一般數列求前n項和

1、第1頁 共 64 頁第三十五講第三十五講 一般數列求前一般數列求前n項和項和第2頁 共 64 頁教材知識整合教材知識整合回歸教材回歸教材第3頁 共 64 頁數列的求和方法有數列的求和方法有:1.公式法公式法:若數列為等差數列或等比數列若數列為等差數列或等比數列,利用等差或等比數利用等差或等比數列的前列的前n項和公式項和公式,特別地特別地,直接用等比數列的公式求和時直接用等比數列的公式求和時,要注意對公比要注意對公比q分分q=1和和q1兩種情況進行討論兩種情況進行討論.2.倒序相加法倒序相加法:如果一個數列如果一個數列an與首末兩項等距離的兩項之與首末兩項等距離的兩項之和等于首末兩項之和和等于首

2、末兩項之和.可采用把正著寫和倒著寫的兩個式可采用把正著寫和倒著寫的兩個式子相加子相加,就得到一個常數列的和就得到一個常數列的和,進而求出數列的前進而求出數列的前n項和項和.第4頁 共 64 頁3.錯位相減法錯位相減法:如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項乘積組成等比數列對應項乘積組成,此時可把式子此時可把式子Sn=a1+a2+an,兩邊同乘以公比兩邊同乘以公比q,兩式錯位相減整理可得兩式錯位相減整理可得Sn.4.拆項求和法拆項求和法:把數列的每一項分成多個項或把數列的項重新把數列的每一項分成多個項或把數列的項重新組合組合,使其轉化成等差

3、數列或等比數列使其轉化成等差數列或等比數列,然后由等差然后由等差 等比等比數列求和公式求解數列求和公式求解.第5頁 共 64 頁5.:,11 11,(),:11()n nkknnknknknnkn裂項相消法 把數列的通項拆成兩項之差 在求和時一些正負項相互抵消 于是前 項和變成首尾若干少數項之和常用的技巧有 6.分組求和分組求和:在求數列的前在求數列的前n項和時項和時,如果一個數列的項是正負如果一個數列的項是正負交錯交錯,或周期數列求和或周期數列求和,可以將相鄰的兩項或幾項合并可以將相鄰的兩項或幾項合并,周期數周期數列先求一個周期的和列先求一個周期的和,再利用其它相關方法進行求和再利用其它相關

4、方法進行求和.第6頁 共 64 頁基礎自測基礎自測1.等比數列等比數列an中中,a1=2,前前n項和為項和為Sn,若數列若數列an+1也是等比也是等比數列數列,則則Sn等于等于( )A.2n+1-2 B.3nC.2n D.3n-1解析解析:an是等比數列是等比數列,an+1也是等比數列也是等比數列,設數列設數列an的公比為的公比為q,則則a2=2q,a3=2q2,且且(2q+1)2=(2+1)(2q2+1),解得解得q=1,故故Sn=2n.答案答案:C第7頁 共 64 頁2.各項均不為各項均不為0的等差數列的等差數列an的前的前n項和為項和為Sn,若若an+1- +an-1=0(n2),則則S

5、2n-1-4n等于等于( )A.-2 B.0C.1 D.2解析解析:an是等差數列是等差數列,2an=an+1+an-1(n2),2an- =0,各項均不為各項均不為0,an=2,S2n-1-4n=2(2n-1)-4n=-2.答案答案:A2na2na第8頁 共 64 頁 49*1141011,811.2.22211.2.3.(),1,12220nAaBaaCDnN在等比數列中 若則該數列的前項和為141010911,8211122.1212:1,Saaq解析 由可得公比答案答案:B第9頁 共 64 頁 4710311344.(2009)( )22222(),( )22.77(81)(822.1

6、)(81)17(8)7nnnnnf nnABDnCfN啟東模擬 設則等于14311:( )2221,( )(81)2(1 8).21 87nnnf nnf n解析為等比數列的前項的和答案答案:B第10頁 共 64 頁 51,(1)5.1.615.S ,1.6S30nnnn nABCDana 數列的前 項和為若則等于5111,(1)1111111111151.22334455666:S1nn nnan 解析答案答案:B第11頁 共 64 頁重點難點突破重點難點突破題型一題型一公式法公式法【例【例1】 (2010福州高三質檢福州高三質檢)已知等差數列已知等差數列an滿足滿足a2=2,a5=8.(1

7、)求數列求數列an的通項公式和它的前的通項公式和它的前n項和項和Sn;(2)設各項均為正數的等比數列設各項均為正數的等比數列bn的前的前n項和為項和為Tn,若若b3=a3,T3=7,求求Tn.第12頁 共 64 頁解解 (1)設等差數列的公差為設等差數列的公差為d,a2=2,a5=8,d= =2,a1=0,an=2n-2,Sn= =n(n-1).5252aa(022)2nn第13頁 共 64 頁 (2)設各項均為正數的等比數列設各項均為正數的等比數列bn的公比為的公比為q(q0).由由(1)可知可知a3=4,b3=4,又又T3=7,2111111239124,(),13,221,21.2Tnn

8、nnnqqbqbqbbbb 或舍去第14頁 共 64 頁點評點評 對于等差數列和等比數列求和對于等差數列和等比數列求和,可直接利用它們的求可直接利用它們的求和公式和公式,但利用等比數列求和公式求和時需注意公比但利用等比數列求和公式求和時需注意公比q是否是否為為1.第15頁 共 64 頁變式變式1:設等差數列設等差數列an的前的前n項和項和Sn,等比數列等比數列bn的前的前n項和項和為為Tn,已知已知a1=b1=1,a2b2=1,S3T3=13,求求Sn和和Tn.解解:設等差數列設等差數列an的公差為的公差為d,等比數列等比數列bn的公比為的公比為q,由由a2b2=1,S3T3=13,11111

9、312(1)13,122,31()1,(33 )(1)1,1,(33 )(1)13,3.3ad bqaddbqqdqabd qqdqq 可得或第16頁 共 64 頁212131;2,S,T3322 32431,32,S,.3nnnnnndqnTdnnq當時當時第17頁 共 64 頁題型二題型二并項法并項法【例【例2】 已知數列已知數列an滿足遞推公式滿足遞推公式an-an-1=2n-1(n2),且且a1=1.(1)求數列求數列an的通項公式的通項公式;(2)若若bn=(-1)nan,求數列求數列bn的前的前n項和為項和為Tn.第18頁 共 64 頁 解解 (1)由由an-an-1=2n-1(n

10、2),可得可得a2-a1=3,a3-a2=5,an-an-1=2n-1,上面上面n-1個式子累加得個式子累加得an-a1= =n2-1,a1=1,an=n2.(1)(321)2nn第19頁 共 64 頁 (2)bn=(-1)nn2,Tn=-1+22-32+42+(-1)nn2,當當n為偶數時為偶數時,Tn=(-1+22)+(-32+42)+-(n-1)2+n2=1+2+3+4+(n-1)+n=當當n為奇數時為奇數時,Tn=Tn-1-n2=綜上所述綜上所述,Tn=(-1)n(1).2n n2(1)(1).22nnn nn (1).2n n第20頁 共 64 頁變式變式2:已知數列已知數列an的前

11、的前n項和項和Sn=2n-1,bn=(-1)nlog2an+1,求數求數列列bn的前的前n項和為項和為Tn.解解:Sn=2n-1,an+1=Sn+1-Sn=(2n+1-1)-(2n-1)=2n,bn=(-1)nlog2an+1=(-1)nn,Tn=-1+2-3+4+(-1)nn,當當n為偶數時為偶數時,Tn=(-1+2)+(-3+4)+(n-1+n)=,2n第21頁 共 64 頁111,22,TT,T.1,2,2nnnnnnnnnnnn當 為奇數時為奇數綜上所述為偶數第22頁 共 64 頁題型三題型三錯位相減法錯位相減法【例【例3】 (2009福建福州八中模擬福建福州八中模擬)已知數列已知數列

12、an中中,a1=1,a2=3,且且2an+1=an+2+an(nN+),數列數列bn的前的前n項和為項和為Sn,其中其中b1= ,bn+1= Sn,(nN+).(1)求數列求數列an和和bn的通項公式的通項公式;(2)若若Tn= 求求Tn的表達式的表達式.32231212,nnaaabbb第23頁 共 64 頁 1221111121221 12,2,21,S ,2,S,223321332,21,333,S133221,1nnnnnnnnnnnnnnnnaaaadaaanbnbbbbbbbbbbnn 解數列是等差數列公差當 時則又第24頁 共 64 頁 11122101212222,(21) 3

13、,1,T2,T3 35 37 312,3(21) 3,3223nnnnnnnnababaaabbnnnbn 時當時當 時第25頁 共 64 頁設設T=330+531+(2n-1)3n-2,則則3T=331+532+(2n-3)3n-2+(2n-1)3n-1,-2T=330+2(31+32+3n-2)-(2n-1)3n-1=3+2 -(2n-1)3n-1=3-3+3n-1-(2n-1)3n-1=(2-2n)3n-1.23(1 3)1 3n第26頁 共 64 頁1111T(1) 3,T(1) 3,1,(1)2322,33233T(1) 3.nnnnnnnnnnn即又當時第27頁 共 64 頁 點評

14、點評 對于等差對于等差等比的類型求前等比的類型求前n項和時項和時,主要應用錯位主要應用錯位相減相減,由于此題由于此題bn為分段的形式為分段的形式,故求數列故求數列 的前的前n項項和時應分情況討論和時應分情況討論.nnab第28頁 共 64 頁變式變式3:(2010山東濰坊高三教學質量抽樣監(jiān)測山東濰坊高三教學質量抽樣監(jiān)測)已知數列已知數列an是首項是首項a1=1的等比數列的等比數列,且且an0,bn是首項為是首項為1的等差的等差數列數列,又又a5+b3=21,a3+b5=13.(1)求數列求數列an和和bn的通項公式的通項公式;(2)求數列求數列 的前的前n項和項和Sn.2nnba第29頁 共

15、64 頁解解:(1)設數列設數列an的公比為的公比為q,數列數列bn的公差為的公差為d,由已知得由已知得解得解得d=2,q=2或或q=-2(舍去舍去),an=2n-1,bn=2n-1.421221,1413,qdqd 第30頁 共 64 頁 231234123121121,221352321,2222211352321,2222221122221,222222111112121SSS,222222nnnnnnnnnnnnnnnbnannnnSnn由可知上面兩式相減得第31頁 共 64 頁1111S11111211121221,122222213223.2nnnnnnnnSnn 第32頁 共 6

16、4 頁題型四題型四裂項相消法裂項相消法 *12(1),214 (20103),S ,S.1:;,2,T .2Tnnnnnnnnnnnannabbbba aSN【例 】濟南 月高三模擬考試 已知數列的各項均為正數 前 項和為且求證 數列是等差數列設求第33頁 共 64 頁 11111112121111 1:1,1.SS(2),:2(2),()(1)0(2),0,1(2),(1),2(1),2(1)21,1.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaanaaanaaaanaaanaa aa aaaaa解證明 當時上面兩式相減得即是首項為 公差為 的等差數列第34頁 共 64 頁 (1),2111,

17、(1)11111111122321,34111.1S1Tnnnnn nn nnnnnbnannn 由可知第35頁 共 64 頁點評點評 如果數列的通項公式可轉化為如果數列的通項公式可轉化為f(n+1)-f(n)的形式的形式,常采常采用裂項相消法求和用裂項相消法求和,特別地特別地,當數列形如當數列形如 且數列且數列an為等差數列時為等差數列時,可用此法可用此法.注意使用裂項相消時一定要注意使用裂項相消時一定要找好規(guī)律找好規(guī)律,看清消去了哪些項看清消去了哪些項,保留了哪些項保留了哪些項,實際上實際上,裂項相裂項相消前后對稱消前后對稱,即前后剩余的項一樣多即前后剩余的項一樣多,在解題時要抓住這一在解

18、題時要抓住這一特點特點.11nna a第36頁 共 64 頁變式變式4:已知數列已知數列an中中,a1=3,a2=5,其前其前n項和項和Sn滿足滿足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n3),令令bn=(1)求數列求數列an的通項公式的通項公式;(2)若若f(x)=2x-1,求證求證:b1f(1)+b2f(2)+bnf(n)0),且滿足且滿足a2a5=55,a4+a6=22.(1)求數列求數列an的通項公式的通項公式;(2)若數列若數列bn的前的前n項和為項和為an,數列數列bn和數列和數列cn滿足滿足:bn= ,求數列求數列cn的前的前n項和項和Sn.2nnc第53頁 共 64 頁解解:(

19、1)an是等差數列是等差數列,a4+a6=2a5=22,a5=11,a2a5=55,a2=5,d=an=a2+(n-2)d=2n+1.522,52aa第54頁 共 64 頁 1111 2(21)(21)2(2),3,1,3,2,2.6,1,2 ,2,2.nnnnnnnnnbaannnnbabnncbcn從而當從而當n2時時,Sn=6+23+24+2n+1=2n+2-2,當當n=1時時,S1=6也滿足上式也滿足上式,Sn=2n+2-2.第55頁 共 64 頁2.(2010山東濰坊市高三質量監(jiān)測山東濰坊市高三質量監(jiān)測)已知數列已知數列an的各項均的各項均為正數為正數,其前其前n項和為項和為Sn,滿

20、足滿足(p-1)Sn=p2-an,其中其中p為正常數為正常數,且且p1.(1)求數列求數列an的通項公式的通項公式;(2)設設bn= (nN*),數列數列bnbn+2的前的前n項和為項和為Tn,求求證證:Tn12pnlog a3.4第56頁 共 64 頁 2111221111112: 11,(1),.(1)S(1)S(1),.111nnnnnnnnnnnnnnpapaapppappapaaaappaapappp解當時解得由得是首項為公比為的等比數列第57頁 共 64 頁 21 322243 51111,222(2)11 11,(2)22111111111232435211 2:T1131.22124npnnnpnnnnlog albb bbbb bb bbog pnnn nnnnnnbn證明第5