雙曲線的復(fù)習(xí)資料精華版

1、1.范圍、對(duì)稱性2由標(biāo)準(zhǔn)方程a雙曲線1，從橫的方向來(lái)看，直線x=-a,x=a之間沒(méi)有圖象，從縱的方的絕對(duì)值也無(wú)限增大，所以曲線在縱方向上可無(wú)限伸展，不像橢向來(lái)看，隨著x的增大，y圓那樣是封閉曲線雙曲線不封閉，但仍稱其對(duì)稱中心為雙曲線的中心2.頂點(diǎn)頂點(diǎn)：A1(a,0),A2a,0qn特殊點(diǎn)：B1(0, b), B2 0, b實(shí)軸：AA2長(zhǎng)為2a, a叫做半實(shí)軸長(zhǎng)* '、atOV/ FA虛軸：B1 B2長(zhǎng)為2b， b叫做虛半軸長(zhǎng)*2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:y/f2 ,丿。2 x2 a2y七 1 (a>0, b> 0). bb> 0).c2 = a2 + b2焦點(diǎn)在 x軸上，焦

2、點(diǎn)是 Fi( c, 0)、F2(c, 0).焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)是 F1（0, C）、F2（0, c）. 雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異3.漸近線經(jīng)過(guò)A2、圍成一個(gè)矩形Ai作y軸的平行線 x=± a，經(jīng)過(guò)B2、Bi作x （如圖）.軸的平行線y=± b，四條直線兩條直線b -x ax2叫做雙曲線a2 y b21的漸近線.2y2a1 (a > 0, b > 0)的漸近線為a= b時(shí)，實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線4.等軸雙曲線定義：實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線等軸雙曲線的性質(zhì)：(1)漸近線方程為:x ； (2)漸近線互相

3、垂直；(3)離心率e 42,等軸雙曲線可以設(shè)為：x2 y20),0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng) 0時(shí)焦點(diǎn)1在y軸上*5. 共漸近線的雙曲線系如果已知一雙曲線的漸近線方程為kbx(k 0)，那么此雙曲線方程就ka2定是：金2y(kb)21(k0)或?qū)懗?. 補(bǔ)充性質(zhì)：焦半徑：雙曲線上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)所連的線段叫做雙曲線的焦半徑。 義，我們可以很容易地推導(dǎo)出雙曲線的焦半徑公式。)(利用雙曲線的第二定MF17.離心率a exo概念：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比2ce 2a-，叫做雙曲線的離心率，范圍：e 1a雙曲線形狀與e的關(guān)系：k -aJc2 a2這是雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開(kāi)闊。因此e越大，即漸近線的斜率的絕

4、對(duì)值就大， 由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開(kāi)口就越闊(1) 雙曲線的形狀張口隨著漸近線的位置變化而變化；(2) 漸近線的位置(傾斜)情況又受到其斜率制約-&共軛雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸,虛軸為實(shí)軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲x216注意的區(qū)別：三量 a,b,c中a,b不同(互換) 通過(guò)分析曲線發(fā)現(xiàn)二者其具有相同的漸近線1)2)2 2 2線的共軛雙曲線.如L 1與丄1699c相同*-此即為共軛之意*性質(zhì)：共用一對(duì)漸近線.雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點(diǎn)在同一圓上 確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將1變?yōu)?1 *3)同一對(duì)漸近線y kx的雙曲線的方程具有什么樣的特征：可設(shè)為2*(0)

5、，當(dāng)0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng) 0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上+k三、講解范例：一、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程篤a2Xp 1(a、 b>0),b22b2關(guān)概念及性質(zhì)再結(jié)合其它知識(shí)直接求出a、b或利用待定系數(shù)法.2有公共漸近線，且過(guò)點(diǎn)M(2,通常是利用雙曲線的有例1求與雙曲線 線方程.X22y22)的雙曲線的共軛雙曲解令與雙曲線M(2, 2)代入，得k2X2221有公共漸近線的雙曲線系方程為2)2 2 ,雙曲線方程為X22y2 k，將點(diǎn)221，由共軛雙曲22 2 x_丄142評(píng) 此例是“求與已知雙曲線共漸近線的雙曲線方程”類型的題2 爲(wèi) 1有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為b2線的定義，可得此雙曲線的

6、共軛雙曲線方程為 一般地，與雙曲線2X2a22篤與k (k2,2 'a bR,且k豐0);有公共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為2X2a2y 1.22k a本題用的是待定系數(shù)法二、1、第一定義的應(yīng)用 雙曲線的第一定義：已知 條件 |PF11 |PF2|=± 2a,正常數(shù)：2X4F1、F2是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn),2a<|F1F2|時(shí)，P的軌跡是雙曲線.當(dāng)且僅當(dāng)它們滿足例1設(shè)Fi、F2為雙曲線y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且滿足/ F1P F2=9O0,求 F1PF2的面積.解 由雙曲線義知，PF1PF24 ,兩邊平方，得2p F1IIPF2/ F1PF2=9O0,二 PF1

7、PF1PF2PF216.2F1F22 20,- PF1 PF2F1 PF 2PF1PF216 2,2|p F1IPF22、第二定義的應(yīng)用雙曲線的第二定義：設(shè)F為定點(diǎn)，I是定直線，P是動(dòng)點(diǎn)，P、F及I共面，當(dāng)且僅當(dāng)它們滿足條件LpFJ e(e 1)e是常數(shù)，d是P到e距離時(shí)，P的軌跡是雙曲線. d22【例1】已知雙曲線X- -=1的離心率e>1+J2，左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線a b為I，能否在雙曲線的左支上找一點(diǎn)P,使得|PF1 是 P到I的距離d與IPF2|的等比中項(xiàng)？【解前點(diǎn)津】從假設(shè)存在這樣的 P點(diǎn)入手，推出某種結(jié)果，然后“檢驗(yàn)”這種結(jié)果【規(guī)范解答】設(shè)在左支上存在 P點(diǎn)，

8、使|PF1|2=| PF2|d，由雙曲線第二定義得：|PFi| |PF2 |d|PF1| e,即 |PF2|=eTPF"又由雙曲線的第一定義得：|P F2| | PF1|=2a2 a2ae從中解得：|PF1|=，|PF2|=，因 PF1F2中有 |PF1|+|PF2|>_c,e 1e 1而 e=C，故由得：e2 2e K 0 解之：12 < e< 1 + J2 , ae>1,. 1<ew 1+V2這與e>1+72相矛盾，符合條件的P不存在.【解后歸納】對(duì)于一般的探索命題，常從假設(shè)存在入手，利用定理和題設(shè)條件加以推理，若推出矛盾，則假設(shè)不成立，否則，

9、假設(shè)的命題成立.例2 :如果雙曲線2x64361上一點(diǎn)P到雙曲線右準(zhǔn)線的距離d等于8求點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F的距離|PF。7366, C 764 368,b|PF|10匸二！ 一，|PF| 108 810即點(diǎn)P到右焦點(diǎn) 如上題如何求P到左焦點(diǎn)F'的距離|PF' |?解：|PF' |PF|=2a, |PF' 10=16 ,F的距離|PF|為10。 |PF' |=26例3：已知點(diǎn)A (5, 3) , F( 2, 0),在雙曲線X22y_31上求一點(diǎn)P,使|PA|1-|PF|的值最小。解：a=1, b= c=2 , e=2 ,a設(shè)點(diǎn)P到與焦點(diǎn)(2，0)相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離

10、為即在雙曲線上求點(diǎn) P，使P到定點(diǎn) 準(zhǔn)線時(shí)合題意，且在雙曲線的右支上，此時(shí)凹2,丄呼| dd2A的距離與到準(zhǔn)線的距離和最小，顯然直線垂直于P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，所求的點(diǎn)為P (2, 3)。d，則2例1設(shè)雙曲線務(wù)ab)的半焦距為C,三、雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用2與 1 (0 ab2直線l過(guò)(a, 0 )、( 0, b)兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到,的距離為2 ,4求雙曲線的離心率.c解析 這里求雙曲線的離心率即求 一，是個(gè)幾何問(wèn)題，怎么把a(bǔ)題目中的條件與之聯(lián)系起來(lái)呢?/ OAa , OBb, ABJ3c，由面積法知 ab=c4H心，考慮到a2 b2 c2,4知 a2(c231 e ,亦即3e16可求得e四、例12、34

11、剛 2a )c即e162.與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題 以動(dòng)點(diǎn)P為圓心的圓與O A: (x 5)216e2160 ,注意到a<b的條件,y249 及o B :(x 5)2y21都外切，求點(diǎn)P的軌跡方程.解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P (X, y),動(dòng)圓半徑為r，由題意知B(5,0)，據(jù)雙曲線的定義知，點(diǎn)2X9 PAPB6. A( 5,0),焦點(diǎn)的雙曲線的右支，方程為216 1(x 0).如圖2,從雙曲線x2PAPB的軌跡是以1上任一點(diǎn)Q引直線X y2的垂線，垂足為N，求線段QN解析故可從尋求的中點(diǎn)P的軌跡方程.因點(diǎn)P隨Q的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn) Q在已知雙曲線上，Q點(diǎn)的坐標(biāo)與P點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系入手，用轉(zhuǎn)移法達(dá)到目的

12、設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(xj, yj ,則N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2xX1,2yyj.點(diǎn)N在直線x y2 上, 2x x1 2y y12 又 PQ垂直于直線xy 2 ,1 ,XX1即 x y y1X10聯(lián)立、解得. 2X13即(一X22x22y112y1)X1y13 -x2212y32y1又點(diǎn)N(X1,y1)在雙曲線x211上,1(2x2y2 2x 2y 132y0.1)21，化簡(jiǎn)，得點(diǎn)P的軌跡方程五、與雙曲線有關(guān)的綜合題【例11是否存在同時(shí)滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說(shuō)明理由.(1)漸近線方程為x± 2y=0;點(diǎn)A(5, 0)到雙曲線上動(dòng)點(diǎn)P的距離

13、的最小值為【解前點(diǎn)津】 函數(shù)最值問(wèn)題.【規(guī)范解答】討論焦點(diǎn)所在位置，從而確定雙曲線方程形式，對(duì)條件假設(shè)存在同時(shí)滿足題中兩條件的雙曲線(2)，轉(zhuǎn)化為求2x(1)若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線方程為 a2 y b21，因漸近線為y= ± 1x2bx , 1 b，雙曲線方程可化為:a 2 ax24b22計(jì).設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X,y)，則AP |=J(x 5)2y2J5(x4)25 b2 (x>2b或 xw 2b).由條件，若2b< 4即 b<2，則當(dāng) x=4 時(shí)，AP|min=j5 b246b21，這是不可能的.若 2b>4 即 b>2 時(shí)，則當(dāng) x=2b

14、時(shí)，AP|min=|2b 5|= ，解之b= 與E (其中 葺E <2應(yīng)舍去).此時(shí)存在雙曲線方程為:x2(5 Tg)22y5恵22若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)雙曲線方程為bx247* R)，A P|=J5(X 4)2 b2 5 , x R,.當(dāng) x=4 時(shí)，|AP |min=Jb2 5 晶,-b2=1，此時(shí)存在雙曲線方程為【解后歸納】給出雙曲線的漸近線,形式.22 X2=1.4并不能確定焦點(diǎn)的方位，故要討論雙曲線的兩種【例21已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)(4,(10 ).(1)求雙曲線方程;若點(diǎn)M(3, m)在雙曲線上，求證：MF1丄MF2；求 F1

15、MF2的面積.【解前點(diǎn)津】因e=Q，所以c2=2a2=a2+b2 a2=b2，故雙曲線方程為等軸雙曲線,因焦點(diǎn)位置沒(méi)有確定，故可設(shè)雙曲線方程為x2 y2=入(入工0).【規(guī)范解答】(1) e=J2 , c2=2 a2=a2+ b2a2=b2,；雙曲線方程可設(shè)為：x2 y2=入，T點(diǎn)(4, J10 )在雙曲線上，16 10=入，即入=6,故雙曲線方程為：x2 y2=6.由(1)知：F1( 2j3，0)，F(xiàn)2(2j3，0), kMF1尋陥2m k ? k7= , kMF1 ? kMF23 2V3m29 12m2kMF1 ? kMF2 = 1，二 MF1 丄 MF2.點(diǎn)(3, m)在雙曲線上， 9

16、m2=6, m2=3，故 F1MF2 的底 |F1F2|=4J3 , F1F2 的高 h=|m|=73 , S f1mf2 =6.【解后歸納】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線方程的統(tǒng)一形式可設(shè)為2 2m X + n y =1( mn<0).(六)點(diǎn)差法的運(yùn)用例1、過(guò)點(diǎn)P(8,1)的直線與雙曲線X2 4y2 4相交于A, B兩點(diǎn)，且P是線段AB的中點(diǎn),求直線AB的方程.解 設(shè)A, B的坐標(biāo)分別為(xi, yj, (x2y2),則x： 4%2 4, x； 4y2 4,2424x；"2,推得,(X1X2)(X1X2)4(y1y2)(y1y?)0X； 4y；4,y1y2X1X2X1X24( y1 y2)P(8,1)是段 AB的中點(diǎn)，X1 X216, y1 y 2.2,故直線AB的斜率為2,其方程為y 12(x 8)即 2x y 150.2例2對(duì)于雙曲