階段質(zhì)量檢測(cè)三角恒等變換

1、階段質(zhì)量檢測(cè)（二）三角恒等變換3.已知sin 2a=-2425,an-一，0，貝y sin a+ cos a 等于（47（時(shí)間120分鐘滿分150分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的 ）1 .函數(shù)y= 2cos - 2| + 1的最小正周期是（）A . 4 nB . 2 nC. nD.n解析：選 BTy= 2cos2|+ 1 = 2cos2-1 + 2=COS x+ 2，二函數(shù)的最小正周期 T = 2 n.3 sin 70 °2.2 - cos210 °=（）B.D.3- sin 70 °2 3

2、- sin 70 °解析：選C 原式=2.1 + cos 20 °3-cos 20 °解析：選B 由a -寸,0知,sin a+ cos a> 0,'sina+ cos a=1 + sin 2 a=15.4. cos4?-sin4/的值為（）8 8A. 0C. 1B.解析：選 B cos4 sin8 8cos2n + si n2f8 82 n .2 nn J 2cos= sin= cos 丁 =.88425若na ，nn ,且 3cos 2 a= sin 4 a ,則sin 2 a的值為（1181718解析:cncos 2 a= sin 2 2an=

3、sin 2 4 a = 2sinncos 4 a ,代入原式, n得 6sin 4cosn4a=sinn2,71n，ACOs4 16,n/sin 2 a= cos 2 2 a2 n2cos 4a1 = 口1 18.6.若 a (0 , n)且 cosa+ Sin a= 13,COS 2 a=(.1710解析:1選 A 因?yàn)?cos a+ sin a= 3 ,a (0 , n所以sin 283a= 9 , cos a<0 ,且 a 所以2a32, 2 n ,所以 cos 2a= 1 sin22 a= 9.7化簡(jiǎn):cos 20 :'1 - cos 40 的值為 cos 50 

4、6;A.1bFC. 一 2解析：選B依題意得cos 20 °1 cos_40 = cos 20 ：2sin220 ° cos 50 °= cos 50 °血. 。巫. o=/2sin 20 cos 20 = 2 sin 40 = 2 sin 40 =2= cos 50 °= cos 50 °= sin 40 °= 2&化簡(jiǎn):2 n2cos2 4 an _-tan + a cos 2 a4的值為解析：選Dntan 4+ a cos 2a2 n2cos 4 ansin 4 +a COS 2 a2 n n2sina+ 4

5、cos 4+ aCOS 2 an2sin 4 + a cosna+ 4COS 2 ansin 2 4 + acos 2 a cos 2 a . =1.n _ cos 2 a ' sin 2+ 2 a9.在 ABC 中,A _L b已知tan= = sin 6則厶ABC的形狀為()A正三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形、A + BA + B A + BA + B解析：選 C 在ABC 中，tan 2一 = sin C= sin(A + B) = 2sin 2 cos2 , ;-2cos2廠n=1 ,.cos(A + B)= 0，從而A + B = ，即 ABC為直角三角

6、形.10.已知 0< 3< a<n，點(diǎn) P(1,4<3)為角 a 的終邊上一點(diǎn)，且 sin asin 扌3 + cos acos 才+ 3光3,則角3=(14nCnnD.3解析:卩(1,4萌)，.|0P|= 7,'sin43a= 7 ，1COs a= 7.又 sin acos 3 cos «sin 3=4 ,；若 f(x)=2，則cos2n cL 2xsin(從一®= -4.nn-0< 仟 a<2，0< a仟，13 COS(a 14,'sin 3= sin a ( a ®=sin acos( a 3) co

7、s asin( a 3=3x 131 x 麵=亞7147142 .亠 nn0< 3<2，：3= 3.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題 6分，單空題每題4分，共36分請(qǐng)把答案 填在題中的橫線上)”n c c 匸 mr 1 COs 2 a11 右 tan a+ 4 = 3+ 2 2,則 2=.4sin 2 an 1 +tan a.21 cos a=亍答案：芒12 .函數(shù) f(x)= cos 2x+ 6cos x , x R 的最大值為 解析：由已知，得 f(x) = cos 2x+ 6cos n x = 2sin2x+ 6sin x+ 1 = 2 sin x ； 2+ 殳又 si

8、n x 1,1,所以當(dāng)sin x= 1時(shí)，f(x)取得最大值5.答案：513 .已知f(x)=«3sin x cos x，貝U f |的最小正周期為 a 2sin2a解析：由 tan a+ 4 = 3+ 2 2，得 tan a= o = tan41 tan a2 ' sin 2 a2sin 久cos a解析：Tf(x) = , 3sin x cos x = 2sin x,x1 nf 2 = 2sin 2x 6，最小正周期 T = 4 n.,2 mn 1由 f(x) = 3,得 sin x 6 = §,2 nn則 COS y + 2x = cos 3 2x =ncos

9、 2 x §2 n1 2sin2 x 6=1 2X兀4COSn 2 asinna 4COSn 2 asinn a A414.已知解析：由¥(0VaVn，則 Sin# 得 COS 2a= "2(sina+ COS a=,COS 2 a=a COS a,且 sin a COS a 0，貝y COS a+ sin a= 1,3sn 由 Sin a+ 2COS a= 5(0 V aV n 可知, a= 4V 0.'0V aV n, .Sin a>0,COS aV 0,-COS a Sin a ； 1 sin 2 a= 2 .'cos 2 a= (co

10、s a+ sin ©(cos a sin答案:15.若sinCa+ 2COS a=(0 V aV5a=n;COS2a+;=解析:a 為鈍角，又 sin2a+ COS2 a= 1，可得 Sin a45,34COS a= 5 所以 tan a= 3sin 2 a=2sin 必OSa= 25 COS 2a= COS2 a Sin2a=- 25,2525所以 COS 2 a+ n=COS 2aC0S 4 Sin 2 «sin7=4450答案：3317、25016.已知(0, n )且 sin=請(qǐng),貝U tan 2 0=解析：由sin得 2(sin0 cos 0) =j? sin0

11、cos0= 5.解方程組1sin 0- cos 0= 5,sin2 0+ cos2 0= 1,4sin 0= 5, 得3cos 0= 5sin或30= 5,因?yàn)? (0,所以4sin 0= 5,3cos 0= 5,答案:247cos40= 5.所以sin0>0,4所以tan 0= 3,所以tan 22tan 00= 1不 1 42 x 34 23247 .17.函數(shù)f(x)= sin x + cos x的單調(diào)增區(qū)間為，已知sin3a= 5，n且 a 0, $ ,解析：f(x) = sin x+ cos x = 2sin x + 才,rn, i n, cn當(dāng) 2k n 三 x+ 4<

12、 2k n+ 3, k Z,即 2kn 3n< x < 2kn+nn4, kZ 時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)的遞增區(qū)間是3 n2kn 7,冗2k n+ 4，M 乙3因?yàn)閟in a= 5,沫0,，所以4cos a= 5,所以 f a n = 2sin.2sin a+ 6 = gsin a+2 cos a=3 +2 X -2 5 十 253 ,6+ 4 2= 10 .3 nn3 6 + 4 2答案：2k n , 2k n+ - , k Z 和三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)n418. (本小題滿分14分)已知0<a<2，sin a= 5.sin

13、2 a+ sin 2 a(1)求2的值；COS2 a+ COS 2 a5 n f, /1.求tan a的值.解：(1)由 0< a<n, sin a= 4，得 cos a= 3,255sin2 a+ sin 2 a sin2 a+ 2sin acos aCOs2 a+ COs 2 a3COS2 a 12+2X 5X 3=20.3X(2) Ttansin a 4cos a 3，tan a 143 1'tan5 n1 + tan a17.19. (本小題滿分 15 分)設(shè)向量 a = ( , 3sin x, sin x), b= (cos x, sin x), x 0, ?(1

14、)若|a|= |b|,求 x 的值；設(shè)函數(shù)f(x)= a ，求f(x)的最大值.解：(1)由 |a|2= (3sin x)2+ (sin x)2= 4sin2x,|b|2= (cos x)2+ (sin x)2= 1,及|a|= |b|,得 4sin2x = 1.n0, 2，從而sin x= 2,所以x=;.6廠2 亞11 c n 1(2)f(x) = a b= 3sin x cos x + sin x=_2sin 2x qcos 2x + sin 2x - + ,nnn3當(dāng)x =0, 2時(shí)，sin 2x百取f(x)的最大值為1,所以f(x)的最大值為$4 n20. (本小題滿分15分)已知函

15、數(shù)f(x)= 2cos 2x + 2cos 2x+三 + 1.(1) 求f 的值.(2) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.4 n解：(1)因?yàn)?f(x) = 2cos 2x + 2cos 2x+"3 + 12 n 2 n2 n=4cos 2x + 3 cos- + 1 = 2cos 2x + § + 1nnn=2cos 二 + 2x + 1 = 2sin 2x+ 1,266所以f冷=2si門(mén)扌+ 1 = , 3+ 1.,-n由(1)，知 f(x) = 2sin 2x+ 1,nnn令 2k n 三 2x + W 2k n+ q(k Z),nn解得 k n x W k n+ 6(k

16、Z),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kn n，k n+n(k Z).令 2k n+ 訂 2x + n 2k n+ 認(rèn) Z),"，口n2 n解得 k n+x W k n+ J(k Z),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為kn+ n，k n+晉(k Z).21. (本小題滿分15分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸的正知A , B的橫坐標(biāo)分別為.22510,5A ,半軸為始邊作兩個(gè)銳角a,3,它們的終邊分別與單位圓交于(1) 求 tan( a+ 3 的值;(2) 求a+ 2 3的值.解：由條件得cos a= 12，cos 3=令5:a, 3 為銳角，二 sin a=yj 1 cos

17、2 a = 7102,sin 3= 1 cos2 3=因此1tan a= 7, tan 3= ptan a+ tan 3(1)tan( a+ 3 =17+1=31 tan a tan 3 7 /1 tan( a+ 2 3) = tan ( a+ 3)+ 3=1tan a+ 3 + tan 31 tan a+ 3 tan 33 n3 n又Ta, 3 為銳角， 0< a+ 2 3< , a+ 2 3="4>22. (本小題滿分 15 分)已知向量 OA = (cos a, sin a), a n, 0,向量 m= (2,1), n=(0 , ,5),且 ml ("Oa n).>(1)求向量OA ；J2若 cos( 3 n =詬,0< 3<n ,求 cos(2 a 3的值.解：(1)TOA = (cos a, sin a ,'OA n = (cos a, sin a+ . 5).> >Tm 丄(OA n) , /-m OA