高中數(shù)學(xué)第三章3.1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)案新人教A版選修2-2

1、天才是百分之一的靈感加百分之九十九的勤奮3. 1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴充過程 .2.理解在數(shù)系的擴充中 由實數(shù)集擴展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念 .3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等 的充要條件.問題導(dǎo)學(xué)貨習(xí)新知夯實基砥知識點一 復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示思考 為解決方程x2=2在有理數(shù)范圍內(nèi)無根的問題，數(shù)系從有理數(shù)擴充到實數(shù)；那么怎樣解決方程x2+1=0在實數(shù)系中無根的問題呢？答案 設(shè)想引入新數(shù)i ,使i是方程x2+ 1 =0的根，即i - i = - 1,方程x2+ 1 = 0有解，同 時得到一些新數(shù).梳理 (1)復(fù)數(shù)定義：把集

2、合 C=a+bi| a, bCR中的數(shù)，即形如 a+ bi( a, be R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i 叫做虛數(shù)單位.a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做復(fù)數(shù)的虛部.表示方法：復(fù)數(shù)通常用字母z_表示，即z=a+bi( a, bCR),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.(2)復(fù)數(shù)集定義：全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集.表示：通常用大寫字母 C表示.知識點二兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集C= a+bi| a, bCR中任取兩個數(shù) a+bi, c+di( a, b, c, dCR),我們規(guī)定：a + bi與c+di相等的充要條件是 a= c且b= d.金戈鐵制卷知識點三復(fù)數(shù)的分類實數(shù)b= 0(1)復(fù)數(shù)(a+ bi, a

3、, be R)虛數(shù)bw 0純虛數(shù)a= 0非純虛數(shù)aw。(2)集合表示:一思考辨析判斷正誤1 .若a, b為實數(shù)，則z=a+bi為虛數(shù).(x )2 .復(fù)數(shù)z=bi是純虛數(shù).(x )3 .若兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個復(fù)數(shù)相等.( V )題型探究自迪思維保完重點類型一復(fù)數(shù)的概念例1 (1)給出下列幾個命題：若zC C,則z2>0;2i 1虛部是2i ;2i的實部是0;若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)；實數(shù)集的補集是虛數(shù)集.其中真命題的個數(shù)為()A. 0B. 1C. 2D. 3(2)已知復(fù)數(shù)z= a2-(2 -b)i的實部和虛部分別是 2和3,則實數(shù)a, b的

4、值分別是 考點復(fù)數(shù)的概念題點復(fù)數(shù)的概念及分類答案(1)C(2) ±啦，5解析 (1)令z= i C C,則i 2= 1<0,故不正確.中2i -1的虛部應(yīng)是2,故不正確.當(dāng)a= 0時，ai=0為實數(shù)，故不正確，只有，正確.,/=2,二(2)由題意知，a=± J2, b=5.b2=3,反思與感悟(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：若 z=a+ bi ,只有當(dāng)a, bCR時，a才是z的實部，b才是z的虛部，且注意虛部不是 bi ,而是b.(2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實數(shù)也是復(fù)數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分.(3)舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答這類題

5、時，可按照“先 特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答.跟蹤訓(xùn)練1 下列命題：若ae R,則(a+ i)i是純虛數(shù)；若(x24)+(x2 + 3x+2)i是純虛數(shù)，則實數(shù) x=±2;實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.其中正確說法的個數(shù)是()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3考點復(fù)數(shù)的概念題點復(fù)數(shù)的概念及分類答案 B解析 對于復(fù)數(shù)a+bi( a, be R),當(dāng)a = 0且bw。時，為純虛數(shù).對于，若 a= 1,則 (a+1)i不是純虛數(shù)，故錯誤.對于，若 x=-2,則x2 4=0, x2+3x+2=0,此時(x2 -4) +(x2+3x+2)i =0,不是純虛數(shù)，故錯誤.顯然，

6、正確.故選 B.類型二復(fù)數(shù)的分類m2- m- 6例2 求當(dāng)頭數(shù) m為何值時，z= 祉3 +(m+5m+ 6)i分別是(1)虛數(shù)；(2)純虛數(shù).考點復(fù)數(shù)的概念題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解(1)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是2m+ 5m+ 6w。,m 3w0 當(dāng)nrn 3且m 2時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是m2 m- 63=0,m+ 5m 6 w 0m= 2 或 m= 3,？ m= 3.m 3 且 m - 2 當(dāng)m= 3時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).引申探究1 .若本例條件不變， m為何值時，z為實數(shù).由已知得，復(fù)數(shù)z的實部為2m m- 63虛部為m+5m+ 6.復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是n2+

7、 5m+ 6=0,m=一域 m= 3,? m= -2.3w0- 3 當(dāng)m= 2時，復(fù)數(shù)z是實數(shù). 2 m-m- 62一，.一2 .已知i是虛數(shù)單位， mC R,復(fù)數(shù) z=+(m-2m- 15)i ,則當(dāng) m=時，z3 為純虛數(shù).答案 3或2rm m- 6 0解析 由題意知 m3解得m= 3或2.rm 2m- 15w 0,反思與感悟利用復(fù)數(shù)的概念對復(fù)數(shù)分類時，主要依據(jù)實部、虛部滿足的條件，可列方程或不等式求參數(shù).跟蹤訓(xùn)練2 當(dāng)實數(shù)m為何值時，復(fù)數(shù)lg( n2- 2m- 7) + (n2+5m+ 6)i是 純虛數(shù)；(2)實數(shù).考點復(fù)數(shù)的分類題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)解 復(fù)數(shù)lg( m22m- 7)+

8、(m+ 5m 6)i是純虛數(shù)，2lg m 2m- 7 = 0,則2解得m= 4.m+ 5m+ 60,(2)復(fù)數(shù) lg( m22m- 7) +(m2+5m 6)i 是實數(shù)， 2m- 2m- 7>0,則2解得m= 2或m= 3.m+5m+ 6=0,類型三復(fù)數(shù)相等例3 (1)已知X。是關(guān)于 x的方程x2(2i 1)x+3m- i=0(mC R)的實根，則 m的值是考點復(fù)數(shù)相等題點由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案-122解析由題意，得 Xo- (2i - 1) Xo+ 3mT- 1=0,即(X0 + xo+ 3 m) + ( 2xo 1)i =0,2 ,由此得1?住 12.xo+ Xo+ 3m= 0,-2x

9、o- 1 = 0.,_22(2)已知 A= 1,2 , a-3a-1+(a -5a-6)i , B= 1,3 , An B= 3,求實數(shù) a 的值.考點復(fù)數(shù)相等題點由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)解由題意知，a2-3a-1 + (a2-5a-6)i =3(aR),a23a1 = 3,2=4或2=1,所以2即一所以a=1.a5a 6=0,2=6或2=1,反思與感悟 (1)在兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件中，注意前提條件是a, b, c, dCR,即當(dāng)a,b, c, dCR時，a+bi=c+di? a = c且b = d.若忽略前提條件，則結(jié)論不成立.(2)利用該條件把復(fù)數(shù)的實部和虛部分離出來，達(dá)到“化虛為實”的目的，從

10、而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來求解.跟蹤訓(xùn)練 3 復(fù)數(shù) Z1=(2m 7) + (m22)i , Z2= ( m2 8) + (4 m+ 3)i , n R,若 zi=Z2,則 m考點復(fù)數(shù)相等題點由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案 5解析因為mC R, Z1=Z2,所以(2n 7) + (m-2)i =(n28) + (4 n 3)i.2m 7= m2- 8,由復(fù)數(shù)相等的充要條件得2解得m= 5.m-2 = 4m 3,達(dá)標(biāo)檢測低潮評揖達(dá)標(biāo)過美1 .若 xi i 2= y+ 2i , x, y C R,則復(fù)數(shù) x + yi 等于()A. 2+ iB. 2+iC. 1-2iD. 1 + 2i考點復(fù)數(shù)相等題點由復(fù)數(shù)

11、相等求參數(shù)答案 B解析 由i 2= 1,得xi i2=1 + xi,則由題意得1 + xi=y+2i ,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得 x = 2, y= 1,故 x+yi=2+i.2.若復(fù)數(shù)z=m2 1 + ( m2- m- 2)i為實數(shù)，則實數(shù) m的值為()A. - 1B. 2C. 1D. 1 或 2考點復(fù)數(shù)的分類題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案 D解析 因為復(fù)數(shù)z= m2- 1 + (m2-m-2)i為實數(shù)，所以 n2i- mi-2 = 0,解得 mi= 1 或 mi= 2.3.下列幾個命題：兩個復(fù)數(shù)相等的一個必要條件是它們的實部相等；兩個復(fù)數(shù)不相等的一個充分條件是它們的虛部不相等；1 ai( a

12、e R) 是一一個復(fù)數(shù)；虛數(shù)的平方不小于0;一1的平方根只有一個，即為一i;i是方程x41=0的一個根；2i 是一一個無理數(shù).其中真命題的個數(shù)為()A. 3 B . 4 C.5 D.6考點復(fù)數(shù)的概念題點復(fù)數(shù)的概念及分類答案 B解析 命題正確，錯誤.4 .已知復(fù)數(shù)z = a2+(2a + 3)i( a C R)的實部大于虛部，則實數(shù)a的取值范圍是.2log 2 x 3x2 >1,解析由題意知 2得x= 2.log 2 x + 2x+ 1 =0,L趣律與方法 11 .對于復(fù)數(shù)z= a+bi( a, bCR),可以限制a, b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況.2 .兩個復(fù)數(shù)相等，要先確定兩個復(fù)數(shù)的實、

13、虛部，再利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件進(jìn)行判斷 .課時對點練注重雙基強住蕾實題點由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案 Dx+y= 0, x 1 = 0,解析由復(fù)數(shù)相等的充要條件知,x= 1,解得 ,y=- i,.-x + y= 0. .-.2x+y=20=1.4.下列命題中：若x, y C C,則x+yi = 1 + i的充要條件是 x=y=1;純虛數(shù)集相對于復(fù)數(shù)集的補集是虛數(shù)集；若（Z1 Z2）2+ （Z2Z3）2= 0,則 Z1=Z2=Z3.正確命題的個數(shù)是（）A. 0B. 1C. 2D. 3考點復(fù)數(shù)的概念題點復(fù)數(shù)的概念及分類答案 A解析 取x = i, y= i ,則x+ yi = 1 + i ,但不滿足x

14、= y= 1,故錯；錯，故選 A.5.若sin 2 01 + i（，2cos 0+1）是純虛數(shù)，則0的值為（）兀._兀.A.2k % - -（k Z）B, 2k%+（k Z），兀_ kn c.2k 兀 ± t（ke Z）D.2 兀 +1（ k e Z）考點復(fù)數(shù)的概念題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案 B解析由題意，得sin 2 0 1=0,/cos 0+1*0,解得人 .兀0 = kK43兀02k nt ± -4, -兀,(ke Z) , e =2kTt + -, ke Z.43 一 一兀6.右受數(shù)z= cos-5 + sin 5 i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則tan -Z的值為

15、“c 1A. 7B. 7_ 八 1C. - 7D. 7 或一亍考點復(fù)數(shù)的概念題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案 C解析 :復(fù)數(shù) z= cos 8 4 + sin 0 -3 i是純虛數(shù), 55 .cos 8=0, sin8;w0,55 .sin 0 = -1- tan 0 =-54一八 兀則 tan ° 一了tan 811 + tan 034T31-4=7.7.已知關(guān)于x的方程x2+(m+ 2i) x+2+2i = 0( mE R)有實數(shù)根n,且z= ni ,則復(fù)數(shù)等于()A. 3+iB. 3-iC. 3 iD. 3+ i考點復(fù)數(shù)相等題點由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案 B解析 由題意知n2+(m+ 2

16、i) n+2 + 2i=0,2n + mn+ 2 = 0,m= 3,即c ' c c解得.2n+ 2= 0,n=- 1.z=3 i ,故選 B.二、填空題8 .設(shè)mC R, m2+m-2+(m21)i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則 m=.考點復(fù)數(shù)的概念題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案 2 2 ,m+ m- 2= 0, 解析由2 才°即mT= - 2.9 .已知 Z1=(m2+m 1) + (n2i + m-4)i , mC R, Z2= 3 2i.則 m= 1 是 zi = Z2的 條件.考點復(fù)數(shù)相等題點由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)答案充分不必要解析 當(dāng)zi =Z2時，必有m2+許1 = 3

17、,m2+ m-4= 2,解得m= 2或m=1,顯然m=1是Zi = Z2的充分不必要條件.10 .已知復(fù)數(shù)z=m2(1+i) -m(i)(meR),若z是實數(shù)，則m的值為.考點復(fù)數(shù)的概念題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案?；?解析 z=m2+mii -m2-nil = ( mn-m)i ,所以m2i- m= 0,所以m= 0或1.11 .復(fù)數(shù)z = (a考點復(fù)數(shù)的概念題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案(一0°, 1) U ( -1 ,+8)解析 若復(fù)數(shù) z=(a22a 3)+ (| a2| 1)i 是純虛數(shù)，則 a2-2a-3=0, | a-2| -10, 解得 a= 1,，當(dāng) aw1 時，復(fù)數(shù)

18、 z= (a2 2a 3)+(| a2| 1)i 不是純虛數(shù).12.已知 log 1 (m+ n) - (mn- 3m)i >- 1,且 n N*,則 n =. 2考點復(fù)數(shù)的概念題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)答案 1或210glmn >- 1,解析由題意得2m2- 3m= 0.由，得m= 0或m= 3.當(dāng) m= 0 時，由 log1 (n) >- 1,得 0<nw2, n = 1 或 n= 2.當(dāng) m= 3 時，由 log1(n) >- 1,得 0<n + 3< 2,21- - 3<n< - 1,即n無自然數(shù)解.m n 的值分別為 m= 0, n

19、= 1m= 0, n= 2.故n的值為1或2. 2a 3) + (| a 2| 1)i不是純虛數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是三、解答題13.實數(shù)m為何值時,復(fù)數(shù)z=mm+ 2m- 1,2+ (m+2m- 3)i分別是(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).考點復(fù)數(shù)的概念題點由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)3.(1)要使z是實數(shù),m需滿足n2+2m- 3=0,且mm 2m 1有意義,m- 1 w 0,解得 m=(2)要使z是虛數(shù),2m需滿足m+2m- 3w0,且mm 2m- 1有意義,m- 1 w 0,解得n廿1且mw 3.(3)要使z是純虛數(shù),m需滿足mm+ 2m 1m- 1 w 0,3x+2y i,求實數(shù)x,

20、y的值.y 1(a21) + (b+2)i滿足 MT N? M且 n2+2m- 3w 0,解得 m= 0 或 m= - 2.四、探究與拓展a b14 .定義運算 =ad bc,如果(x + y) + (x+3)i考點復(fù)數(shù)相等題點由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)a b解由定義運算=ad- bc,c d3x + 2y i得=3x+2y+yi ,-y 1故有(x+ y)+(x+ 3)i =3x+2y + yi.x+ y = 3x+ 2y, 因為x, y為實數(shù)，所以x+ 3= y,2x+ y= 0,得得 x= - 1, y= 2.x+3 = y,15 .已知集合 M= ( a+3) + (b21)i,8,集合 N= 3i ,且MA NW ?,求整數(shù)a, b的值.考點復(fù)數(shù)相等 題點由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)解 由題意，得(a+3) +(b2- 1)i =3i ,或 8 = (a21) +(b+2)i ,或(a+3)+(b21)i =(a2-1) + (b+2)i.天才是百分之一的靈感加百分之九十九的勤奮由，得 a=-3, b=±2,由，得 a=±3, b= - 2,中，a， b 無整數(shù)解，不符合題意綜上，a=3, b= 2 或 a=3, b= -2或 a