全等三角形的相關(guān)模型總結(jié)匯總

1、全 等 的 相 關(guān) 模 型 總 結(jié)一、角平分線模型應(yīng)用1.角平分性質(zhì)模型：輔助線：過點G作GE射線AC(1) .例題應(yīng)用: 如圖1,在ABC中，C 90°，AD平分CAB,BC 6cm,BD 4cm,那么點d到直線ab 的距離是cm. 如圖2,已知，12， 34.求證：AP平分BAC.圖1圖2 2 (提示：作DE AB交AB于點E) 12 PM PN34 PN PQ PM PQ, PA 平分 BAC.模型鞏固:練習(xí)一：如圖3，在四邊形ABCD中，BC>AB AD=CD BD平分 BAC.求證： A C 180圖3練習(xí)二：已知如圖4,四邊形ABCD中圖4練習(xí)三：如圖5， Rt A

2、BC中， ACB 90°，CD AB,垂足為D， AF平分 CAB,交CD于點 E,交CB于點F.(1)求證：CE=CF. 將圖5中的 ADES AB向右平移到 A DE'的位置，使點E'落在BC邊上，其他條件不變，如圖6所示，是猜想：BE'于CF又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論.圖5圖6練習(xí)四：如圖7，Z A 90，AD / BC，P是AB的中點，PD平分/ ADC求證：CP平分Z DCBE3圖7練習(xí)五：如圖8, AB>AC； / A的平分線與BC的垂直平分線相交于 D,自D作DEL AB, DF丄AC，垂足分別為E，F(xiàn).求證：BE=CF圖8練習(xí)六：如

3、圖9所示，在 ABC中, BC邊的垂直平分線。卩交厶BAC的外角平分線AD于點D, F 為垂足，DEI AB于 E,并且 AB>AC 求證：BE AC=AE圖9證明：延長BE -(AC AB)2.已知：如圖2,在ABC中,BAC的角平分線 AD交BC于D,且AB AD,練習(xí)七：如圖10, D E、F分別是 ABC的三邊上的點，CE=BF且厶DCE的面積與 DBF 的面積相等，求證：AD平分/ BAC2. 角平分線+垂線，等腰三角形比呈現(xiàn)輔助線：延長ED交射線0B于F輔助線：過點E作EF/射線OB(1) .例題應(yīng)用: .如圖1所示，在 ABC中，/ ABC=3/ C, AD是/BAC的平分

4、線，BEX AD于F求證:分析：此題很多同學(xué)可能想到延長線段 CM但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結(jié)論毫無關(guān)系。而此 題突破口就在于AB=AD由此我們可以猜想過C點作平行線來構(gòu)造等腰三角形 證明：過點C作CE/ AB交AM的延長線于點E.例題變形：如圖12 B為AC的中點CM FB于M , AN FB于N.求證： EF 2BM; FB 2(FM FN) .模型鞏固:練習(xí)一、如圖3,A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于點D, CE垂直于BD交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE圖3練習(xí)一變形：如圖4，在厶ODC中，D 900, EC是DCO的角平分線，且°

5、E CE，過點E作EF °C交°C于點F猜想：線段EF與OD之間的關(guān)系，并證明.圖4練習(xí)二、如圖 5,已知 ABC中, CE平分/ ACB 且 AE!CE, / AEDZ CAE= 180度，求 證：DE/ BC圖5練習(xí)三、如圖 點E是DC中點BE平分Z ABC求證:E6, ADL DC BC!DC E是 DC上一點，AE平分Z。B練習(xí)四、如圖7 (a), BD、CE分別是 ABC的外角平分線，iAE CE,垂足分別是D、E,連接DE求證:DE / BC，D電_2(ABCE A 作 AD BD、(BC AC)圖 7 (a)圖 7 (b)圖 7 (c) 、如圖7 (b), B

6、D、CE分別是 ABC的內(nèi)角平分線，其他條 件不變； 、如圖7 (c), BD為ABC的內(nèi)角平分線，CE為ABC的外角平分線，其他條件不變則在圖7 (b)、圖6 (c)兩種情況下，DE與 BC還平行嗎？它與 ABC三邊又有怎樣的 數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜測，并證明你的結(jié)論.(提示：利用三角形中位線的知識證明線平 行)練習(xí)五、如圖8，在直角三角形ABC中，C 90 , A的平分線交BC于D .自C作CG AB 交AD于E ,交AB于G .自D作DF AB于F，求證：CF DE .圖8練習(xí)六、如圖9所示，在ABC中，AC AB , M為BC的中點，AD是BAC的平分線， 若CF AD且交AD的延長線

7、于F，求證MF - AC AB .2圖9練習(xí)六變形一：如圖10所示，AD是ABC中BAC的外角平分線，CD AD于D , E是BC的中點，求證 DE II AB且DE £(AB AC).圖10練習(xí)六變形二：如圖 11所示，在 ABC中，AD平分 BAC , AD AB, CM AD于M , 求證 AB AC 2AM .圖11練習(xí)七、如圖12,在 ABC中， B 2 C , BAC的平分線AD交BC與D .則有AB BD AC .那么如圖13,已知在 ABC中， ABC 3 C ,12 , BE AE .求證：AC AB 2BE .圖12圖13練習(xí)八、在厶ABC中，AB 3AC , B

8、AC的平分線交 BC于D，過B作BE AD , E為垂足， 求證：AD DE .練習(xí)九、AD是 ABC的角平分線，BE AD交AD的延長線于E , EF II AC交AB于F . 求證：AF FB .3. 角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形的輔助線都是在射線 0A上取點B,使OB=OA從而使 OAC OBC.(1).例題應(yīng)用：、在 ABC中，/ BAC=60，/ C=4C° , AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC 于 Q 求證：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1) 題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2) 解題思路：本題要證明的是A

9、B+BP=BQ+AQg勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^0作BC的平行線。得AQO得至U OD=O,AD=AQ只要再證出BD=O就可以了。解答過程：證明：如圖(1),過O作OD/ BC交AB于D,/ ADON ABC=180 60° 40° =80°,又/ AQON C+Z QBC=80 ,?/ ADOZ AQO?又 TZ DAOZ QAO OA=AO? ADO AQO? OD=O,AD=AQ?又od/ BP,?/ PBOZ DOB?又PBOZ DBO?/ DBOZ DOB BD=OD又BPAZ C+Z PAC=

10、70 ,?Z BOPZ OBAZ BAO=70 ,Z BOPZ BPO BP=OB? AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AO?BQ?解題后的思考：(1) 本題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。(2) 本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下： 如圖(2),過O作OD/ BC交AC于。，則厶AD3A ABC從而得以解決。 如圖(5),過P作PD/ BQ交AC于。，則厶ABPA ADP從而得以解決。 小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法，體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。 而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)

11、移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對 三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。、如圖所示，在 ABC中，AD是BAC的外角平分線，P是AD上異于點A的任意一點， 試比較PB PC與AB AC的大小，并說明理由.【解析】PB PC AB AC，理由如下.如圖所示，在AB的延長線上截取AE AC，連接PE .因為AD是BAC的外角平分線，故在因CAP EAP .ACP和 AEP 中, AC AE， CAP EAP， AP公用，:ACP也 AEP ，從而PC PE .在 BPE 中，PB PE BE，而 BE BA AE AB AC， 故 P

12、B PC AB AC .變形：在ABC中，AB AC， AD是BAC的平分線.P是AD上任意一點. 求證：AB AC PB PC .【解析】 在AB上截取AE AC，連結(jié)EP，根據(jù)SAS證得 AEP也 ACP， PE PC，AE AC 又 BEP 中，BE PB PE， BE AB AC， AB AC PB PC(2)、模型鞏固：練習(xí)一、.如圖，在 ABC中, AD丄BC于D, CD= AB+ BD / B的平分線交AC于點E,求 證：點E恰好在BC的垂直平分線上。A 練習(xí)二、如圖，已知 ABC中, A吐AC, / A= 100° 求證：AM BD= BC練習(xí)三、如圖，已知 ABC中

13、, BO AC / C= 求證：AC CD= AB練習(xí)四、已知：在厶ABC中，B的平分線和外BB的平分線交AC于D,DCM的平分線B的平分線交BC于 D,交于D,DF CBC,交 AC于 E,交AB于 F,求證：EF BF CE練習(xí)五、在厶ABC中，AB 2AC,AD平分ABAC , EDA DD,是AD中點連結(jié)CB ,求證BD 2CE變式：已知：在厶 ABC中， B 2 C,BD平分 ABC , AD By*DF AB,BF的延長DM練習(xí)九、如圖，在 ABC中, Z ACB為直角,CML AB于 M, AT平分Z BAC交 CM于 D,交 BC于T,過D作DE/ AB交BC于 E,求證： 練

14、習(xí)十、如圖所示，已知ABC中，上. DE CD , EF AC .求證： EF F AB【補充】如圖，在 ABC中，AD交BC于點D，點E是BC中點，EF / AD交CA的延長線 于點F，交AB于點G，若BG CF ,求證：AD為BAC的角平分線.4.中考巡禮：(1).如圖全CT=BE.AD 平分 BAC , E、F 分別在 BD、AD,OP是 Z AOB的平分線，請你利 形，請你參考這個全等三角形的方1 ABC中,日,Z B=6CB呂畫一對以 0P為所在直線為對稱軸的 、解答下列問題AD CE是Z啟AC。0平分線,相交于點SF1請你判斷并寫出EF與D圖之可的數(shù)量的關(guān)'系圖3、如圖3,

15、在厶ABC中, Z ACB不是直角，而(1)中的其他條件不變,請問，(1)中 的結(jié)論是否任然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。、 1求證：BD AC2練習(xí)六、已知：如圖，在四邊形ABCD中, AD/ BC,BC=DC,C平分 線交DC于點E.A求證：(1) BF=DF (2)AD=DE.練習(xí)七、已知如圖，在四邊形 ABCD中, AB+BC=CD+DAZABC的外角平分線京/ CDA勺外 角平分線交于點 P.求證：/ APBW CPD練習(xí)八、如圖，在平行四邊形 ABCD(兩組對邊分別平行的四邊形)中，E，F(xiàn)分別是AD,AB邊上的點，且BE DF交于G點，BE=DF求證：GC是/ BGD

16、勺平分線BD操作過程:(2) .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B (-1 , 0), C (1, 0) D為y軸上的一點，點A為 第二象限內(nèi)一動點，且Z BAC=Z BDO過點D作DML AC于M, 、求證：Z ABDZ ACD 、若點E在BA的延長線上，求證：AD平分Z CAE 、當(dāng)點A運動時，(AC-AB) /AM的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由。二、等腰直角三角形模型1. 在斜邊上任取一點的旋轉(zhuǎn)全等:0(1) .將厶ABD逆時針旋轉(zhuǎn)90，使 ACMPA ABD從而推出厶ADM為等腰直角三角 形(但是寫輔助線時不能這樣寫)(2) .過點C作MC BC，連AM導(dǎo)出上述結(jié)論.2

17、. 定點是斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等： 操作過程：連AD.(1) .使 BF=AE(AF=CE，導(dǎo)出 BDFA ADE.(2) .使/ EDFy BAC=800，導(dǎo)出 BDFA ADE.(1)、例題應(yīng)用：在等腰直角中，點皿 山在斜邊BC上滑動，且NU4A7刖 是探究抒4八O之間的數(shù)量關(guān)系-.過點用作NB_LBCf使"倉二CA；進(jìn)解析：方法一：過點C作，方法二：丄兩個全等的含的三角扳.4DE和三角板如5C.如圖所示放置. E.小CH點在一條育線匕 連接勸，取砂的中點連接ME, 財匸是判斷EMC的形狀.并證明你的結(jié)論.證明：方法一：連接 AM 證明 MDEA MAC特別注意

18、證明/ MDEM MAC.方法二：過點M作MNL EC交EC于點N,得出MN為直角梯形的中位線，從而導(dǎo) 出厶MEC為等腰直角三角形.(2)、練習(xí)鞏固：已知：如圖所示，Rt ABC中, AB=AC BAC 90，O為BC中點，若M N分別在線段AC AB上移動，且在移動中保持 AN=CM. 、是判斷厶OMN勺形狀，并證明你的結(jié)論. 、當(dāng)M N分別在線段AC AB上移動時，四邊形AMO的面積如何變化？ 思路：兩種方法：在正方形ABC中, BE=3 EF=5 DF=4求/ BAEW DCF為多少度.提示如右圖:3. 構(gòu)造等腰直角三角形(1) 、利用以上的1和2都可以構(gòu)造等腰直角三角(略)；(2) 、

19、利用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角. 如下圖：圖3-1圖3-2操作過程：在圖3-2中，先將 ABD以 BD所在的直線為對稱軸作對稱三角形，再將此三 角形沿水平方向向右平移一個正方形邊長的長度單位，使A與M D與E重合.例題應(yīng)用：已知：平面直角坐標(biāo)系中的三個點，A1，°, B2, 1，C0,3，求/OCAPOCB的度數(shù)4. 將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：圖4-1圖4-2例題應(yīng)用：思路：構(gòu)造正方形ACBM可以構(gòu)造出等邊厶APM從而造出，可得，再由于4P=AC，故而得到，又根據(jù)，而是而得證.例題拓展：若 ABC不是等腰直角三角形，即其他條件不變，求證：/ 2=2 / 1.練

20、習(xí)鞏固：在平面直角坐標(biāo)系中， A (0,3 )，點B的縱坐標(biāo)為2,點C的縱坐標(biāo)為0,當(dāng)A、B、C三點圍成等腰直角三角形時，求點 B、C的坐標(biāo).(1) 、當(dāng)點B為直角頂點：圖1圖2(2) 、當(dāng)點A為直角頂點：圖3圖4(3) 、當(dāng)點C為直角頂點：圖5圖6三、三垂直模型(弦圖模型).由厶ABEA BCD導(dǎo)出由 ABEA BCD導(dǎo)由厶ABEA BCD導(dǎo)出ed=ae-cdB ec=ab-cdbc=be+ed=ab+cd1. 例題應(yīng)用：例1.已知：如圖所示，在 ABC中，AB=AC BAC 90，D為AC中點，AF丄BD于 E， 交BC于 F,連接 DF.求證：/ ADB2 CDF.思路：方法一：過點c作

21、MCAC交AF的延長線于點M.先證 ABDA CAM 再證 CDFQA CMF即卩可.方法二：過點 A作AML BC分別交BD BC于H、M先證 ABHA CAF再證 CDFA ADH即可.方法三：過點 A作AML BC分別交BD BC于H、M先證Rt AM目Rt BMH得出HF/ AC由M D分別為線段AC BC的中點，可得ABC的中位線從而推出MD/ AB,又由于 BAC 90 ,故而MDL AC MDL HF,所以MD為線段HF的中垂線.所以/仁/ 2.再由/ADB/仁/CD+Z 2,貝U/ ADB：/CDF例1拓展（1）:已知：如圖所示，在 ABC中, AB=AC AM=CN AF丄B

22、M于 E,交 BC于 F,連接 NF.求證：/ ADB/ CDFBM=AF+FN思路：同上題的方法一和方法二一樣.拓展（2）：其他條件不變，只是將 BM和FN分別延長交于點P,求證：PM=PN PB= PF+AF.思路：同上題的方法一和方法二一樣.例2.如圖2-1，已知AD/ BC ABEft CDF是等腰直角三角形，/ EAB/ CDF0 ,AD=2 BC=5求四邊形AEDF的面積.圖2-1解析：如圖2-2,過點E、B分別作ENL DA BML DA交DA延長線于點N、M. 過點F、C分別作FP丄AD CQL AD交AD及 AD延長線于點P、Q ABEn CDF是等腰直角三角形, / EAB

23、/ CDF=90 , AE=AB DF=CD. EN丄 DA BML DA FP丄 AD CQLAD /. / NMB/ ENA/ FPDK DQC=0 ./. / ENA/ MBA / FDP=/ QCD/. ENA2 ABM FPDA DQC. NE=AM PF=DQ. NE+PF=DQ+AM=MQ-AD AD/ BC CQ/ BM, / BMN=O ,二四邊形 BMQ是矩形./. BC=MQ1S四邊形 EAFD 233./ AD=2 BC=5. NE+PF=5-2=3.2圖2-22. 練習(xí)鞏固：(1)、如圖(1) -1 ,直角梯形ABCD中 , AD/ BC / ADC*° ,

24、 l是AD的垂直平分線,交AD于點M,以腰AB為邊做正方形ABFE EPL l于點P.求證：2EP+AD=2CD.(1) -1 (1) -2(2)、如圖,在直角梯形 ABCD中 , / ABC=90 , AD/ BC AB=AC E是 AB的中點,CE丄 BD. 求證：BE=AD 求證：AC是線段ED的垂直平分線； 厶BCD是等腰三角形嗎？請說明理由.四、手拉手模型1. ABEH ACF均為等邊三角形結(jié)論：(1) . ABFA AEC(2) . / BOE=BAE600 (“八字模型證明”)(3) .OA平分/ EOF條件： ABCPA CDE均為等邊三角形結(jié)論：(1)、AD=BE(2)、/ ACB2 AOB(3)、A PCC為等邊三角形(4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ(6)、CO平分/AOE( 7)、OA=OB+OC(8)、