2020屆江蘇省常州市高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)文試題

1、常州市教育學(xué)會(huì)學(xué)業(yè)水平監(jiān)測(cè)高三數(shù)學(xué)文科一、填空題：1 .已知集合 A=1,0,1, B =x|x2 A0,則 AcB=2 .若復(fù)數(shù)z滿足z,i =1 -i,則z的實(shí)部為 3 .右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的S的值是/輸出占/轄束4 .函數(shù)y = J2x -1的定義域是 5 .已知一組數(shù)據(jù)17,18,19,20,21 ,則該組數(shù)據(jù)的方差是 6 .某校開設(shè)5門不同的選修課程，其中 3門理科類和2門文科類，某同學(xué)從中任選2門課程學(xué)習(xí)，則該同學(xué)“選到文科類選修課程”的概率是 7.已知函數(shù)f(x)=-,x<0,，x1 則 f (f (8)=2-x3,x>0,冗8 .函數(shù)y=3sin(2x

2、+ ),xW0,叼取得最大值時(shí)自變量x的值為9 .等比數(shù)列 Qn 中，若a1 二 1,4a2, 2a3, a4成等差數(shù)列，則a1a7 =cos. a10 .已知=V2,則 tan2a =cos 二22x y11 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線C :二一七=1(a >0,b >0)的右頂點(diǎn)為A,過A做x軸 a b的垂線與C的一條漸近線交于點(diǎn) B,若OB=2a,則C的離心率為12 .已知函數(shù)f(x) = lg(x2)，互不相等的實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)= f(b),則a+4b的最小值為一2_2_213 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，圓C:x 2ax + y 2ay+2a 1 = 0

3、上存在點(diǎn)P到點(diǎn)(0,1)x R, xAC AB _ ADAD AB'恒的距離為2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 14 .在AABC中，/A=±，點(diǎn)D滿足AD =2AC,且對(duì)任意 33成立，則 cos ZABC =、解答題:15.在&ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知 a =1,cos B =- 3(1)(2)若A = '，求sinC的值;3若b =、.2,求c的值.16.如圖，在四棱錐 PABCD中，PA_L平面ABCD ,四邊形ABCD是矩形，AP= AD ,點(diǎn)M , N分別是線段PD, AC的中點(diǎn)。求證：(1) MN /平面 PBC ;(2) PC

4、 _ AM.22x y17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C :=+彳=1(a Ab >0)的左右焦點(diǎn)分別為 E,F2, a b橢圓右頂點(diǎn)為 A,點(diǎn)F2在圓(x 2)2+y2=1上。(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 點(diǎn)M在橢圓C上，且位于第四象限，點(diǎn)N在圓A上，且位于第一象限，已知.13AM =AN ,求直線FiM的斜率。218.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，ABCD是邊長(zhǎng)為10j2cm的正方形紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰三角形，在?&虛線折起，使得 A, B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于圖2中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱錐形狀的包裝盒(圖2所示)，設(shè)正四棱錐P-EFGH的底面邊長(zhǎng)

5、為 x (cm).2(1)若要求包裝盒側(cè)面積 S不小于75cm ,求X的取值范圍；(2)若要求包裝盒容積V (cm3)最大，試問 x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的容積。2a 219 .已知函數(shù) f(x)=(ax +2x)ln x+x +1(aw R). 2(1) 若曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率為 2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1, e)上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。20 .設(shè)m為正整數(shù)，若兩個(gè)項(xiàng)數(shù)都不小于 m的數(shù)列入, Bn滿足：存在正數(shù)L,當(dāng)nMm時(shí)， 都有An -Bn| <L ,則稱數(shù)列An, Bn是“(m, L)接近的"。已知無(wú)窮數(shù)

6、列an滿足8a3=4a2=1,無(wú)窮數(shù)列仇的前n項(xiàng)和為Sn,b1=1,且Sn(bn，-bn) 1 n N*bnbn 12，.(1) 求數(shù)列QJ的通項(xiàng)公式；(2) 求證：對(duì)任意正整數(shù) m,數(shù)列a/，a2+1是“(m,1)接近的"；12(3) 給定正整數(shù)m(m至5),數(shù)歹U卜，(bn + 6 (其中k= R)是“(m, L)接近的"，求anL的最小值，并求出此時(shí)的k(均用m表示)。(參考數(shù)據(jù)ln 2定0.69)高三數(shù)學(xué)I參考答案 2020年I月一、境空題，本大題共14小題.每小JBS分.共計(jì)70分.2.-13.104.囚 + 8）5.26.看 7.-| 哈 9.6410.-2 1

7、1.212.14 可產(chǎn).。卜年二、解答題3本大題共6小題,共計(jì)90分.15 .（本小即滿分14分） 忸:（I）在 A/I8C 中，0<8vw.則§in8>0.因?yàn)閏osB ，所以$inB Jl-cos： 8 - Jl. 3分在 A/l6c中./”* = >所以toC=sto0r-（彳8» = sin（/ + BC S 分所以§inC = §ia： + 8） = §in：cos8*cos,8m8 -"". 333232 368分（2）由余弦定理W-ZaccosH+r2,則訴，=1-本坐/,10分所以9_召獻(xiàn)

8、+ 乎） = 0,12 分因?yàn)閏.半>0.所以c60.即cJL14分16 .（本小時(shí)湎分14分）證明：（”取氏二 反、的中點(diǎn)£尸，連結(jié)的£ EF. FN.三角形PC0中 EXPD. K的中點(diǎn)所以£WCD. £V/ = 1CD：三角影46C中,R N為8C/C的中點(diǎn).所以& TH，F(xiàn)N、囚為四心形48CD是矩形.所以A8Cn ABCD.就學(xué)I答案 W I頁(yè)共7頁(yè)從而打V , £W = £V 所以皿邊影EHVF是平行四邊形.所以MV燈,又印u平面Q6C. MVa平面取J所以MV平面戰(zhàn)，6分(2)因?yàn)?AMJ,平面 48c。，

9、COu 平面 46CD,所以E41CO.因?yàn)樗倪吪?雨75是矩形，所以山？188分乂因?yàn)?/0 = /, /Mu平面/MO/Ou平面夕/O,所以CD J.乎面1。, 又4Mu平面240,所以(")，/!”10分因?yàn)?/>=/) W為P。的中點(diǎn),所以4ML/7).又囚為叩尸Du平面火刀.a)uT而/CD. 所以4MJ_平面PCD.】2分又Cu甲而/W.所以14分17 .(本小逾湎分14分)M： (1)眼田口2)、產(chǎn)1的回心/(2.0)半詫/ = 1與x軸交點(diǎn)里標(biāo)為U.0M3.0)點(diǎn)廣?在冊(cè)/：(x2V1上.所以8(1.0)從而。2. c«1.所以b. .J Mi 

10、9;6所以朝WIC的標(biāo)準(zhǔn)方程為二十二=1.4分43(2)由四,設(shè)點(diǎn)0<x, <2,X) <0：點(diǎn) N(A1.y9, x2 >0.y2 >0.則工i/(Xi.R , AN -(x, -2,y2).由 10和加點(diǎn) 4 M, N 共線.5 分口腹4W的斜率存在，可設(shè)為A (AX),則向我4杉的方程為，=粼1-2),7分-2 卜? £科(3.4/*-I6*S6*L|2 = O.的存74T-x = 2->0或所以“(汽卷T).3,4&, 3W代入而=_季和陽(yáng)”二-且(叵三巫E). 23+4T3/4V2 1'(44-9X52*2+5l) = 0

11、,又Q).丹人弓8*2-6 x =3 + 4*:-12*>' = -3 ) 4T10分13分3所以“(L-：), 乂 £(-1.0),可得直找不守的斜率為一J = -2. 14分21-(-1)418.(本小圓滿分16分)監(jiān) (I)在圖1中連結(jié)AC.BD文/點(diǎn)O.設(shè)BD與FG交卜點(diǎn)M,在伯2中連結(jié)OP,因?yàn)?quot;CD是邊改為loVJon的正方影，所以0870 (cm).由尸G=x,得。廿=工.月3 = 8.”=10-22分22y r閃為PA/ >QW,即 10-±>±，所以0<.rvl0.4 分2 2M>j5 = 4x1f

12、G AW =2x(IO-y) = 2Ox-x 6 分由20i/N75. «5<x<15.所以SWxvlO.答：x的取值葩第是54k<10.8分(2)因?yàn)樵赗TAOMP 中,OMrOP'PM2.m OP=Vpa/2 -OMz = J(io -f VlOO-JO.r , r =jFG:OP = 1.rV100-10.v =-jV100.?-10x5 0<x<10.10 分設(shè)，(幻=100-10.d, 0<x<10,所以 f(x) = 400x' 50x4 = 50/(8 - x).令/'(x) = 0得n = 8或x =

13、0 (舍去).12分所以當(dāng)x=8時(shí).y的鼓大位為1一. 籽，當(dāng)*=8«11時(shí)包裝盒赤枳;,拉大為生£ （cmM . 16分列我用，V(0. 8)8(8. 10)JXx)+0Xx)/極大tft、所以當(dāng)18時(shí),函數(shù)/（X）取得極大（fi.也是足大值. 14分319,(木小題湎分16分)(I)函數(shù)幻的定義域?yàn)?0.2)./(x) = (%r + 2)lnAf+(ar' + 2x),+ 3 = 2(ax + l)lnK+2ar + 2 = 2(oK + l)(lnx+1) 2分xW/(1)-2(a 1)-2.所以“=0,3 分此時(shí)，(x) = Zdn"l,定義域?yàn)?/p>

14、他就)/3 = 2(帖/1), 令/、外0.解汨k：令/（刈0,解得月所以的數(shù)，口)的單調(diào)墻區(qū)間為單間減區(qū)間為(0)6分ee由數(shù)n=5-2v加|+ ?在區(qū)間U©上的圖象是一條不間斯的緝.由(I)知ra> = 2(3 + l)(lnx+l)1)當(dāng)。20時(shí)，對(duì)任愈xwQc), av + l>O,lnx*l>O,則(外>0所以函數(shù)八外在區(qū) 間【Lcl上單調(diào)通增.此時(shí)對(duì)任意xw。©,都有=? + 1>0成電，從而函數(shù)“X) 在區(qū)間ao上無(wú)零點(diǎn)X8分2)當(dāng)a<0時(shí).令/'(x)0.御h = 1或-其中!<1 c a c苦一WI即aW-

15、l,則對(duì)任意xw(l.c).八幻<0,所以函數(shù)幻在區(qū)間U©上 a單調(diào)遞的陽(yáng)患谷/= / + l>0 fl/(C)= OC2+2C4.yC2+l<0t解用-2<q<-2,2cn.其中-2 飛：)- 31-4c 二2 > 0-2(2c-kl)>13e*3e*3e*3e.所以。的取偵越時(shí)是-2<a-l：10分若2eH|IWa<0,則對(duì)任意八幻>。所以函數(shù)/在區(qū)間U© ac上單調(diào)遞埴.此時(shí)對(duì)任意Nwa.e1都句/(幻>1) = £*1>0成立.從而曲數(shù)/(外在 區(qū)向化上無(wú)零點(diǎn),12分表14一L<

16、c,即_1<。<一1.則對(duì)任意xwa,_L), r(x»o：所以的敷“外在區(qū) aca間兒匕上單調(diào)遞增，對(duì)任意xwQ-工,郝行“外1)9.1>0成立； aa2對(duì)任點(diǎn)*6-1.。，八、)<0.內(nèi)數(shù)/a)在區(qū)間-Lw上單調(diào)詡m,由題。得 aaf(c) = ac2 4>2e + c +1 <0 .解存 a< _ 二: I).23c*12(2c*I) I 3c-4c-2 y-20 2(2c + l)1J VP(一一) = ：= T-<0. U|.<H-)，3u c 3c*3c*女。 c所以。的取依慈國(guó)足1<。華抖.15分女.嫁上可得實(shí)

17、數(shù)。的取值瓶圍是-2<。<一嘩» 16分20.(本小鹿湎分16分) 解，(1)設(shè)等比數(shù)列4公比為g .由&14%1得心/=4闖=1解用。l=g=g,故q=/. 口一(01|)|=|-(;+1)|=|(3-;尸4|=(5-;尸吟.24224 Z Z 4對(duì)任意正整數(shù)當(dāng)/IWN旦<m時(shí)j0< < <1.2" 29 2則(7""J)+；<； + ：】即 14(" 】)|W 1 成七，故對(duì)任意正整數(shù)加數(shù)以MJ。：川)是“(江1)接近的'. (3)由2(%)-',制到flA.她“2sd當(dāng) =

18、1時(shí).S、2他一外.=1.解得4=2.當(dāng)>2時(shí)bjW“晨2 M.i-幻2他一%).又仇了0.整理得".aa7 = 2所以d.i-d=d-dT因此數(shù)列“為等基數(shù)列.又因?yàn)?=1,生=2,則數(shù)列四的公蘢 1.II分根樞條件.對(duì)于給定正整數(shù)M<m>5) -當(dāng)wN時(shí).都行一S；M)H2 一八外區(qū)人成必12分即L + 2' V A W ，2。一 對(duì) =1,2,3,/n 都成必考察函數(shù)/U) = 2“-./ /r(x) = 2¥ln2-2x .令鼠x) = 2"n2-2x 則g'(x)=2Fn2尸一2,當(dāng)C5時(shí),gx)>0,所以gpr)在»,+«)上是培西機(jī)