可能解的狀態(tài)空間樹上進行深度 優(yōu)先搜索，解為葉子結點。搜索過程中，每到達一個結點時，則判斷該結 點為根的子樹是否含有問題的解， 如果可以確定該子樹中不含有問題的解，

17、 則放棄對該子樹的搜索，退回到上層父結點，繼續(xù)下一步深度優(yōu)先搜索過 程。在回溯法中，并不是先構造出整棵狀態(tài)空間樹，再進行搜索，而是在 搜索過程，逐步構造出狀態(tài)空間樹，即邊搜索，邊構造。10、P（Polynomial 問題）：也即是多項式復雜程度的問題。NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式復雜程度的 非確定性問題。NPC（NP Complete）問題，這種問題只有把解域里面的所有可能都窮舉了之 后才能得出答案，這樣的冋題是 NP里面最難的冋題，這種冋題就是 NPC可 題。三、算法填空（本題 20 分，每小題 5 分）1 、n 后問題回溯算法(1)

18、!Mj&&!Li+j&&!Ri-j+N(2) Mj=Li+j=Ri-j+N=1; try(i+1,M,L,R,A) Aij=O(5) Mj=Li+j=Ri-j+N=O2、數(shù)塔問題。(1) c<=r trc+=tr+1c(3) trc+=tr+1c+13、Hanoi 算法(1) move(a,c)(2) Hanoi(n-1, a, c , b)(3) Move(a,c)4、(1) pv=NIL(2) pv=u(3) v adju(4) Relax(u,v,w)四、算法理解題(本題10 分)1 2 3 42 1 4 33 4 1 24 3 2 15 6 7 8

19、6 5 8 77 8 5 68 7 6 5五、（1） 8天（2分）；5 6 7 81 2 3 46 5 8 72 1 4 3（2）當n=23=8時，循環(huán)賽日程表（3分）。7 8 5 63 4 1 2六、算法設計題（本題15分）8 7 6 54 3 2 1(1)貪心算法 O (nlog (n)首先計算每種物品單位重量的價值 Vi/Wi，然后，依貪心選擇策略，將盡 可能多的單位重量價值最高的物品裝入背包。 若將這種物品全部裝入背包 后，背包內的物品總重量未超過 C,則選擇單位重量價值次高的物品并盡 可能多地裝入背包。依此策略一直地進行下去，直到背包裝滿為止。具體算法可描述如下：void Knaps

20、ack（int n,float M,float v,float w,float x）Sort（ n,v,w）;int i;for (i=1;i<=n ;i+) xi=0;float c=M;for (i=1;i<=n ;i+)if (wi>c) break;xi=1;c-=wi;if (i<=n) xi=c/wi;(2)動態(tài)規(guī)劃法0( nc)m(i, j)是背包容量為j,可選擇物品為i, i+1 ,，n時0-1背包問題的最優(yōu) 值。由0-1背包問題的最優(yōu)子結構性質，可以建立計算m(i，j)的遞歸式如下。'maxm(i+1, j),m(i+1, j wj+«

21、; j >Wim(i, j)=丿m(i +1, j)0W j cwim(n, j)0j -wn0 乞 j ： Wnvoid KnapSack(int v,int w,int c,int n,int m11) int jMax=mi n(w n-1,c);for (j=0;j<=jMax;j+)/*m( n,j)=00=<j<w n*/m nj=0;for (j=w n;jv=c;j+)/*m( n,j)=v nj>=w n*/m nj=v n;for (i=n-1;i>1;i-) int jMax=mi n(wi-1,c);for (j=0;j<=jMax;j+)/*m(i,j)=m(i+1,j)0=<j<wi*/mij=mi+1j;for (j=