自動控制原理第6章頻率特性分析法

1、第第5 5章章 線性系統(tǒng)的頻域分析線性系統(tǒng)的頻域分析內(nèi)容提要 頻率特性是研究控制系統(tǒng)的一種工程方法，應(yīng)用頻率特性可間接地分析系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 本章主要介紹典型環(huán)節(jié)的頻率特性、開環(huán)頻率特性、最小相位系統(tǒng)、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、閉環(huán)頻率特性及用品類特性分析系統(tǒng)品質(zhì)。 知識要點 開環(huán)頻率特性、極坐標圖、Bode圖、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、相對穩(wěn)定性、閉環(huán)頻率特性、等M圓、等N圓及用品類特性分析系統(tǒng)品質(zhì)。 時域分析時域分析方法的缺陷： （1 1）對于高階或較為復(fù)雜的系統(tǒng)難以求解和定量分析；）對于高階或較為復(fù)雜的系統(tǒng)難以求解和定量分析；（2 2）某些元件或環(huán)節(jié)的數(shù)

2、學(xué)模型難以求出時，系統(tǒng)的分析將無法進行；）某些元件或環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型難以求出時，系統(tǒng)的分析將無法進行；（3 3）系統(tǒng)的參數(shù)變化時，系統(tǒng)性能的變化難以直接判斷，而需重新求解系）系統(tǒng)的參數(shù)變化時，系統(tǒng)性能的變化難以直接判斷，而需重新求解系統(tǒng)的時間響應(yīng)，才能得到結(jié)果；統(tǒng)的時間響應(yīng)，才能得到結(jié)果；（4 4）系統(tǒng)的性能不滿足技術(shù)要求時，無法方便地確定應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)的參）系統(tǒng)的性能不滿足技術(shù)要求時，無法方便地確定應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)來獲得預(yù)期的結(jié)果；數(shù)來獲得預(yù)期的結(jié)果；（5 5）必須由閉環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的穩(wěn)定性。）必須由閉環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 根軌跡法根軌跡法根據(jù)圖形的變化趨勢即可得到系統(tǒng)性能隨某一參

3、數(shù)變化的全根據(jù)圖形的變化趨勢即可得到系統(tǒng)性能隨某一參數(shù)變化的全部信息，從而可以獲得應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)來獲得預(yù)期效果，是一種非部信息，從而可以獲得應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)來獲得預(yù)期效果，是一種非常實用的求取閉環(huán)特征方程式根和定性分析系統(tǒng)性能的圖解法，特別適用常實用的求取閉環(huán)特征方程式根和定性分析系統(tǒng)性能的圖解法，特別適用于高階系統(tǒng)的分析求解。但對于高頻噪聲問題、難以建立數(shù)學(xué)模型等問題于高階系統(tǒng)的分析求解。但對于高頻噪聲問題、難以建立數(shù)學(xué)模型等問題仍然無能為力。仍然無能為力。 5.1 5.1 引言引言頻域分析頻域分析方法的優(yōu)點： (1) 頻域分析法可以根據(jù)開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并能較方便

4、地分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響，從而進一步提出改善系統(tǒng)性能的途徑。(2) 除了一些超低頻的熱工系統(tǒng)，頻率特性都可以方便地由實驗確定。(3) 頻率特性主要適用于線性定常系統(tǒng)。在線性定常系統(tǒng)中，頻率特性與輸入正弦信號的幅值和相位無關(guān)。(4) 這種方法也可以有條件地推廣應(yīng)用到非線性系統(tǒng)中。 利用頻率特性進行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的圖解法，可方便地用于工程中的系統(tǒng)分析和設(shè)計。 6.2 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念6.2.1 頻率響應(yīng)與頻率特性的定義頻率響應(yīng)與頻率特性的定義RC網(wǎng)絡(luò)圖示電路的傳遞函數(shù)為 RCssGsUsUio11)()()(設(shè)輸入電壓tAtuisin)(Ruiu0CRuC令T=RC，

5、則可得電容兩端的輸出電壓為2211)(11)(sATssUTssUio對上式兩端取拉氏反變換得式中：)tansin(11)(12222TtTAeTATtuTto當(dāng)t時， 0122TteTTA)sin()tansin(1)(lim)(122tATtTAtutUoos221TAA于是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為T1tan可見，電路的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是正弦電壓，其頻率和輸入電壓的頻率相同，幅值是輸入幅值的 倍，相角比輸入遲后 。2211TT1tan其中： ，. , , ee2.).(arctgT - ),( , 1.: Tj11jjT11Tjarctan-T1111)jT(112222率特性的頻稱為網(wǎng)絡(luò)變化的規(guī)律頻率

6、和相角隨正弦輸入電壓穩(wěn)態(tài)輸出時電壓幅值入作用下它描述了網(wǎng)絡(luò)在正弦輸相頻特性滯后相角比輸入電壓幅頻特性幅值是輸入電壓的其頻率與輸入電壓相同弦電壓網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)態(tài)輸出仍是正說明T3. 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解的幅值之比A()是的函數(shù)，其比值為TjTABA1111)(224. 為輸出穩(wěn)態(tài)解與輸入信號的相位差，也是的函數(shù)，其值為TjT11arctan)()(6.2.2 頻率特性的物理意義 線性定常系統(tǒng)（或元件）在正弦輸入信號作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比叫做系統(tǒng)（或元件）的頻率特性，記為G(j)。 記輸入信號為)0()(sin)(jrieAtAtu 輸出信號為)()()sin()(jCoeAtAtu 則)()()(

7、)()()0()(AeAeAjGjrjC其中)()(,)()(jGjGA RC電路的頻率特性在復(fù)平面上構(gòu)成一個完整的向量。用G(j)表示這一向量，則222211111)(TTjTTjjG)()()(jejGjG2211)(TjGTarctan)( 根據(jù)復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)定義，有)()()(jejGjG2211)(TjGTarctan)()(jG 稱為電路的頻率特性。)(jG是)(jG的幅值,)(是)(jG的相角，)(jG和)(都是輸入信號頻率故它們分別被稱為電路的頻率特性的物理意義是頻率特性的物理意義是：當(dāng)一頻率為它表示在穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入的幅值之比。它表示在穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入的幅值之比。

8、它表示在穩(wěn)態(tài)時，輸出信號與輸入信號的相位差。它表示在穩(wěn)態(tài)時，輸出信號與輸入信號的相位差。由于的函數(shù),幅頻特性和相頻特性。在穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入之比；或者說輸出與輸入的幅值之比和相位之差。在穩(wěn)態(tài)時，電路的輸出與輸入之比；或者說輸出與輸入的幅值之比和相位之差。 的正弦信號加到電路的輸入端后，)(0)()()()(jieAjUjUjG6.3 頻率特性圖示法 幅相頻率特性（極坐標圖、奈氏圖）幅相頻率特性（極坐標圖、奈氏圖） G(j)隨隨從從0變至變至+時在復(fù)平面上連續(xù)變化而形成時在復(fù)平面上連續(xù)變化而形成的一條曲線。的一條曲線。 對數(shù)頻率特性（對數(shù)頻率特性（Bode圖）圖） 由采用對數(shù)分度作圖的對數(shù)

9、幅頻特性和采用線性由采用對數(shù)分度作圖的對數(shù)幅頻特性和采用線性分度作圖的對數(shù)相拼特性兩條曲線組成。分度作圖的對數(shù)相拼特性兩條曲線組成。 對數(shù)幅相特性（尼氏圖）對數(shù)幅相特性（尼氏圖） 橫坐標為相位橫坐標為相位 ，縱坐標為對數(shù)幅值，縱坐標為對數(shù)幅值 ，且縱、橫坐標均為線性分度。且縱、橫坐標均為線性分度。)()(lg20)(AL 幅相頻率特性可以表示成：代數(shù)形式、極坐標形式6.3.1 6.3.1 幅相頻率特性（奈氏圖）幅相頻率特性（奈氏圖）1）代數(shù)形式）代數(shù)形式設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為令s=j，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性 這就是系統(tǒng)頻率特性的代數(shù)形式，其中P()是頻率特性的實部，稱為實頻特性，Q()為頻

10、率特性的虛部，稱為虛頻特性。 nnnmmmasasabsbsbsG110110)()()()()()()()(110110jQPajajabjbjbjGnnnmmm2）極坐標形式）極坐標形式將上式表示成指數(shù)形式 :式中)()()(22QPAnA()復(fù)數(shù)頻率特性的模，即幅頻特性n ()復(fù)數(shù)頻率特性的幅角或相位移，即相頻特性 )()(22)()()()(jjeAeQPjG)()(arctan)(PQ奈氏圖奈氏圖6.3.2 6.3.2 對數(shù)頻率特性（對數(shù)頻率特性（BodeBode圖）圖）對數(shù)頻率特性是將頻率特性表示在對數(shù)坐標中。對數(shù)頻率特性是將頻率特性表示在對數(shù)坐標中。 對上式兩邊取對數(shù)，得對上式兩

11、邊取對數(shù)，得 上面就是對數(shù)頻率特性的表達式。習(xí)慣上，一般不考上面就是對數(shù)頻率特性的表達式。習(xí)慣上，一般不考慮慮0.434這個系數(shù)，而只用相角位移本身。這個系數(shù)，而只用相角位移本身。 ( )20lg( )( )( )LAdBrad ， 或)()(22)()()()(jjeAeQPjG)(434. 0)(lglg)()(lg)(lg)(lg)(jAejAeAjGjBode圖圖6.3.3 6.3.3 對數(shù)幅相特性（尼氏圖）對數(shù)幅相特性（尼氏圖） 將對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性繪在一個平面上，以對將對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性繪在一個平面上，以對數(shù)幅值作縱坐標（單位為分貝）、以相位移作橫坐標（單位數(shù)幅值作

12、縱坐標（單位為分貝）、以相位移作橫坐標（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對數(shù)幅為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對數(shù)幅相頻率特性，相頻率特性，也稱為尼柯爾斯圖，或尼氏圖。也稱為尼柯爾斯圖，或尼氏圖。 一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析。一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析。微分方程頻率特性傳遞函數(shù)系統(tǒng)pj jsps 6.3.4 頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程三種數(shù)學(xué)模型頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程三種數(shù)學(xué)模型 之間的關(guān)系之間的關(guān)系RCssGsUsUio11)()()(TjRCjjGjUjUio1111)()()(比較比較頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式 jssGjG)

13、()(6.4 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性) 1(12111s1K 1sasasa1)sbsbsK(bG(s) 122)(11v11 -n1 -nnn11 -m1 -mmm21ssTsTsTjljiiihvniihi6.4.1 6.4.1 控制系統(tǒng)中常見的典型環(huán)節(jié)控制系統(tǒng)中常見的典型環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)K)G(s其中vs1G(s) 11G(s)1sTihi121G(s)22)(121sTsTiiihvni) 1(G(s)1sjlj比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)K)G(j KsXsXrC)()(sGo0)(6.4.2 6.4.2 典型環(huán)節(jié)的極坐標及頻率特

14、性典型環(huán)節(jié)的極坐標及頻率特性1、比例環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2） 頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性K)A(K)P(0)Q(Klog02)L(奈氏圖奈氏圖BodeBode圖圖KjjK)G(j sKsXsXrC)()(sGo90-)(2、積分環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2） 頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性K)A(0)P(K-)Q(log02log02)L(K奈氏圖奈氏圖BodeBode圖圖TjK1)G(j 1)()(sGTsKsXsXrCTt-1an-)(3、慣性環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2） 頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性221K)A(T221)P(TK221K

15、T-)Q(T221log20log02)L(TK奈氏圖奈氏圖BodeBode圖圖TjT2)1 (1)G(j22 12)()(sG22TssTKsXsXrC4、振蕩環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2） 頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性2222)2()1 (log20)L(TT奈氏圖奈氏圖BodeBode圖圖22112tan)(TT2222)2()1 (2)Q(TTT2222)2()1 (1)A(TT222222)2()1 (1)P(TTT 見書見書P136P136、137137)1 ()G(jjK )1 ()()(sGsKsXsXrC1tan)(5、微分環(huán)節(jié)（以一階微分為例）1）傳

16、遞函數(shù)2） 頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性2)(1)A( KK)P(K)Q(2)(1log02)L(K奈氏圖奈氏圖BodeBode圖圖sincos)G(jjej srCesXsX)()(sG-)(6、延遲環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2） 頻率特性實頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對數(shù)幅頻特性1)A(cos)P(in-)Q(s01log02)L(奈氏圖奈氏圖5.3 系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性的繪制及奈氏判據(jù)開環(huán)幅相頻率特性的繪制及奈氏判據(jù)5.3.1 開環(huán)幅相頻率特性（奈氏圖）的繪制開環(huán)幅相頻率特性（奈氏圖）的繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的一般形式為 njjvmiiKTjjjKjG11)1 (

17、)()1 ()(開環(huán)系統(tǒng)的幅頻、相頻特性表示為：vnjjvmiiTKA1212)(1)(1)(90tantan)(1111vTjniimi 用不同的用不同的值分別代入以上各式，就可以逐點描繪系統(tǒng)的值分別代入以上各式，就可以逐點描繪系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性。開環(huán)幅相特性?？捎脧?fù)數(shù)運算求得它的實頻和虛頻特性?？捎脧?fù)數(shù)運算求得它的實頻和虛頻特性。,繪制開環(huán)奈氏圖的基本步驟：1、確定開環(huán)極坐標曲線的起點( )；2、確定開環(huán)極坐標曲線的終點( )； 03、確定開環(huán)極坐標曲線與負虛軸與負實軸的交點；4、分析開環(huán)極坐標曲線的變化范圍及特點；5、綜上，概略地繪出系統(tǒng)的開環(huán)極坐標曲線。00)0()( ,)()(A)0

18、(0KjGv，型系統(tǒng)1、起點：起點與系統(tǒng)的類型有關(guān)，即與系統(tǒng)的積分個數(shù)有關(guān)。2)(,)(, 022180)(,)(, 22190)(,)()( 1vAvAvAv，型系統(tǒng)結(jié)論：結(jié)論：若系統(tǒng)有若系統(tǒng)有v v個積分環(huán)節(jié)，則開環(huán)幅相特性開始于相位個積分環(huán)節(jié)，則開環(huán)幅相特性開始于相位為為 ，幅值為，幅值為 的地方。的地方。 2v注意：注意：實際的起點可能在坐標軸的任意一邊，這要用求漸近實際的起點可能在坐標軸的任意一邊，這要用求漸近線的方法來確定。線的方法來確定。 即特性總是以順時針方向趨即特性總是以順時針方向趨于原點，并以于原點，并以 的角度終的角度終止于原點，如下圖所示。止于原點，如下圖所示。 0,1

19、1njjmiiTKAmn0)(,Amn2)(2)()(mnnm 2、終點：一般實際系統(tǒng) 2mn3 3、幅相特性與負實軸和虛軸的交點。、幅相特性與負實軸和虛軸的交點。特性與虛軸的交點的頻率由下式求出特性與虛軸的交點的頻率由下式求出 特性與負實軸的交點的頻率由下式求出特性與負實軸的交點的頻率由下式求出 如果在傳遞函數(shù)的分子中沒有時間常數(shù)，則當(dāng)如果在傳遞函數(shù)的分子中沒有時間常數(shù)，則當(dāng)由由0 0增大增大到到過程中，特性的相位角連續(xù)減小，特性平滑地變化。如過程中，特性的相位角連續(xù)減小，特性平滑地變化。如果在分子中有時間常數(shù)，則視這些時間常數(shù)的數(shù)值大小不同，果在分子中有時間常數(shù)，則視這些時間常數(shù)的數(shù)值大小

20、不同，特性的相位角可能不是以同一方向連續(xù)地變化，這時，特性特性的相位角可能不是以同一方向連續(xù)地變化，這時，特性可能出現(xiàn)凹部?？赡艹霈F(xiàn)凹部。 0)()(ImQjGK0)()(RePjGK例例5-1 5-1 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ， ) 11 . 0)(1(10)(sssG試繪出系統(tǒng)的極坐標圖。試繪出系統(tǒng)的極坐標圖。解：解：)1 . 01)(1 (10)(jjjG分母有理化并整理得)01. 01)(1 (11)01. 01)(1 ()1 . 01 (10)(22222jjG實頻特性2201. 01110)(A1 . 0tantan)(11虛頻特性幅頻

21、特性相頻特性)01. 01)(1 ()1 . 01 (10)(222P)01. 01)(1 (11)(22Q1、起點當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， ， 。010)0(P0)0(Q10)0(A0)0(2、終點當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， ， 。0)(P0)(Q0)(A180)(3、與虛軸的交點令令 ，0)(P01 . 012即即 ，得得 ，13. 2101)(Q9 . 1)(1Q取取 時的若干點，結(jié)果如下表所示：時的若干點，結(jié)果如下表所示： 00136104.40.101.600-5.4-3.0-1.9-1.10)(Q)(P代入代入 中得中得10在在G（s）平面上繪出極坐標圖如下圖所示：）平面上繪出極坐標圖如

22、下圖所示：例例5-2 5-2 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ， )1 . 01)(1 (10)()(sssHsG系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線。系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線。 試繪出試繪出解：解：分母有理化并整理得實頻特性虛頻特性)1 . 01)(1 (10)()(jjjHjG)1 . 01)(1 (1 . 110)1 . 01)(1 ()1 . 01 (10 )()(2222222jjHjG)1 . 01)(1 ()1 . 01 (10 )(22222P)1 . 01)(1 (1 . 110 )(22jQ1、起點當(dāng)當(dāng) 時，時， ， 。010)0(P0)0(Q2、終點當(dāng)當(dāng) 時，時， ， 。0)(P0

23、)(Q3、與負虛軸的交點令令 ，0)(P得得 ，代入，代入 中得中得101)(Q87. 2)(1Q在在G(s)平面上繪出開環(huán)奈氏曲線如下圖所示：平面上繪出開環(huán)奈氏曲線如下圖所示： 例例5-3 5-3 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 , ,試繪出試繪出開環(huán)奈氏曲線。開環(huán)奈氏曲線。)1)(1 ()(21sTsTsKsG 解：解：)1)(1 ()(21TjTjjKjG)1)(1 ()()(22221221TTTTKP)1)(1 ()1 ()(222212221TTTTKQ22221211)(TTKA2111tantan90)(TT經(jīng)分母有理化可得經(jīng)分母有理化可得 幅頻特性和相頻特性為幅

24、頻特性和相頻特性為這是這是型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。 解解: : 1、起點、起點 當(dāng)當(dāng) 0時，可計算出時，可計算出 ， ， ,顯然當(dāng)顯然當(dāng)0時，時，G(j) 的漸近線是一條過實軸上的漸近線是一條過實軸上 點，且平行于虛軸點，且平行于虛軸的直線，即幅相曲線起始于負虛軸方向的無窮遠處，它的漸近線是的直線，即幅相曲線起始于負虛軸方向的無窮遠處，它的漸近線是)()0(21TTKP)0(A2)0(0)(P0)(Q0)(A23)(0)(Q )0(Q)(21TTK)()0(21TTKP 2. 終點終點 當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， ， 。 該系統(tǒng)該系統(tǒng) m=0，n=3 ，故特性曲線的高頻部分沿正虛軸方向趨于原點。，故特性曲

25、線的高頻部分沿正虛軸方向趨于原點。 3. 幅相曲線與實軸的交點幅相曲線與實軸的交點 令令 ，可得，可得 ，將此，將此1值代入式值代入式P()表達式中，可得幅表達式中，可得幅相曲線與實軸的交點為相曲線與實軸的交點為 ，交點對應(yīng)的頻率為，交點對應(yīng)的頻率為 。 可以證明可以證明2111TT2121TTTKT211TT)(212121TTKTTTKT 開環(huán)奈氏曲線如下圖所示。開環(huán)奈氏曲線如下圖所示。s)Ts)(1T(1sK212G(s) 45例圖與虛軸的交點由此得出這時得令Nyquist )K(T)ImG(j T1 0)ReG(j )ImG(j)ReG(j)G(j -360)G(j 0|)G(j| -

26、180)G(j |)G(j| 0 Tarctanarctan-180)G(j T1T1|)G(j| )T)(1T(1)(j)G(j 21232121212222212212TTTTTKjjK0P()jQ()T(T G(s) 5512)1(1)sK(T21sTs例 -90)G(j 0| )G(j| -90)G(j | )G(j| 0)( )()( arctanarctan-90)G(j 1T1K| )G(j| )T(1)1 (T1)()G(j 2121222212222122221QTTKPTTTTTKjTTk5.3.2 Nyquist5.3.2 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù))()()()()

27、()(G(s)H(s)1 )()()()()()(s)()()()(G(s)H(s)(s)G )()()(,)()()( . 12121212121212121k2211sNsNsNsNsMsMsNsNsMsMsNsMsNsNsMsMsNsMsHsNsMsG特征多項式為閉環(huán)傳函為開環(huán)傳函為右圖所示系統(tǒng)，分別設(shè)輔助函數(shù)由此我們看到改寫為將選取輔助函數(shù) )()(F(s)F(s)()()()()()(G(s)H(s)1F(s) 11212121niiniipszssNsNsNsNsMsM(s)零點極點相同F(xiàn)(s)零點極點相同GK(s)零點極點F(s)有如下特點：有如下特點：(1)其零點和極點分別是閉

28、環(huán)和開環(huán)特征根；其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；(2)零點和極點的個數(shù)相同（均為零點和極點的個數(shù)相同（均為N個）；個）；(3)F(s)和和G(s)H(s)只差常數(shù)只差常數(shù)1，相當(dāng)于在坐標平面上平移一個單位。，相當(dāng)于在坐標平面上平移一個單位。不包圍原點表示次順時針包圍原點表示次逆時針包圍原點表示之差，與為次數(shù)包圍原點的過的圈數(shù)曲線繞其原點反時針轉(zhuǎn)平面上，一圈時，在運動以順時針方向沿當(dāng)點這種情況下的任何極點與零點。在不通過而內(nèi)平面的封閉軌線布在的全部極點與零點均分以及零點數(shù)目其中包括重極點與重的零點數(shù)目為極點數(shù)目為函數(shù)。又設(shè)為單值連續(xù)平面的有限個奇點外除在是復(fù)變量的多項式之比設(shè)、幅角原理FRR

29、FRFsFsFssFssFsFZsFPssFsss 0 0R 0RZ-PR ZPR)()()( ,)( ,)( ), ()(,)(,)( 2的相位角變化。即向量復(fù)數(shù)路線變動時的按圖表示這里的變化的相位角了這個變化造成回到點點出發(fā)沿它從的變化也相應(yīng)這樣變化時回到原來的位置。當(dāng)一圈順時針轉(zhuǎn)繞從這點移動使上選擇點在有關(guān)幅角定理的說明)(,(a)s)iz-(s )np-(s-)1p-(s-)nz-(s)1z-(sF(s) )np-(s)1p-(s)nz-(s)1z-k(sF(s) )()(,B,F(s), :ssizssFsFBFsizsAFReImF(s)B(b)jwSA.ZiSA.Zis(a)2)

30、2(0)jp-(s0F(s)OF(s)F(s)kpF(s)AssOBF(s)F(s)F(s)ss2)z-(sF(s) )iz(i反時針轉(zhuǎn)一圈。曲線繞其原點平面上，順時針轉(zhuǎn)一圈時，在的某個極點開始，繞著平面從同理，當(dāng)方向轉(zhuǎn)過一圈。順時針點繞其原點平面上從曲線在一圈時，的零點順時針轉(zhuǎn)平面上繞點在說明：當(dāng)任一零。故外，右端其余各項均為上式中，除sFReImF(s)B(b)jwSA.ZiSA.Zis(a) (3)(2),(1),r(3),-(2)(1), sF(s)ZPssssrs 3面。段就封閉了整個右半平因此的趨于無窮大的圓弧組成段由半徑虛軸組成的整個到兩段是由右圖中。平面的極點數(shù)和零點數(shù)位于就分

31、別表示輔助函數(shù)和幅角原理表達式中的也叫奈氏路徑。平面。這樣的封閉曲線右半個就擴大為包括虛軸的整，那么取為封閉曲線為無窮大的右半圓平面虛軸和半徑如果把穩(wěn)定判據(jù)、Nyquist到平面的象。平面虛軸無窮遠點映射的象是原點，這恰好是平面映射到通過為無窮的半圓取值時，沿最高次冪，當(dāng)最高次冪總大于分子的，開環(huán)傳遞函數(shù)分母的此外，由于物理系統(tǒng)中。）點反時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，曲線繞（就是開環(huán)傳遞函數(shù)的圈數(shù)曲線繞原點反時針轉(zhuǎn)過的第三個特點，鑒于輔助函數(shù)s(s)KG(s)KGrs0 j1(s)KGRF(s)F(s) 點。不包圍時變到本從當(dāng)?shù)拈_環(huán)頻率響應(yīng)平面上條件為則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要即平面左半部的全部極點均分布在若半部

32、的極點數(shù)目平面右位于為開環(huán)傳遞函數(shù)其中次包圍按逆時針方向時變到本從當(dāng)頻率響應(yīng)平面上的開環(huán)件是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條)0, 1(, ),)H(jG(j )H(jG(j :0,P,sG(s)H(s) .sG(s)H(s),)0, 1(,),)H(jG(j)H(jG(j: jPPj奈氏判據(jù)：奈氏判據(jù)： 反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時針包圍臨界反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時針包圍臨界點點(-1,j0)的圈數(shù)的圈數(shù)R等于開環(huán)傳遞函數(shù)在右半等于開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點數(shù)平面的極點數(shù)P，即，即NP，Z0；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Z0，存在閉環(huán)正實部的，存在閉環(huán)正實部

33、的特征根，閉環(huán)正實部特征根的個數(shù)特征根，閉環(huán)正實部特征根的個數(shù)Z可按下式確定可按下式確定 ZPR例例5-65-6 已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點均在已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點均在s平面的左半平面，平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定開環(huán)頻率特性極坐標圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。性。 解解: 系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0。 從圖中看到：由-+變化時，G(j) H(j)曲線不包圍(-1，j0)點，即R=0，Z=P-R=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例例5-8 5-8 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 沒有極點位于右半s平面，P=0。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。0, 00,)1)(1 ()(

34、2121TTKsTsTKsGK，)1)(1 ()1 ()(222212212TTTTKP)1)(1 ()()(22221221TTTTKQ解：解： 實頻特性實頻特性 虛頻特性虛頻特性 開環(huán)系統(tǒng)右半開環(huán)系統(tǒng)右半 s 平面的極點數(shù)為平面的極點數(shù)為0。當(dāng)。當(dāng)從從 時，奈氏曲時，奈氏曲線不包圍線不包圍(1， 0 )點，即點，即 R 0。 Z P R000，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，在右半，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，在右半 s 平面沒有根。平面沒有根。0)0(,)0(0QKP時，當(dāng)0)(, 0)(QP時，當(dāng)。概略繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的極坐標如右圖所示。概略繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的極坐標如右圖所示。與負虛軸的交點：令與負虛軸的

35、交點：令P ()=0，可解得，可解得 。代入。代入Q()中可解得中可解得211TT2121)(TTTTKQ例例5-9 5-9 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 沒有極點位于右半s平面，P=0。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。值較大，且K0,)1)(1 ()(21KsTsTsKsGK)1)(1 ()()(22221221TTTTKP)1)(1 ()1 ()(222212212TTTTKQ 實頻特性實頻特性 虛頻特性虛頻特性 開環(huán)系統(tǒng)右半開環(huán)系統(tǒng)右半 s 平面的極點數(shù)為平面的極點數(shù)為0。當(dāng)。當(dāng)從從 時，奈氏曲線以時，奈氏曲線以順時針包圍順時針包圍(1， 0 )點點2圈，即圈，即 N 2。 Z P N0(2)2，Z0 ，

36、故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，在右半，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，在右半 s 平面有平面有2個根。個根。)0(),()0(021QTTKP時，當(dāng)0)(, 0)(QP時，當(dāng)解：解：。概略繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的極坐標如右圖所示。概略繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的極坐標如右圖所示。與負實軸的交點：令與負實軸的交點：令Q ()=0，可解得，可解得 。代入。代入P()中可解得中可解得211TT)()(21TTKP由奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種簡易方法 用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，一般只需繪制用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，一般只需繪制從從0到到 時的開環(huán)幅相曲線，再加上正實軸后形成封閉曲線，然時的開環(huán)幅相曲線，再加上正實軸后

37、形成封閉曲線，然后按其包圍后按其包圍(-1,j0)點的圈數(shù)點的圈數(shù)N(反時針方向包圍時為正，順時針反時針方向包圍時為正，順時針方向包圍時為負方向包圍時為負)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)平面上的極點數(shù)P，再，再根據(jù)公式根據(jù)公式Z P 2R確定閉環(huán)特征方程在右半確定閉環(huán)特征方程在右半s平面上的根的個數(shù)。如果平面上的根的個數(shù)。如果Z0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 如果開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含如果開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含v v個積分環(huán)節(jié)，則繪制開環(huán)幅相個積分環(huán)節(jié)，則繪制開環(huán)幅相曲線后應(yīng)從曲線后應(yīng)從0 0對應(yīng)的點開始，反時針方向補畫對應(yīng)的點開

38、始，反時針方向補畫v/4v/4個半徑為個半徑為無窮大的圓。但圓隨無窮大的圓。但圓隨增大的方向是順時針的增大的方向是順時針的。例例5-10 5-10 設(shè)型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖(a)所示，開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由于系統(tǒng)是由于系統(tǒng)是型系統(tǒng)，需要從幅相曲線型系統(tǒng)，需要從幅相曲線0 對應(yīng)的點反時針補對應(yīng)的點反時針補畫畫1/4個半徑趨于無窮大的圓，如下圖個半徑趨于無窮大的圓，如下圖(b)中虛線部分。由幅相曲線看到曲線中虛線部分。由幅相曲線看到曲線沒有包圍沒有包圍(-1,j0)點，故點，故R0。又因為開環(huán)系統(tǒng)在右半又因為開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上沒有極點，即平面上沒

39、有極點，即P0，因此閉環(huán)特征方程，因此閉環(huán)特征方程位于右半位于右半s平面上的根的個數(shù)平面上的根的個數(shù) Z=P-2R=0-2Z=P-2R=0-20 00 0故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(a)型系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線型系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線(b)補畫后的補畫后的系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線例例5-11 5-11 一單位反饋一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 ,)1 ()(2TssKsGK試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：這是一個這是一個型系統(tǒng)，開環(huán)幅相型系統(tǒng)，開環(huán)幅相曲線如下圖曲線如下圖(a)(a)所示。圖中虛線是按所示。圖中虛線是按v v2 2從幅相曲線從幅相曲線0 對應(yīng)的點反時針方向?qū)?yīng)的點反

40、時針方向補畫的半徑趨于無窮的半圓。補畫的半徑趨于無窮的半圓。由幅相曲線看到，曲線順時針包圍由幅相曲線看到，曲線順時針包圍(-1,j0)點一圈，即點一圈，即R1，而開環(huán)傳遞函，而開環(huán)傳遞函數(shù)在右半數(shù)在右半s平面上的極點數(shù)為平面上的極點數(shù)為0，即，即P0，因此閉環(huán)特征方程在右半，因此閉環(huán)特征方程在右半s平面上的根平面上的根的個數(shù)的個數(shù) Z=P-2R=0-2Z=P-2R=0-2(-1)(-1)2 2故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例例5-12 5-12 系統(tǒng) ,) 12)(1(14)(2sssssGK解：繪制奈圖如下：繪制奈圖如下： P=0, R=-1, Z=P-2R=0-2P=0, R=-1,

41、 Z=P-2R=0-2（1 1）2020 系統(tǒng)一定不穩(wěn)定，并有兩個閉環(huán)極點在系統(tǒng)一定不穩(wěn)定，并有兩個閉環(huán)極點在s平面的右半部。平面的右半部。試由奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。5.4.1 Bode5.4.1 Bode圖的繪制圖的繪制例：例： 一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為求得頻率特性為求得頻率特性為221212( )20lg( )20lg20lg20lg()120lg()1( )0( 90 )arctan()arctan()LAKTTTT 5.4 5.4 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性的繪制 及對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)及對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)2121)1)(1 ()(TTsTsTsKsGK對數(shù)幅頻

42、特性具有如下特征：對數(shù)幅頻特性具有如下特征：1、對數(shù)幅頻特性是下降的，表明系統(tǒng)具有低通濾波性能；2、對數(shù)幅頻特性的漸近線的斜率都是 的整數(shù)倍，“”對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)，“+”對應(yīng)一階和二階微分環(huán)節(jié)；3、最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性與相頻特性是一一對應(yīng)，且唯一確定的；4、曲線低頻段的高度和斜率取決于比例環(huán)節(jié)K的大小和積分環(huán)節(jié)的數(shù)目 ;5、只要過(1,20lgK)做斜率為 ，即可得到低頻段的漸近線；6、轉(zhuǎn)折頻率處，漸近線的斜率發(fā)生變化，改變多少取決于典型環(huán)節(jié)的種類。decdB/20decdB/20繪制步驟：繪制步驟：1 1、將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積的形式，并將這些典型環(huán)節(jié)的、將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成

43、典型環(huán)節(jié)乘積的形式，并將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)化成如下所示的標準形式，即各典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的常數(shù)項傳遞函數(shù)化成如下所示的標準形式，即各典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的常數(shù)項為為1 1。)21()1()21()1()j (K)(jG 22112211K2121lllnljnjkkkmkimiTjTTjjj 2、確定K值、 值和各環(huán)節(jié)的交接頻率 并將交接頻率從小到大標注在角頻率軸上。lljjkkiiTT1,1,1,1 3、繪制對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線。 把0時的對數(shù)幅頻特性稱為對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線 低頻漸近線的方程為 當(dāng)1時，L(1)=20logK(dB)。由此可繪出過1，L(1)=20logK(dB) 點

44、的斜率為20dB的一條直線，即為低頻漸近線。4、以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻端開始沿頻率增大的方向，每遇到一個交接頻率改變一次分段直線的斜率 當(dāng)遇到一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率 時，斜率增加20dB/dec； 當(dāng)遇到一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率 時，斜率增加40dB/dec； 當(dāng)遇到慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率 時，斜率增加20dB/dec； 當(dāng)遇到振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率 時，斜率增加40dB/dec；log20log20)(log20)(KALikjl5、高頻漸近線，其斜率為decdBmn/)(20n為極點數(shù)，m為零點數(shù) 6、相頻特性按描點的方法繪制。 - 必要時可利用漸近線和精確曲線的誤差表, 對交接頻率附近的

45、曲線進行修正, 以求得更精確的曲線。 系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性L()通過0dB線，即 時的頻率 稱為穿越頻率。穿越頻率 是開環(huán)對數(shù)相頻特性的一個很重要的參量。 1)(或0)(ccALcc繪制開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)相頻特性時，可分環(huán)節(jié)繪出各分量繪制開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)相頻特性時，可分環(huán)節(jié)繪出各分量的對數(shù)相頻特性，然后將各分量的縱坐標相加，就可的對數(shù)相頻特性，然后將各分量的縱坐標相加，就可以得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性。以得到系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性。 - 也可以利用相頻特性函數(shù)也可以利用相頻特性函數(shù)() 直接計算。直接計算。不同類型的系統(tǒng)，低頻段的對數(shù)幅頻特性顯著不同不同類型的系統(tǒng)，低頻段的對數(shù)幅頻特性顯著不同 。5.4

46、.2 系統(tǒng)類型與開環(huán)對數(shù)頻率特性1、0型系統(tǒng)型系統(tǒng) 0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式：型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式： )1()1(K)(jG 11KjnjimiTjj 對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 這一特性的特點：這一特性的特點： 在低頻段，斜率為在低頻段，斜率為0dB/十倍頻；十倍頻； 低頻段的幅值為低頻段的幅值為20lgK，由之可以確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)，由之可以確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)K KP P。2、1型系統(tǒng) 1型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式 )1 ()()1 (K)(jG 111KjnjimiTjjTj對數(shù)幅頻特性的低頻部

47、分對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示如下圖所示 這一特性的特點：這一特性的特點： 在低頻段的漸進線斜率為在低頻段的漸進線斜率為-20dB/-20dB/十倍頻；十倍頻； 低頻漸進線（或其延長線）與低頻漸進線（或其延長線）與0 0分貝的交點為分貝的交點為c c=K=K，由之可以確定，由之可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)k kv v= = K K ； 低頻漸進線（或其延長線）在低頻漸進線（或其延長線）在=1=1時的幅值為時的幅值為2 20lgKdB。3、2型系統(tǒng) 2型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式 )1()()1(K)(jG 2121KjnjimiTjj

48、Tj 對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示對數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示 這一特性的特點：這一特性的特點： 低頻漸進線的斜率為低頻漸進線的斜率為-40dB/-40dB/十倍頻；十倍頻； 低頻漸進線（或其延長線）與低頻漸進線（或其延長線）與0 0分貝的交點為分貝的交點為 ，由，由之可以確定加速度誤差系數(shù)之可以確定加速度誤差系數(shù) ； 低頻漸進線（或其延長線）在低頻漸進線（或其延長線）在=1=1時的幅值為時的幅值為2 20lgKdB。KcKka例例5-14 5-14 繪制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)Bode圖。)20)(1()2(100)(sssssGK解：解：2 2、K K1010，1 1，交接頻率，

49、交接頻率 。, 25 . 0123、低頻漸近線的斜率為20dB/dec=-20dB/dec。 當(dāng)1時，L()=20logK20dB。即低頻漸近線的斜率為-20，且過點(1，20)。 當(dāng)1時，斜率變?yōu)?0dB/dec； 當(dāng)2時，斜率變?yōu)?0dB/dec；1 1、將G(s)中的各因式寫成典型環(huán)節(jié)的標準形式，即)05. 01)(1 ()5 . 01 (10)(sssssG, 11.2005. 013 當(dāng)20時，斜率變?yōu)?0dB/dec；4、時，對數(shù)頻率特性的高頻漸近線的斜率為 (n-m) 20 dB/dec 40dB/dec。 05. 0tantan5 . 0tan90)(1110 0時，時， (0

50、)=-90(0)=-90； 時，時，()=180則控制系統(tǒng)的Bode圖如下圖所示： 例例5-15 5-15 設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為 試繪制用分段直線表示的對數(shù)幅頻特性。試繪制用分段直線表示的對數(shù)幅頻特性。)05. 01)(125. 01)(101 ()()1001 (10)(223jjjjjjGK1. K 10，v 2，各個環(huán)節(jié)的交接頻率:1=1/100=0.01， 2=1/10=0.1， 3=1/0.125=8， 4=1/0.05=20 。 解：解： 2. 低頻漸近線的斜率為 20 v dB/dec 40dB/dec 。 當(dāng)1時，低頻漸近線的坐標，L (1)20 log

51、 103 60dB，即低頻漸近線過點(1，60)。 3. 當(dāng) =1=0.01時，斜率變化為 0 dB/dec； 當(dāng) =2=0.1時，斜率變化為20 dB/dec ； 當(dāng) =3= 8時，斜率變化為40 dB/dec； 當(dāng) =4=20時，斜率變化為60dB/dec 。 這五段直線 即是系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性。4. 由于最小的交接頻率由于最小的交接頻率0.01，分段直線近似表示的第一段，分段直線近似表示的第一段只包括只包括0.01那一部分的低頻漸近線。所以，當(dāng)那一部分的低頻漸近線。所以，當(dāng) 1時，分時，分段直線的縱坐標值不等于段直線的縱坐標值不等于20 logK(但其延長線的縱坐標值在但其延長線的縱

52、坐標值在 1時等于時等于20 log K) 。5. 時，對數(shù)頻率特性的高頻漸近線的斜率為時，對數(shù)頻率特性的高頻漸近線的斜率為 (n-m) 20 dB/dec 60dB/dec。 近似對數(shù)幅頻特性如圖所示。近似對數(shù)幅頻特性如圖所示。1、最小相位傳遞函數(shù)2、非最小相位傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)既無極點也無零點的傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)有極點和（或）零點的傳遞函數(shù)3、最小相位系統(tǒng)4、非最小相位系統(tǒng)具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)5.4.3 最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例如例如:最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的傳遞函

53、數(shù)分別為1111)(sTsTsG1211)(sTsTsG式中式中 .10TT 1111)(TjTjjG1211)(TjTjjG則則二者的零二者的零-極點分布如下圖所示。極點分布如下圖所示。jT111T11TjT1兩者幅頻特性相同兩者幅頻特性相同212222111)()(TjTjjGjG而相頻特性卻不同，且而相頻特性卻不同，且0)()(21jGjG參見下圖參見下圖.Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-20-15-10-5010-210-1100101102-180-135-90-450非最小相位系統(tǒng) 最小相位系統(tǒng) 相同

54、的幅值特性在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍 最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間具有唯一的對應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅頻曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相頻曲線被唯一確定這個結(jié)論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。 反之亦然 表5-1 最小相位系統(tǒng)幅頻、相頻對應(yīng)關(guān)系j19001800Tj112)(122TjjT)90(0m1jniijT1) 1(1900 )90(0nmiij1) 1(19090環(huán) 節(jié)幅 頻相 頻-20dB/dec-20dB/dec0dB/dec-20

55、dB/dec0dB/dec-40dB/dec0dB/dec20dB/dec0dB/decn(-20)dB/dec0dB/decm(+20)dB/dec 根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸進曲線確定最小相位系統(tǒng)的開根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸進曲線確定最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的基本步驟：環(huán)傳遞函數(shù)的基本步驟：1 1、確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)、確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分或微分環(huán)節(jié)的個數(shù)和開環(huán)放大倍數(shù)和開環(huán)放大倍數(shù)K K。 特性低頻段的斜率為-20dB/dec，低頻段或其延長線在=1 時對應(yīng)的對數(shù)幅值L()=20lgK。 2 2、確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式。、確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式

56、。 從低頻到高頻對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率變化和轉(zhuǎn)折頻率的大小為所含環(huán)節(jié)的類型和參數(shù)(斜率變化-20dB/dec，對應(yīng)慣性環(huán)節(jié)；斜率變化-40dB/dec對應(yīng)二階振蕩環(huán)節(jié)；斜率變化20dB/dec，對應(yīng)比例微分環(huán)節(jié)；斜率變化40dB/dec對應(yīng)二階微分環(huán)節(jié)。轉(zhuǎn)折頻率的倒數(shù)即為時間常數(shù))。 3 3、由給定條件確定傳遞函數(shù)的參數(shù)。、由給定條件確定傳遞函數(shù)的參數(shù)。 例例5-17 5-17 已知開環(huán)系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻曲線如圖所示。試寫出該系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)H(s)。解：(1)曲線的低頻段的漸近線的斜率為0 ，故由特性斜率=-20v=0知，v=0,系統(tǒng)不含一個積分環(huán)節(jié)，為0型系統(tǒng)。 又為1時最左端直線的

57、縱坐標為20dB，由式 (2)轉(zhuǎn)折頻率：從圖中可見各轉(zhuǎn)折頻率為 1=1， 2=2， 3=4， 4=10， 當(dāng)= 1=1 時，近似特性從0變?yōu)?0dB/dec，故1是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。 當(dāng)= 2=2時，近似特性從20dB/dec變?yōu)?0dB/dec，故2也是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。20lg20K可求得比例環(huán)節(jié)K10。 當(dāng)= 3=4時，近似特性從40dB/dec變?yōu)?0dB/dec，故4是一階微分環(huán)節(jié)交接頻率。 當(dāng)= 4=10時，近似特性從20dB/dec變?yōu)?0dB/dec，故10也是慣性環(huán)節(jié)交接頻率。 綜上可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)1101)(121)(1()141(10)()(sssssHsG

58、) 11 . 0)(15 . 0)(1() 125. 0(10ssss 例例5-18 5-18 已知某最小相位系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)H(s)。解：(1)曲線的低頻段的漸近線的斜率為-20 ，故由特性斜率=-20v=-20知，v=1,系統(tǒng)含積分環(huán)節(jié)，為型系統(tǒng)。 (2)轉(zhuǎn)折頻率：從圖中可見各轉(zhuǎn)折頻率為 當(dāng)= 1=5 時，近似特性從-20變?yōu)?0dB/dec，故5是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。 當(dāng)= 2=10時，近似特性從40dB/dec變?yōu)?0dB/dec，故10是比例微分環(huán)節(jié)的交接頻率。 當(dāng)= 3=120時，近似特性又從20dB/dec變?yōu)?0dB/dec，故120

59、也是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。1=5， 2=10， 3=120。 綜上可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為)11)(11()11()()(312ssssKsHsG1)(cjG 且對數(shù)頻率特性在 時穿越零分貝線，即 ，精確求得K=106.4，近似取K=100。)10083.0)(12 .0()11 .0(100)11201)(151()1101(100)()(sssssssssHsG50c故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為。正穿越次數(shù)記為穿越故稱正將產(chǎn)生正的增量伴隨這種穿越的相移因為線段一次的必從上而下穿越負實軸則一周方向包圍開環(huán)頻率響應(yīng)按逆時針正穿越正負穿越的定義線圖的相頻特性的對應(yīng)圖的負實軸橫軸以上區(qū)域?qū)?yīng)單位圓外圖的橫軸對

60、應(yīng)圖的單位圓圖的對應(yīng)關(guān)系圖與N,)H(jG(j ,)(-1,-)H(jG(j,j0)(-1,: 2. Bode -180)H(jG(j Nyquist c. 0 )20lgA(| )( 1| )H(jG(j| b. 0 )20lgA(| )( Bode 1 )A(| )H(jG(j| Nyquist a. Nyquist1.Bode LL 5.4.4 5.4.4 對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)線從上而下穿越頻段上圖在對應(yīng)。負穿越的次數(shù)記為上的負穿越線段上產(chǎn)生一次從下而在則點一周方向包圍開環(huán)頻率響應(yīng)按順時針負穿越線從下而上穿越頻段上圖在對應(yīng) )H(jG(j , 0| )H(jG(j|20lgB