定積分的應(yīng)用習(xí)題集與規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案

1、第六章 定積分的應(yīng)用1、求由下列各曲線所圍成的圖形的面積lx2 與 x22y2 8(兩部分都要計(jì)算)-與直線xe x與直線x2a cos35) X a cost， y asin't1、求由擺線xa t si nt , ya 1 cost的一拱0 t 2與橫軸所圍成的圖形的面積2、求對(duì)數(shù)螺線ae及射線所圍成的圖形的面積3、求由曲線ysin X和它在x?處的切線以及直線X所圍成的圖形的面積和它繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積4、由yX3 , x2 , y 0所圍成的圖形，分別繞 x軸及y軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算所得兩旋轉(zhuǎn)體的體積5、計(jì)算底面是半徑為 R的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角

2、形的立體體積6、計(jì)算曲線y晉3 x上對(duì)應(yīng)于1 X 3的一段弧的長(zhǎng)度337、計(jì)算星形線 x a cos t , y a si nt的全長(zhǎng)8、由實(shí)驗(yàn)知道，彈簧在拉伸過(guò)程中，需要的力F （單位：N ）與伸長(zhǎng)量S （單位：cm ）成正比，即：F kS（ k是比例常數(shù)），如果把彈簧內(nèi)原長(zhǎng)拉伸6cm，計(jì)算所作的功o9、一物體按規(guī)律 X Ct作直線運(yùn)動(dòng)，介質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體由X 0移到x a時(shí)，克服介質(zhì)阻力所作的功1 0、設(shè)一錐形儲(chǔ)水池，深 15m，口徑20m，盛滿水，將水吸盡，問(wèn)要作多少功?有一等腰梯形閘門(mén)，它的兩條底邊各長(zhǎng)10cm和6cm，高為20cm，較長(zhǎng)的底邊與水面相齊，計(jì)算閘門(mén)的

3、一側(cè)所受的水壓力1 2、設(shè)有一長(zhǎng)度為，線密度為U的均勻的直棒，在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn) M的引力(B)1、設(shè)由拋物線y22px p1）求D的面積S ;2 ）將D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積2、求由拋物線yX2及x所圍成圖形的面積，并求該圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體3、求由 y sin X , ycosx，x 0，x -所圍成的圖形的面積，并求該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積4、求拋物線y2 2px及其在點(diǎn) 號(hào)，P處的法線所圍成的圖形的面積30與直線X y 2 P 所圍成的平面圖形為 D5、求曲線yX2 2x 4在點(diǎn)M 0,4處的切線MT與曲線寸 2

4、 x 1所圍成圖形的面6、求由拋物線y24ax與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值7、求由下列曲線所圍成圖形的公共部分的面積3cos1 cosa sina cos sin8、由曲線x2y 5 216所圍成圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積9、求圓心在0,b半徑為a， b a 0的圓，繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)狀體的體積10、計(jì)算半立方拋物線 y232 X1被拋物線y2-截得的一段弧的長(zhǎng)度3(C)1、用積分方法證明半徑為R的球的高為H的球缺的的體積為Si , S2的和V h2rH2、分別討論函數(shù)y sinx 0 x 2在取何值時(shí)陰影部分的面積S S1 S2取最大值和最小值3、求曲線y Jx 0 X 4上的一

5、條切線，使此切線與直線x 0， x 4以及曲線yyfx所圍成的平面圖形的面積最小4、半徑為r的球沉入水中,球的上部與水面相切，球的密度與水相同,現(xiàn)將球從水中取出,需作多少功?第六章定積分應(yīng)用習(xí)題答案In 2a210、a22a :一 e412876458、6a0.18kJ空kc3a3 (其中7k為比例常數(shù))11、57697.5 kJ12、14373 kN13、取y軸經(jīng)過(guò)細(xì)直棒1Fy Gmu aFxGmu(B)1、1)Sp 33p尹dy16 2J2px J2px dxP x J2px dx16 2 訐p3pP3p2 2y ,2723dy p2p1521 L0(X x04 cosx4、拋物線在點(diǎn)5、

6、MT : ysin x dx2cosx專(zhuān),Psinx2 sinx4處的法線方程為:2x ,切線JxX2 2 dxcosx dxsinxMT與曲線y2cosxdx以下解法同第一題 A p23的交點(diǎn)坐標(biāo)為3,1 ，3, 221 dy則弦所在直線的方程為 ytanx a由ytan2x a， y4 ax得兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y12a ctgcsc2a ctgcscy22所以Ayayctgydyy14a4a21 csc4a2 ctg2csc4 2-a3csc36、提示：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦的傾角為3,04a2csc4 2-a csc38-a csc3因?yàn)?csc3取得最小值為時(shí)過(guò)焦弦與拋物線4ax所圍成的圖形面積cs

7、c3最小12 31 10 2cos器 3cos2d122a sin cos2dJ16 x22dx5 Jl6x22dxdx160 29、解法同題10、提示:聯(lián)立得交點(diǎn)2、屁2,T2,由y2于是y于是得S3所求弧長(zhǎng)sy3'2dx12x 1 4277-x 13121 J|xdx1、證明：此處球缺可看作由如圖陰影（圖(C)R2的一部分）繞y軸旋轉(zhuǎn)而成R所以V RHx2dyR2dyR2yR2亍R3H22、解：S1tsin tsin x dxS2sinx si nt dx31sin x sint dxtS t Sint sin x dx +1= 2C0St 2t 勺sin t 1cost0 ,得駐點(diǎn)t1易知St1 0t2SmaxS2SminQ2 13、解：設(shè)x0, y0為曲線上任一點(diǎn)，易得曲線于該點(diǎn)處的切線方程為:1y y0 » x02応得其與x 0, x4的交點(diǎn)分別為y。0,24'H于是由此切線與直線4以及曲線y Jx所圍的平面圖形面積為:dx問(wèn)題即求S所以當(dāng)x2/x02眉1634Tx0得唯一駐點(diǎn)2時(shí)，S最小416菽34的最小值2 且為唯一極小值即所求切線即為：y島號(hào) 4、如圖：以水中的球心為原點(diǎn)，上提方向作為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系易知