8-3全微分及其應(yīng)用

1、章 節(jié) 題 目第三節(jié)全微分及其應(yīng)用內(nèi) 容 提 要全微分的概念、計(jì)算、充要條件及應(yīng)用重點(diǎn)分析全微分的概念及充要條件函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)、連續(xù)之間的關(guān)系難 點(diǎn) 分 析函數(shù)可微的判定習(xí) 題 布 置P28 1 （單）、4備 注教 學(xué) 內(nèi) 容一、全微分的定義由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得f (x x, y) - f (x, y) ： fx(x, y) x f(x, y y) 一 f (x, y) ： fy(x,y). ：y全增量的概念：如果函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè) P'(x + Ax, y + Ay)為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱(chēng)這兩點(diǎn)的函數(shù)值之

2、差 f (x+&x, y+Ay) - f (x, y)為函數(shù)在點(diǎn)P對(duì)應(yīng)于自變量增量 Ax, Ay的全增量，記 為 Az ,即 Az= f (x + Ax, y + Ay) f (x, y)全微分的定義：如果函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x, y)的全增量 Az = f(x+Ax,y+Ay)_f(x, y)可以表示為 Az = A義 + BAy +o( P),其中 A, B不依賴(lài)于Ax, Ay而僅與x, y有關(guān)，P = J(Ax)2 +(Ay)2 ,則稱(chēng)函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分，AAx + BAy稱(chēng)為函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x, y)的全 微分，

3、記為dz，即 dz = AAx + BAy .函數(shù)若在某區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處處可微分，則稱(chēng)這函數(shù)在 D內(nèi)可微分. 如果函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).事實(shí)上 z = A x B y o( P), lim ,-：z = 0, lim0 f(xx, yy) = limj f (x, y) z= f(x,y)y_o故函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù).二、可微的條件定理1 (必要條件)如果函數(shù)z= f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù) 位、且必存在，且函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分為；:x；:y：z：zdz

4、=Ax 十'Ay .ex二 y證 如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x, y)可微分，P'(x+Ax, y + Ay) w P的某個(gè)鄰域Az = A Ax十BAy十o（ P）總成立, 當(dāng)Ay = 0時(shí)，上式仍成立，此時(shí)P =| Ax |,f(x x, y) - f (x, y)=A x o(| .：x |), Ijm。f(x x,y) - f (x,y)二 A同理可得 B=.：:y一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 ，微分存在.微分存在，一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在，不能保證全微分存在.,xyx2+y2#0例如，f （x, y） = J 1僅2 十 y2.0x2 + y

5、2=0在點(diǎn)(0,0)處有 fx(0,0) = fy(0,0)=0.xv. ：z-fx(0,0)：x fy(0,0)：y2y,.(x)2 (.y)2如果考慮點(diǎn)P'（Ax, Ay）沿著直線y=x趨近于（0,0）,x y則(x)2 ( y)2= x x J:(x)2 ( x)22,說(shuō)明它不能隨著 Pt 0而趨于0,當(dāng)Pt 0時(shí),. z-fx(0,0) ：x fy(0,0) ：y:。(：)函數(shù)在點(diǎn)（0,0）處不可微.說(shuō)明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在,a定理2 （充分條件）如果函數(shù)z = f （x, y）的偏導(dǎo)數(shù) 生、在點(diǎn)（x, y）連續(xù),二 x二 y則該函數(shù)在點(diǎn)（x,y）可微分

6、.證 z = f (x x, y ： =y) - f (x, y)=f(x x, y y) - f(x,y y) f(x, y y) - f (x, y),在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理f (x :=x, y :二y) 一 f (x, y ：=y)= fx(x + 機(jī)工x, y y”x (0 ：二入：1)=fx(x, y)Ax + Ax (依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性)其中5為Ax, Ay的函數(shù),且當(dāng)Axt 0,0時(shí)，電t 0.同理 f (x, y+Ay) f (x, y) = fy (x, y)Ay + 4y，當(dāng) Axt 0,AyT 0 時(shí)，1 r 0 ,.z = fx(x,y)x；lx fy(

7、x,y)y x *l|十同 0,故函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處可微.習(xí)慣上，記全微分為dz= dx dy.二x二 y通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱(chēng)為二元函數(shù)的 微分符合疊加原理.全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)nrvn二 u二 u二 udu = dx dy dz.:x：:y；z疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.例1計(jì)算函數(shù)z=exy在點(diǎn)（2,1）處的全微分.z - Z xy 二 Z xy斛 二 ye , 二 xe:x：:y殳 2zz.2 2=e，丁 =2e ,尿(2,1)0y (2,1)所求全微分 dz = e2dx - 2e2dy.nn例

8、2 求函數(shù) z = y cos(x - 2丫)，當(dāng)* = 一，y=n, dx = , dy = n 時(shí)的全微 44分.解 =-ysin(x -2y),：:x文= cos(x-2y) 2ysin(x-2y), :ydx + (4,元y (n (4,，2 ，一dy =(4-7二).8例3計(jì)算函數(shù)u = x+sin上+eyz的全微分.2Uu - U u 1 y yz ； U yz 解 =1,：一cos zey,：yey ,.x 2y 22jz 1y yz - yz -所求全微分 du = dx ( cos ze )dy ye dz.22例4試證函數(shù)f (x, y) = «xysin0,1,

9、 (x, y) : (0,0)Jx1 * 2 + y2在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏(x,y) = (0,0)導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(Q0)不連續(xù)，而f在點(diǎn)(0,0)可微.思路：按有關(guān)定義討論；對(duì)于偏導(dǎo)數(shù)需分(x, y)豐(0,0) , (x, y) = (0,0)討論.證令 x=PcosB, y=Psin8,1.2.1=0 =f(0,0),則 lim xysin -=: lim : sin c cos sin (x,y) (0,0) Jx2 3: 22(x y ).x yy207故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù),fx(0,0)=則f (.奴,0) -f(0,0)0 -0二 lm。= 0,同理 fy(0,0)

10、=0.當(dāng)(X,y)¥(0,0)時(shí),2x y1當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y = x趨于(0,0)時(shí),limfx(x, y) = lim(x,x)(0,0)x0xsin、2|x2 2|x|3cos7"- !,不存在.2|x|所以fX(x, y)在(0,0)不連續(xù).同理可證fy(x, y)在(0,0)不連續(xù).22.(x)2 (，y)2=o( . (. ：x)2 (. ：y)2)故 f (x, y)在點(diǎn)(0,0)可微 df|(0,0)=0.多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)二元函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)P(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) fy(x,y)連續(xù)

11、,且|Ax|,|Ay郵較小時(shí),有近似等式fx(x, y),z : dz = fx(x, y) x fy(x,y) y.也可寫(xiě)成f (x -x, y y) ： f (x, y)fx (x, y) x fy(x, y) y.例5 計(jì)算(1.04)2.02的近似值.解 設(shè)函數(shù)f (x, y) = xy.取 x =1, y =2, ：x=0.04, y =0.02.f(1,2) =1,fx(x,y) =yxy4, fy(x, y) = xy In x,fx(1,2)=2, fy(1,2)=0,由公式得(1.04)2.02 ： 1 2 0.04 0 0.02 =1.08.三、小結(jié)1、多元函數(shù)全微分的概念；2、多元函數(shù)全微分的求法；3、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系(注意：與一元函數(shù)有很大區(qū)別)思考題函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(, y°)處可微的充分條件是：(1) f(x, y)在點(diǎn)(X0, y0)處連續(xù)； fx(X,