一微分的概念ppt課件

1、一、微分的概念一、微分的概念 實(shí)踐任務(wù)中，常要計(jì)算y=f (x+ x)f (x).f (x)的表達(dá)式復(fù)雜時(shí), y的計(jì)算也較復(fù)雜, 不好算.但當(dāng) 要找y的近似公式. 這一近似公式應(yīng)滿足(i)好算, (ii)具有起碼的精度.3 34 4 微分與差分微分與差分例例1. 1. 一正方形金屬薄片受溫度影響一正方形金屬薄片受溫度影響, , 其邊長由其邊長由x0 x0變到變到x0+x0+x, x, 求此薄片面積改動(dòng)了多少？求此薄片面積改動(dòng)了多少？解：如圖解：如圖, ,因此,面積的改動(dòng)量為2020)(xxxA.2d 0 xxA記).()(d 2xoxAA誤差20)(2xxxx0 x0 xxxx當(dāng)正方形邊長為x

2、時(shí),面積A=x2. 1. 定義. 設(shè)y=f (x)在 x0 的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義.假設(shè) y = f (x0+ x)f (x0)可表示成y = A x+o ( x) 其中A為只與x0有關(guān)而與x無關(guān)的常數(shù). 那么稱y=f (x)在點(diǎn)x0處可微. 稱A x 為f (x)在x0點(diǎn)相應(yīng)于 x 的微分. 記作d y，即dy = A x 注注1. 1. 假設(shè)假設(shè)y=f (x)y=f (x)在在x0 x0可微，那么微分可微，那么微分d y= d y= A A x x是是x x的線性函數(shù)的線性函數(shù). .另外, 當(dāng)A0, x0時(shí), y dy.這是由于yxoyyyd)(dd注注2. 2. 當(dāng)當(dāng)y = f (x

3、)y = f (x)在在x0 x0可微時(shí)，可微時(shí)，y ydy = dy = o(o(x)x)xAxo)(11(x0)(x0)2. 可微與可導(dǎo)的關(guān)系定理定理1. y=f (x)1. y=f (x)在在x0 x0可微的充要條件是可微的充要條件是y=f (x)y=f (x)在在x0 x0可導(dǎo)可導(dǎo). . 且當(dāng)且當(dāng)y y在在x0 x0可微時(shí)可微時(shí). dy=f . dy=f (x0)(x0)x.x.證：證： 必要性必要性. . 假設(shè)假設(shè)y=f (x)y=f (x)在在x0 x0可微可微. .由定義y=A x+o ( x)從而).0( )(xAxxoAxy故 y = f (x)在x0可導(dǎo). 且).( lim

4、00 xfxyAx即xxfy)( d0).( lim 00 xfxyx則充分性，假設(shè)充分性，假設(shè)y=f (x)y=f (x)在在x0 x0可導(dǎo)可導(dǎo). .故).0( 0,)( 0時(shí)當(dāng)其中xxfxy,)( 0 xxxfy或由于).(. 0limlim00 xoxxxxx即故y=f (x)在 x0可微. 且dy=f (x0)x. 定理1通知我們，對(duì)于一元函數(shù)y=f (x)而言,可微與可導(dǎo)是等價(jià)的.3. 假設(shè)y=f (x)在(a, b)內(nèi)每一點(diǎn)處均可微(可導(dǎo)),那么稱f (x)在(a, b)內(nèi)可微.這時(shí), 對(duì)x(a, b), 有dy=f (x)x, 稱為函數(shù)y(在x點(diǎn))的微分. dy=f (x)x是一

5、個(gè)既與x又x與有關(guān)的量. 這里x 與x是獨(dú)立變化的.4. 記dx=x. 稱為自變量x的微分.即, 自變量x的微分就等于自變量的增量.上述定義是合理的.例例2. 2. 設(shè)設(shè)y=xy=x，求，求y y的微分的微分dy=dx.dy=dx.解：解： dy = f (x)dy = f (x)x=(x) x=(x) x=x=x x即 dx = x由于有3、4中記號(hào)，從而dy = f (x)dx.同除以dx, 及).( ddxfxy即 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就等于函數(shù)的微分與自變量的微分之比.5. 微分的幾何意義如圖過M作切線MT, 傾角為給x=dx0. 得點(diǎn)x0+ x, 以及點(diǎn)N, P, Q.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義.tgd

6、dxPQxy同乘以x=dx, 得 dy=PQ.Mx0 xx0NTyxoQPy=f (x)y = NQ 表示曲線y = f (x)上縱坐標(biāo)的增量，dy =PQ 表示切線MT 上縱坐標(biāo)的增量,ydy = NP= o(x)在PMQ中, MQ=dx, PQ=dy.而.)(d)d(22yxMPMx0 xx0NTyxoQPy=f (x)二、微分公式及運(yùn)算法那么二、微分公式及運(yùn)算法那么 由于dy=f (x)dx. 因此，微分公式及運(yùn)算法那么與導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法那么完全類似.如 (sinx)=cosx.從而d(sinx)=cosxdx. 等等.1. 四那么運(yùn)算法那么：設(shè)u = u(x), v = v(x)均可微

7、.那么.dd)(d ) 1 (vuvu.dd)(d )2(vuuvvu. .d)(d )3(為常數(shù)其中Cuccu . 0 ,dd)(d )4(2vvvuuvvu其中2. 復(fù)合函數(shù)的微分 我們知道當(dāng)x為自變量時(shí), 有dy=f (x)d x.假設(shè)y=f (u), u不是自變量, 能否依然有dy=f (u)du?設(shè)u= (x), 在x點(diǎn)可導(dǎo), 而y=f (u)在相應(yīng)的點(diǎn)u=(x)處可導(dǎo). 求復(fù)合函數(shù) y=f (x)的微分.從而,xxufyd)( )( d即uufyd)( d 可見，不論u是自變量還是中間變量, 總有.d)( duufy 這一性質(zhì)，稱為一階微分方式的不變性.由于復(fù)合函數(shù)y 的導(dǎo)數(shù)).(

8、 )( ddxufxyuufd )( xxufd)()( 例例3. 3. 設(shè)設(shè)y = sin(2x+x2), y = sin(2x+x2), 求求dy.dy.解：解：)2sin(dd2xxyd2d2)2cos(2xxxxxxxxxd)2cos()1 (22)2(d)2cos(22xxxx例例4. 4. 設(shè)設(shè)y = e3vcos2v. y = e3vcos2v. 求求dy.dy.解：不論解：不論v v能否為自變量能否為自變量, , 由一階微分方式不變性由一階微分方式不變性. . 有2cose dd3vyv)2(d)sin2(e)3(de2cos33vvvvvvvvvvvvdesin22de2co

9、s333vvvvd)sin222cos3(e3)2(cosde)e (d2cos33vvvv例例5. 5. 設(shè)設(shè) x =acos t y =a sin t, 求 . 0 .dd ,d ,daxyyx其中解：解： dx = d(acost)dx = d(acost)dy = d(asint)從而ttattaxydsindcosdd= ad(cost) = asintdt= acostdt= ad(sint).ctgt例例6. 6. 填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立(1) d( )= xdx(2) d( )= exdxxxd1) (d )3(2(4) d( )= sinxdx解

10、：解：(1) (1) 由于由于d(x2)=2xdx.d(x2)=2xdx.xxxd)21(d 2從而.d)21(d 2xxCx一般其中C為恣意常數(shù).(2)(3)(4)xeCexxd)(d xxCxd1)1(d 2.dsin)cos(d xxCx三、高階微分三、高階微分設(shè) y = f (x)有直到n階導(dǎo)數(shù). 其中x為自變量.我們知道, 當(dāng)x為自變量時(shí), dx=x, 從而dy=f (x)dx = f (x)x.這里 x 和 dx = x是兩個(gè)獨(dú)立的變量.當(dāng)dx=x固定不變時(shí), dy是x的函數(shù), 可思索dy的微分.普通, 記 d2y = d(dy), 稱為y的二階微分. 當(dāng)x為自變量時(shí), 有, d2

11、y = d(dy) =d(f (x)dx) = (f (x)dx)dx = f (x)(dx)2 = f (x)dx2其中dx2 = (dx)2 . 類似, 記d3y = d(d2y), 稱為y的三階微分.當(dāng)x為自變量時(shí), 有, d3y = d(d2y) = ( f (x)dx2)dx = f (3)(x)(dx)3 = f (3)(x)dx3 .其中dx3 = (dx)3 . 普通, 記 dny = d(dn1y), 稱為y的n階微分.當(dāng)x為自變量時(shí), dny = f (n)(x)dxn.其中dxn = (dx)n 注注1. 1. 符號(hào)符號(hào) dnu dnu 和和 dun dun 有不同含有不同含意意. .注注2. 2. 對(duì)復(fù)合函數(shù)而言對(duì)復(fù)合函數(shù)而言, , 二階以上的微二階以上的微分不再具有微分方式不變性分不再具有微分方式不變性. .例如例如. . 設(shè)設(shè) y = f (u), u = f (y = f (u),