對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

1、§ 6對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形一、實對稱矩陣的一些性質(zhì) 引理1設(shè)A是實對稱矩陣，則A的特征值皆為實數(shù).證：設(shè) 是A的任意一個特征值，則有非零向量X2IXn丿/X1X2,其中Xi為Xi的共軛復(fù)數(shù),兇丿又由A實對稱，有A=a, a = a,-航工（）0©）書（A©戶A卜=喬：©=（；oE）-ToE匕考察等式，s譏羔。譏 由于匕是非零復(fù)向量，必有E : =X1X, +X2X2 +11( +XnXn 工0>0 - R.引理2設(shè)A是實對稱矩陣，在n維歐氏空間Rn上定義一個線性變換 b如下:b (a)= At,/a 亡 Rn則對任意a邛Rn,有9( a),丹=(。9

2、)»證：取Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,001川I, % =0引=+,名2 =rI-44<0>則b在基知,£2,川,®下的矩陣為A，即=為名1 +X2si 1x竝待邃2，n名X，b (引，$2 川 i，Sn) = ( , £2 , i I I, En ) A任取 a =X2*,y2*Ixn丿lyn丿-Rn,即 a=%勺 +y2® + +丫啟三g,®,，En )Y,于是CT (Ct )=crg,名2,IIMn )X=g,g2,lll,% )AX,b(P )=(%, I IMn )Y=g,S,Hl3n )AY,又名 1,咕川鳥是標(biāo)準(zhǔn)正

3、交基,/. (b(a)P ) =(AX )Y =(XA'W =XAY= X'(AY ) = (Sb(P)又注意到在Rn中a = X , P = Y,即有P YAQ )=( "(a )=(cr(a ), P )=(a,b (鬥)=a Y AP ).二、對稱變換1定義設(shè)b為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足(cr(a ), P ) = (ot,b(鬥)，/a, P 亡V,則稱b為對稱變換.2.基本性質(zhì) 1) n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下是相互確定的: 實對稱矩陣可確定一個對稱變換.事實上，設(shè)ARnY AA,名1,%川,耳為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.定義V

4、的線性變換b:bg,S2,lli, % )=(卸，名2,川, )A則b即為V的對稱變換. 對稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實對稱矩陣.事實上，設(shè)b為n維歐氏空間V上的對稱變換，茸名2,川，塔為V的一 組標(biāo)準(zhǔn)正交基，A = (aij戶Rn為b在這組基下的矩陣，即b2i,S2,IIMn名 2,川屛)Abg )=£1潭1+&2飛 +川+ annn=無 ak 戸水 i =1 , 21,1 n ,k#工曰fn) n于疋 (CT e ),引)=£ aki名k,引aki(Wk,Ej )= aji (Ej, Ej)= ajif n、(Ej,b(£()= Ej,S aMk (

5、 = 2 akj (弟環(huán))Vk生丿=aij (坷倚)=aij由CT是對稱變換，有 （CT （勺）gj ） = （gj,b（£j ）即ai j = a j i i, > 1,21, n,所以A為對稱矩陣.2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補也是它的不變子空間.證明：設(shè)b是對稱變換，W為口的不變子空間.對pa <：W丄,要證Rot盧W丄,即證b（ot盧W任取P <W,由W是b子空間，有b（P盧W.因此(b ( a), B = ( p (b )汗 0即 b(a UW,cr(a )丄W丄.故W丄也為b的不變子空間.三、實對稱矩陣的正交相似對角化1.（引理4）實對稱矩陣

6、屬于不同特征值的特征向量是正交的.證:設(shè)實對稱矩陣A為Rn上對稱變換b的在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣,屮是A的兩個不同特征值,0沖分別是屬于 屮的特征向量.貝J,a b(,P由(cr(T P )=(邙,cr(P )三、實對稱矩陣的正交相似對角化1.（引理4）實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量是正交的.證:設(shè)實對稱矩陣A為Rn上對稱變換b的在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣,是A的兩個不同特征值,J,P分別是屬于A卍的特征向量.b(a)= A 供 A ,a b( P )=Apa = AP ,(cr(G ), P ) =(G,cr(P )即a ,P正交.2.（定理7）對A忘Rn3 AA,總有正交矩陣T,使TAT =TA

7、T =diag(Zi,k2,|護(hù)n ).證：設(shè)A為Rn上對稱變換b在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣.由實對稱矩陣 和對稱變換互相確定的關(guān)系，只需證b有n個特征向量作成的標(biāo)準(zhǔn)正 交基即可.對Rn的維數(shù)n用歸納法.n=1時，結(jié)論是顯然的.假設(shè)n-1時結(jié)論成立，對Rn，設(shè)其上的對稱變換b有一單位特征向 量，其相應(yīng)的特征值為，即b （叫）=中1,設(shè)子空間LpiPW,顯然W是b子空間，則W丄也是b子空間，且W©M= R,dim= n1又對 ya P壬w+有(b|w丄W )卩)=(b(a ) P )=(0 b,(鬥爐 b W丄(P )所以b w丄是w丄上的對稱變換.由歸納假設(shè)知CT |w丄有n1個特征向量a

8、 2,(/3,川,£構(gòu)成W丄的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.從而802,4，川,Gn就是Rn的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，又都是Rn的特征向 量.即結(jié)論成立.3.實對稱矩陣正交相似實對角矩陣步驟設(shè) ARn 刈，a'=A(i)求出A的所有不同的特征值：幾1幺2,川,幾忘R,r其重數(shù)ni,n2,川,nr必滿足送山=n;i呂(ii) 對每個人，解齊次線性方程組(ZE -A)X =0求出它的一個基礎(chǔ)解系：叫,円2,川a.i1 j5i2，T Hin它是A的屬于特征值人的特征子空間 叫的一組基.把它們按schmidt正交化過程化成V扎的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基5衛(wèi)2,川,.iii)因為卄互不相同，所以V扎丄Vl (iHj)

9、3 1 n 1,211 ,n川川0訓(xùn)|)2, n蹴是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.厲11衛(wèi)2川1,%1，川川,叫川希的分量依次作矩陣T的第1, 2, n列，則T是正交矩陣，且使tAt-TAT為對角形.例1.設(shè)0f1-1-1 1f1-11-11 1 -1000T-111 1 -11i00011-1-1 111000丿(EA)XE - A =100011II-110-111-101-1】110求一正交矩陣T使TAT成對角形.解：先求A的特征值.疋-A =-1-110入-1Z-1. 21人-11-10Z -10A-1-11-100Z-1Z-11-1-11-1-1AA-1A-1.21 一人11扎1A-10Z-1

10、3=-(1)1010A-1兀-10113=仏一1 )(A +3)A的特征值為打=1 （三重）23.其次求屬于1=1的特征向量,即求解方程組得其基礎(chǔ)解% =(1,100 )“ 2 =(101,0 )% =(1,0,0,1 )把它正交化，得（1/1 11,-丄,1,0122P =a ("2,卩1)卩=12 一 2(p1,p1)-(P1,卩1 廠(02, 02 ) 2 k 3再單位化，得p1P2<1113P2P = ,3 I屁,辰'屁屁丿這是特征值Zi=1 （三重）的三個單位正交特征向量，也即是特征子空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.Aj再求屬于h= -3的特征向量，即解方程組(-3E

11、 -A)X =010-22-22-2000-2>00.0110>得其基礎(chǔ)解=(1,1,1,1),再單位化得*4 二 n4 Q 2 2'2 丿r-3-1-11、'-4-4-4-1-31-1-1-31-1T-111-3-1-11-3-11u-1-1-3丿1u-1-1-3丿f1111 )1 001)3E - A =這樣一二巴工構(gòu)成R4的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們都是 A的特征向量,正交矩陣Udi,"使得（1TAT =注:4211爲(wèi)1一忑276一3丿1"晁11晁31、21"2"212丿對于實對稱矩陣A，使diag (V 4nMn)成立的正交

12、矩陣不是唯一的.而且對于正交矩陣T,還可進(jìn)一步要求T =1.事實上，如果由上述方法求得的正交矩陣T AT = diag （Z,初,IH,治）,則TTS是正交矩陣且T1HTI 滬1,取正交矩陣 S=diag1,1" ）1 ,同時有T1'a11 =（TS ）'A（TS ） = S'（T At ）Sf-11、*a幾2*f-1'1r111*b*1I1r1V1丿= diag（）1, IIMn ）如果不計較主對角線上元素的排列的次序，與實對稱矩陣A正交相似的對角矩陣是唯一確定的. 因為正交相似的矩陣也是互相合同的，所以可用實對稱矩陣的特 征值的性質(zhì)刻畫其正定性:設(shè)

13、打川 為實對稱矩陣A的所有特征值(i) A為正定的二扎n 0(ii) A為半正疋的二0(iii) A為負(fù)定(半負(fù)定)的少kno“MO)(iv) A為不定的入n VO且AO 實對稱矩陣A的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為正、負(fù)特特征值的個數(shù)(重 根按重數(shù)計).n 秩(A)是O為A的特征值的重數(shù).四、實二次型的主軸問題1解析幾何中主軸問題將R2上有心 二次曲線或R3上有心二次曲面通過坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)化成標(biāo) 準(zhǔn)形，這個變換的矩陣是正交矩陣.2.任意n元實二次型的正交線性替換化標(biāo)準(zhǔn)形1)正交線性替換如果線性替換X=C Y的矩陣C是正交矩陣，則稱之為正交線性替換.2)任一 n元實二次型n nf (Xi,X2,ilLXn

14、) = S 2 OtjXiXj,irn j#都可以通過正交的線性替換X =CY變成平方和其中平方項的系數(shù)打,扎2，川，人為A的全部特征值.例2、在直角坐標(biāo)系下，二次曲面的一般方程是ai iX + a2 2y +a3 3左a32x za3 yz+2bi X + 2 b y+2 b z d0ai 1a1 2 a3fb '1a2 1a2 2 a,B=1 b,X =y©3 1a3 2 aJi 3vb丿3<z>（1）式可以寫成X AX +2BX +d =0.（2）中的A丄A迂R3顯有正交矩陣C （且C =1）確定的坐標(biāo)變換公2匕1C12C13 Yx, 'ly11C21C22C231 y1lz丿1111%C32C33丿1乜丿C AC = diag （打、吃,為）,或 X = CX這樣由（2）知道經(jīng)過由X=CX1的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，曲面（1）的方程化/1x2 + 入 2y2 廣幾