機(jī)械設(shè)計方法 第01章_優(yōu)化設(shè)計概述 南京理工大學(xué)

1、第一節(jié)第一節(jié) 人字架的優(yōu)化設(shè)計人字架的優(yōu)化設(shè)計已知人字架的受力、結(jié)構(gòu)和性能尺寸：已知人字架的受力、結(jié)構(gòu)和性能尺寸：NF51032cm1522Bcm25. 0MPa101 . 25E33kg/m108 . 7許用壓應(yīng)力：許用壓應(yīng)力：MPa420y一、問題一、問題求：求：在鋼管壓力不超過許用壓力和失穩(wěn)臨界壓力的條件下的在鋼管壓力不超過許用壓力和失穩(wěn)臨界壓力的條件下的人人字架高度字架高度h h和和鋼管平均直徑鋼管平均直徑D D，使鋼管總質(zhì)量最小，使鋼管總質(zhì)量最小 鋼管受壓力（二力桿）：鋼管受壓力（二力桿）：hhBFhBhFFF22221/cos/鋼管所受壓應(yīng)力：鋼管所受壓應(yīng)力： DhhBFrRhhB

2、FAF/)(/2222221二、強(qiáng)度、穩(wěn)定條件二、強(qiáng)度、穩(wěn)定條件強(qiáng)度約束條件：強(qiáng)度約束條件： y穩(wěn)定約束條件：穩(wěn)定約束條件： 三、解析法三、解析法 22222hBEILEIFe)()(22222hBDEAFee)( ),()(4222244rRADArRI總質(zhì)量：總質(zhì)量： 2/122)(2),(hBDhDm壓桿失穩(wěn)時臨界力：壓桿失穩(wěn)時臨界力： 假定使人字架總質(zhì)量為最小的最優(yōu)解滿足強(qiáng)度條件，即假定使人字架總質(zhì)量為最小的最優(yōu)解滿足強(qiáng)度條件，即: : ?yDhhBFhD22),(可以換算出來：可以換算出來： 代入代入m(D,h)m(D,h)得到：得到： 根據(jù)高數(shù)知識求一元函數(shù)根據(jù)高數(shù)知識求一元函數(shù)m

3、(h)m(h)的極值：的極值： 可以得到：可以得到： hhBFhfDy/)()(2/122hhBFhmy222)(0dhdmcm43. 62*yFDcm762152* Bhkg47. 8/4* yFBm代入穩(wěn)定性條件演算，可得滿足條件：代入穩(wěn)定性條件演算，可得滿足條件： ehD*)*,(最優(yōu)方案確定！最優(yōu)方案確定！ 四、作圖法四、作圖法 設(shè)計平面設(shè)計平面D-hD-h上上 滿足條件：滿足條件：yhD),(和和ehD),(可行域可行域不滿足上述條件不滿足上述條件, ,即：即：yhD),(ehD),(不不可行域可行域m(D,h)=cm(D,h)=c （一系列常數(shù)）（一系列常數(shù)） 質(zhì)量等值線質(zhì)量等值線

4、（可行域內(nèi)無中心點）（可行域內(nèi)無中心點） TThDXcm76,cm43. 6,*可行域邊界與等可行域邊界與等值線值線 切點處切點處 yhD),(為起作用約束為起作用約束 m*=8.47kgcm43. 6*Dcm76*h若將許用應(yīng)力若將許用應(yīng)力 由由420420提高到提高到703Mpa703Mpa，可行域變化，可行域變化 （虛線（虛線強(qiáng)度曲線）強(qiáng)度曲線） y解析法得到解析法得到:TThDxcm76,cm84. 3,*1等值線與強(qiáng)度曲等值線與強(qiáng)度曲線的交點，線的交點，但不是最但不是最優(yōu)解優(yōu)解 （不滿足穩(wěn)定約（不滿足穩(wěn)定約束條件）束條件）實際最優(yōu)點實際最優(yōu)點TThDxcm513,cm75. 4,*1

5、（兩約束交點處）（兩約束交點處） kg45. 5*1m（過（過x x1 1點的等值線）點的等值線） 五、討論五、討論1.1.等值線在可行域內(nèi)中心點等值線在可行域內(nèi)中心點 約束不起作用（無約束問題）約束不起作用（無約束問題）2 2可行域邊界與等值線切點處可行域邊界與等值線切點處 一個起作用約束一個起作用約束3 3多個約束交點處多個約束交點處 多個起作用約束多個起作用約束 最優(yōu)點的三種情況最優(yōu)點的三種情況 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計機(jī)械優(yōu)化設(shè)計 首先要求將設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化設(shè)計的首先要求將設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 優(yōu)化方法優(yōu)化方法 求解優(yōu)化問題得到設(shè)計結(jié)果求解優(yōu)化問題得到設(shè)計結(jié)果 小結(jié)：小結(jié)：設(shè)

6、計問題設(shè)計問題 利用力學(xué)、機(jī)械或其它專業(yè)知識利用力學(xué)、機(jī)械或其它專業(yè)知識優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型: :1.1.目標(biāo)函數(shù)與各設(shè)計參數(shù)的關(guān)系（方程組）目標(biāo)函數(shù)與各設(shè)計參數(shù)的關(guān)系（方程組）2.2.約束條件與各設(shè)計參數(shù)的關(guān)系（等式或不等式）約束條件與各設(shè)計參數(shù)的關(guān)系（等式或不等式）機(jī)械優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)建立模型的三個基本要素：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)建立模型的三個基本要素： 設(shè)計變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)設(shè)計變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)注意注意： 設(shè)計變量之間必須相互獨立。設(shè)計變量之間必須相互獨立。 設(shè)計常量和設(shè)計變量不是一成不變。設(shè)計常量和設(shè)計變量不是一成不變。第二節(jié)第二節(jié) 優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計問題的

7、數(shù)學(xué)模型設(shè)計常量：可根據(jù)工藝、安裝和使用要求預(yù)設(shè)計常量：可根據(jù)工藝、安裝和使用要求預(yù)先知道先知道設(shè)計變量設(shè)計變量：在設(shè)計過程中選擇：在設(shè)計過程中選擇基本參數(shù)基本參數(shù)一、設(shè)計變量一、設(shè)計變量 機(jī)械設(shè)計的一個方案中包括很多基本參數(shù)：對設(shè)計性機(jī)械設(shè)計的一個方案中包括很多基本參數(shù)：對設(shè)計性能指標(biāo)好壞有影響的量。能指標(biāo)好壞有影響的量。最優(yōu)化問題中，設(shè)計變量的數(shù)目被稱為該優(yōu)化最優(yōu)化問題中，設(shè)計變量的數(shù)目被稱為該優(yōu)化問題的維數(shù)問題的維數(shù) n n維優(yōu)化問題：維優(yōu)化問題： nxxxx,.,321可表示為一個列向量可表示為一個列向量Tnnxxxxxxx,.,.2121 x 稱為設(shè)計向量稱為設(shè)計向量每個設(shè)計向量代表

8、一個設(shè)計方案。每個設(shè)計向量代表一個設(shè)計方案。 1 1設(shè)計變量的形式、維數(shù)設(shè)計變量的形式、維數(shù) 2 2設(shè)計空間設(shè)計空間 ixn n維向量維向量X X 的第的第i i個分量個分量 nR 以以n n個設(shè)計變量為坐標(biāo)軸組成的實空間稱為個設(shè)計變量為坐標(biāo)軸組成的實空間稱為n n維設(shè)計維設(shè)計空間或稱空間或稱n n維歐氏空間維歐氏空間 nRx 設(shè)計空間中的任一個設(shè)計方案視為從設(shè)計空間原點出設(shè)計空間中的任一個設(shè)計方案視為從設(shè)計空間原點出發(fā)的一個設(shè)計向量發(fā)的一個設(shè)計向量)(kx 例：例：321xxxx 設(shè)計空間：是所有設(shè)計方案的集合設(shè)計空間：是所有設(shè)計方案的集合3 3變量的類型和取值范圍變量的類型和取值范圍 連續(xù)

9、變量連續(xù)變量離散變量：如模數(shù)、板厚、鋼絲直徑離散變量：如模數(shù)、板厚、鋼絲直徑1 1專用離散變量優(yōu)化方法，或整數(shù)規(guī)劃法專用離散變量優(yōu)化方法，或整數(shù)規(guī)劃法2 2按連續(xù)變量處理，得到結(jié)果后再取整按連續(xù)變量處理，得到結(jié)果后再取整3. 3. 窮舉法（有限個離散變量時）窮舉法（有限個離散變量時） 變量的類型變量的類型 變量的取值：變量的取值：離散變量離散變量的處理的處理ibixiaiaib為變量取值的上下限，一般根據(jù)經(jīng)驗得出，為變量取值的上下限，一般根據(jù)經(jīng)驗得出，變量的上下限在優(yōu)化中，一般作為約束條件處理。變量的上下限在優(yōu)化中，一般作為約束條件處理。 二、約束條件二、約束條件 一個可行的設(shè)計方案須滿足的某

10、些設(shè)計條件一個可行的設(shè)計方案須滿足的某些設(shè)計條件無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題 約束最優(yōu)化問題約束最優(yōu)化問題1 1設(shè)計約束種類設(shè)計約束種類 按表達(dá)式分：按表達(dá)式分： 優(yōu)化問題優(yōu)化問題工程問題都為約束優(yōu)化問題工程問題都為約束優(yōu)化問題a) a) 不等式約束：不等式約束：m),1,2,(u 0),.,()(21nuuxxxggx 或或 m),1,2,(u 0),.,()(21nuuxxxggxb) b) 等式約束：等式約束： n)p,1,2,(k 0),.,()(21nkkxxxhhx約束條件形式的轉(zhuǎn)化：約束條件形式的轉(zhuǎn)化：0)(xug可寫成可寫成0)(xug 0)(xkh可寫成可寫成0)(xkh

11、和和0)(xkh 0)(0)(21iiiiiiibxgxagbxaxx性能約束性能約束按設(shè)計性能或指標(biāo)要求推導(dǎo)按設(shè)計性能或指標(biāo)要求推導(dǎo)出的約束出的約束邊界約束邊界約束即設(shè)計變量上、下限的約束即設(shè)計變量上、下限的約束顯約束：設(shè)計變量間具有明確的函數(shù)關(guān)系顯約束：設(shè)計變量間具有明確的函數(shù)關(guān)系隱約束：不能用設(shè)計變量間的顯函數(shù)來表隱約束：不能用設(shè)計變量間的顯函數(shù)來表示的約束示的約束 按性質(zhì)分按性質(zhì)分如：按能否直按能否直接表達(dá)接表達(dá) 不等式約束要求設(shè)計點在設(shè)計空間中約束曲面不等式約束要求設(shè)計點在設(shè)計空間中約束曲面0)(xg等式約束要求設(shè)計點在設(shè)計空間中約束曲面等式約束要求設(shè)計點在設(shè)計空間中約束曲面0)(x

12、h約束是對設(shè)計點在設(shè)計空間活動范圍的限制約束是對設(shè)計點在設(shè)計空間活動范圍的限制 2 2可行設(shè)計區(qū)域和非可行設(shè)計區(qū)域可行設(shè)計區(qū)域和非可行設(shè)計區(qū)域的一側(cè)（包括曲面）的一側(cè)（包括曲面）上不等式約束和等式約束方程都在設(shè)計空間中形成不等式約束和等式約束方程都在設(shè)計空間中形成一個超曲面一個超曲面),.,2 , 1( 0)(mugDuxxa) a) 可行域與非可行域可行域與非可行域 或或 ),.,2 , 1( , 0)(h), 2 , 1( , 0)(knpkxmugDuLxx凡不滿足其中任一約束條件的設(shè)計變量區(qū)域稱為非可行域凡不滿足其中任一約束條件的設(shè)計變量區(qū)域稱為非可行域內(nèi)點內(nèi)點：如：如Dk)(x且滿足

13、且滿足 ), 2 , 1( 0)()(mugkux 則則)(kx點稱為內(nèi)點或可行設(shè)計方案。點稱為內(nèi)點或可行設(shè)計方案。 凡滿足不等式和等式約束方程的設(shè)計點活動區(qū)域稱為凡滿足不等式和等式約束方程的設(shè)計點活動區(qū)域稱為 可行域，記為：可行域，記為：b) b) 內(nèi)點、外點與邊界點內(nèi)點、外點與邊界點Dkint)(x-內(nèi)點的集合稱為內(nèi)集內(nèi)點的集合稱為內(nèi)集 邊界點邊界點：Dl)(x且至少有一個約束且至少有一個約束u（mu 1），使0)()(lugx，)(lx為邊界點，第u個約束為起作用約束。 數(shù)學(xué)符號表示：邊界記為數(shù)學(xué)符號表示：邊界記為: :)(roundDD邊界點邊界點: : Dxl)(外點外點：除了內(nèi)點與

14、邊界點以外的點（即不在可行區(qū)域：除了內(nèi)點與邊界點以外的點（即不在可行區(qū)域內(nèi)的設(shè)計點）內(nèi)的設(shè)計點） 0)()(lugx，)(lx為邊界點，第u個約束為起作用約束。 注意：注意：1 1）約束優(yōu)化問題一般最優(yōu)點常常為約束區(qū)域的）約束優(yōu)化問題一般最優(yōu)點常常為約束區(qū)域的邊界點，如可行點在可行域內(nèi)，則所有約束邊界點，如可行點在可行域內(nèi)，則所有約束條件均不起作用，則可能存在兩種情況：條件均不起作用，則可能存在兩種情況： 約束條件不完善約束條件不完善 所得可能非真正的最優(yōu)點。所得可能非真正的最優(yōu)點。 2 2）理論上每一個等式約束條件可消去一個設(shè)計）理論上每一個等式約束條件可消去一個設(shè)計變量，即可減少優(yōu)化設(shè)計問

15、題的維數(shù)，但一變量，即可減少優(yōu)化設(shè)計問題的維數(shù)，但一般復(fù)雜隱函數(shù)的消元過程很難實現(xiàn)。般復(fù)雜隱函數(shù)的消元過程很難實現(xiàn)。 將某項設(shè)計所需求的目標(biāo)表示成設(shè)計變量的數(shù)學(xué)函數(shù)將某項設(shè)計所需求的目標(biāo)表示成設(shè)計變量的數(shù)學(xué)函數(shù)這種函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)或評價函數(shù)，記這種函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)或評價函數(shù)，記min),.,()(21nxxxff x最優(yōu)化指目標(biāo)函數(shù)的極小化或極大化，兩者可轉(zhuǎn)換，最優(yōu)化指目標(biāo)函數(shù)的極小化或極大化，兩者可轉(zhuǎn)換，一般用極小化。一般用極小化。max),.,()(21nxxxff x 目標(biāo)函數(shù)可以是單個也可以是多個，對于多目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)可以是單個也可以是多個，對于多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，可以采用的優(yōu)化問

16、題，可以采用多目標(biāo)優(yōu)化方法或主要目標(biāo)法多目標(biāo)優(yōu)化方法或主要目標(biāo)法.nRxffD)(min)(*xx三、目標(biāo)函數(shù)三、目標(biāo)函數(shù)用于評價設(shè)計方案好壞的函數(shù)用于評價設(shè)計方案好壞的函數(shù)或或 目標(biāo)函數(shù)是目標(biāo)函數(shù)是n n維變量的函數(shù)，其函數(shù)圖像只能在維變量的函數(shù)，其函數(shù)圖像只能在n n+1+1維空間中描述出來，為在維空間中描述出來，為在n n維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。化情況，常用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。cf)(x（c c為一系列常數(shù)為一系列常數(shù)) )四、最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型四、最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象是優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象),.,2

17、 , 1(0)(),.,2 , 1(0)(:)(minnpkhmugDfkuRDnxxxxcxxf),(21代表代表21xx 平面上一簇等值線。平面上一簇等值線。 二維設(shè)計空間中二維設(shè)計空間中 一族一族n n維超曲面維超曲面或或 )p.,.1,2,(k 0)(), 2 , 1( 0)( )(minnhmuRfknxxg s.t.xxuLs.t.s.t.Subject toSubject to的縮寫，意為受約束于。的縮寫，意為受約束于。 優(yōu)化問題分類：優(yōu)化問題分類：無約束優(yōu)化問題無約束優(yōu)化問題 （即為求函數(shù)極值的問題）（即為求函數(shù)極值的問題）約束優(yōu)化問題約束優(yōu)化問題 （工程中大多數(shù)為約束優(yōu)化問題

18、）（工程中大多數(shù)為約束優(yōu)化問題） 按是否按是否存在約束存在約束 ix連續(xù)值連續(xù)值普通優(yōu)化問題普通優(yōu)化問題離散值離散值離散變量優(yōu)化或混合離離散變量優(yōu)化或混合離散變量優(yōu)化問題散變量優(yōu)化問題 整數(shù)值整數(shù)值整數(shù)規(guī)劃問題整數(shù)規(guī)劃問題隨機(jī)值隨機(jī)值隨機(jī)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃問題隨機(jī)規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃問題按變量按變量 性質(zhì)性質(zhì) )(),(),(xxxhgf 均為線性函數(shù)均為線性函數(shù) 線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃問題f f為二次函數(shù)，為二次函數(shù)，g g、h h為線性函數(shù)為線性函數(shù) 二次規(guī)劃問題二次規(guī)劃問題其余為非線性規(guī)劃問題（工程中大多數(shù)）其余為非線性規(guī)劃問題（工程中大多數(shù)） 按函數(shù)的性質(zhì)按函數(shù)的性質(zhì) n n1010小規(guī)劃優(yōu)化問題小規(guī)劃優(yōu)化問題1010n n50NpN時，滿足時，滿足 )()(pmxx或或 nxxxxipiminipimi)()(12)()( )( 或 柯西準(zhǔn)則柯西準(zhǔn)則：對于某種迭代程序產(chǎn)生的序列：對于某種迭代程序產(chǎn)生的序列 的實數(shù)的實數(shù) 無關(guān)的無關(guān)的1 1點距準(zhǔn)則（模準(zhǔn)則）：點距準(zhǔn)則（模準(zhǔn)則）：)()1(kkxx2 2函數(shù)下降量準(zhǔn)則（值準(zhǔn)則）函數(shù)下降量準(zhǔn)