立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_典型方法總結(jié)

1、數(shù)學(xué)必修（二）知識(shí)梳理與解題方法分析第一章 空間幾何體一、本章總知識(shí)結(jié)構(gòu)二、各節(jié)內(nèi)容分析1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)1. 本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)冏單如舍休的結(jié)鞫輕杠1.2空間幾何體三視圖和直觀圖1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)廠I柱，惟、臺(tái)、球的三彳尾田空何幾何體的三視圖空間幾何休的t觀ffl1.3空間幾何體的表面積與體積1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)OBA三、高考考點(diǎn)解析 本部分內(nèi)容在高考中主要考查以下兩個(gè)方面的內(nèi)容:1.多面體的體積（表面積）問題;2. 點(diǎn)到平面的距離（多面體的一個(gè)頂點(diǎn)到多面體一個(gè)面的距離）問題一“等體積代換法”。（一）多面體的體積（表面積）問題1.在四棱錐P ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，/ DAB = 60二

2、對(duì)角線AC與BD 相交于點(diǎn)0, P0丄平面ABCD , PB與平面ABCD所成的角為60 .（1）求四棱錐P ABCD的體積； 【解】（1）在四棱錐P-ABCD中，由P0丄平面ABCD,得/ PB0是PB與平面 ABCD所成的角，/PBO=60 .在 Rt A0B 中 B0=ABsin30 =1,由 P0丄 B0,于是，P0=B0ta n60 =73,而底面菱形的面積為 2 43.1四棱錐 P-ABCD 的體積 V= _ X2 73 xJ3=2.32.如圖,長(zhǎng)方體ABCD- A1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點(diǎn),M、N分別是AE、CDi 的中點(diǎn)，AD=AA 1 =a,AB=2a

3、,（川）求三棱錐 P DEN的體積。 【解】1 1J a Ja2 +4a2445 2=a4S（川）S曲EP = 2 S矩形 ECDf = 4 BC 'CD1JD1作DQ丄CDi,交CDi于Q，由ADi丄面CDDiCi得ACi丄DQ DQ 丄面 BCDjA在 RUCDD1 中,CD DD1 2a a 2DQpIII II 1 J r池；j.:沁:%曲.AJVP _DEN =Vd _ENPa2 Aa3 4751 3=一 a 。6（二）點(diǎn)到平面的距離問題一“等體積代換法”1如圖，四面體 ABCD中，0、E分別是BD、BC的中點(diǎn),CA =CB =CD =BD =2, AB = AD =72.（

4、III ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離?！窘狻浚℉I ）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.I t1 VE JCD =VAqDE ,DE -中在 MODC =A,D=A2 D,1 J3而 AO =1,S 心de =5% 才 X22h = AQ.S曲DE s當(dāng)D點(diǎn)E到平面ACD的距離為互72.如圖，已知正三棱柱 ABC-ABiG的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)為1, M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上G的點(diǎn)，且CN = 2CiN 。(n)求點(diǎn)B1到平面AMN的距離?！窘狻?n)過Bi在面BCCiBi內(nèi)作直線BiH丄MN , H為垂足。又AM丄平面BCC1B1，所以AM丄B1H。于是B1H丄平面AMN,故BiH即為

5、3到平面 AMN 的距離。在 RiB1HM中，B1H =BiM sin BHX J1 1 =1。故點(diǎn)b1到平面AMN的距離R、為1。0B、0C 兩兩垂用AGi #3如圖，已知三棱錐O - ABC的側(cè)棱OA、 直，且 OA=1 , OB=OC=2 , E是OC的中點(diǎn)。(1)求O點(diǎn)到面ABC的距離；B【解】(1)取BC的中點(diǎn)D，連AD、OD。7o B= O C 則 OD 丄 BC、AD 丄 BC, BC丄面OAD。過O點(diǎn)作OH丄AD于H , 則OH丄面ABC , OH的長(zhǎng)就是所要求的距離。BC =22, OD =Joc2 -CD2 =72。TOA 丄 OB, OA 丄 OC, OA 丄面 OBC，

6、貝y OA丄 OD。AD =JOA2 +OD2 =75，在直角三角形oa OD 72 76OAD 中，有 OH =- Lad75（另解I：由VoBC SBC OH3UOAQBQCU 知: oh=£)第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系、本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)一衢間乍仃r至送兩的轉(zhuǎn)化二、各節(jié)內(nèi)容分析2.1空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)2.內(nèi)容歸納總結(jié)（1 ）四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語(yǔ)言：A , B ,且 A a,Ba = a。公理2 :過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。三個(gè)推論：它給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)。公理3

7、:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直 線（兩個(gè)平面的交線）。符號(hào)語(yǔ)言：P ca,且P忘 0=訶, P1。公理4:（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號(hào)語(yǔ)言：a / ,且 b/ = a / b。（2）空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1.概念 異面直線及夾角I：把不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做I異面直線I。已知兩條異面直線 a,b，經(jīng)過空間任意一點(diǎn) 0作直線a7/a,b7/b，我們把a(bǔ)'與b所成的角（或直角）叫 異面直線a,b所成的夾角。（易知：夾角范圍Ov0 <90°）回：空間中如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊分別平

8、行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。（注意：會(huì)畫兩個(gè)角互補(bǔ)的圖形）卄荷舌”相交直線：；共面直線42.位置關(guān)系： <平行直線：；異面直線：. ua擊/4亠十古從2.直線與平面相交:直線在平面外13.直線與平面平行:（3）空間中直線與平面之間的位置關(guān)系ih = A/a1.直線在平面內(nèi):直線與平面的位置關(guān)系有三種：（4）空間中平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種 ：P.兩個(gè)平面平行："/12.兩個(gè)平面相交：=2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)2.內(nèi)容歸納總結(jié)（1 ）四個(gè)定理定理定理內(nèi)容符號(hào)表示分析解決問題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直 線與平面

9、內(nèi)的一條直 線平行，則該直線與 此平面平行。aHa,bua,且 allb=a/a在已知平面內(nèi)“找出” 一條直線與已知直線平行 就可以判定直線與平面平 行。即將“空間問題”轉(zhuǎn)化 為“平面問題”平面與平面平行的判定一個(gè)平面內(nèi)的兩 條相交直線與另一個(gè) 平面平行，則這兩個(gè) 平面平行。au P,bu P, aflb = P,a/a,b/a =P/a判定的關(guān)鍵：在一個(gè)已 知平面內(nèi)“找出”兩條相交 直線與另一平面平行。即將 “面面平行問題”轉(zhuǎn)化為 “線面平行問題”直線與平面 平行的性質(zhì)一條直線與一個(gè) 平面平行，則過這條 直線的任一平面與此 平面的交線與該直線 平行。a/a,auP,anP=b=a/b平面與平

10、面平行的性質(zhì)如果兩個(gè)平行平 面同時(shí)和第三個(gè)平面 相交，那么它們的交 線平行。a / P,a n Y =a, 叩丫 = b= a/ b（2）定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化兩平面平行問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以在解題時(shí)應(yīng)注意“轉(zhuǎn)化思想”的運(yùn)用。這種轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)上就是：將“高維問題”轉(zhuǎn)化 為“低維問題”，將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題” 。2.3直線、平面平垂直的判定及其性質(zhì)1、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)性*2.內(nèi)容歸納總結(jié)（一）基本概念1.直線與平面垂直：如果直線I與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線I與平面a垂直，記作I丄a。直線I叫做平面a 的垂線，平面a叫做直線I

11、的垂面。直線與平面的公共點(diǎn)P叫做垂 足。2.直線與平面所成的角:角的取值范圍：0<&<90。3. 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱， 這兩個(gè)半平面叫做二面角的 面。二面角的記法: 二面角的取值范圍：0<日<180° 兩個(gè)平面垂直：直二面角。（二）四個(gè)定理定理定理內(nèi)容符號(hào)表示分析解決問題的常用方法直線與平面垂直的判定一條直線與一個(gè) 平面內(nèi)的兩條相交直 線垂直，則該直線與 此平面垂直。m、n g, mPln =P, 且a丄m, a丄n=a丄。在已知平面內(nèi)“找出” 兩條相交直線與已知直線 垂直就可以判定直線與平

12、 面垂直。即將“線面垂直” 轉(zhuǎn)化為“線線垂直”平面與平面垂直的判定一個(gè)平面過另一 平面的垂線，則這兩 個(gè)平面垂直。au P,a丄= P 丄a（滿足條件與a垂直 的平面P有無數(shù)個(gè)）判定的關(guān)鍵：在一個(gè)已 知平面內(nèi)“找出”兩條相交 直線與另一平面平行。即將 “面面平行問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問題”直線與平面 垂直的性質(zhì)同垂直與一個(gè)平 面的兩條直線平行。a 丄a,b 丄 = a/b直踐與平*垂AI羊面易平面垂工平*烏平*蚤直平面與平面垂直的性質(zhì)兩個(gè)平面垂直， 則一個(gè)平面內(nèi)垂直與 交線的直線與另一個(gè)平面垂直。a 丄 P,anP = l,au P a丄丨=a丄a,解決問題時(shí)，常添加的輔助線是在一個(gè)平面內(nèi)作

13、兩平面交線的垂線（三）定理之間的關(guān)系及其轉(zhuǎn)化：兩平面垂直問題常轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直， 而直線與平面垂直又可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂 直，所以在解題時(shí)應(yīng)注意從“高維”到“低維”的轉(zhuǎn)化，即“空間問題”至U “平面問題”的轉(zhuǎn)化。訕艸fit慕迄何的轉(zhuǎn)化二、咼考考點(diǎn)解析第一部分、三類角（異面直線所成的夾角、直線與平面所成的角、二面角）的求解問題（一）異面直線所成的夾角與異面直線的公垂線1 .異面直線所成的夾角是本部分的重點(diǎn)和難點(diǎn)更是高考的考點(diǎn)。異面直線所成的角的大小是刻劃空間兩條異面直線的相關(guān)位置的一個(gè)量，掌握好概念是解題的關(guān)鍵，其思維方法是把兩條異面直線所成的角通過“平移法”轉(zhuǎn)化為“平面角”，然后證明這個(gè)角

14、就是所求的角，再利用三角形解出所求的角（簡(jiǎn)言之：“轉(zhuǎn)化角”、“證明”、“求角”）。以上三個(gè)步驟“轉(zhuǎn)化角”是求解的關(guān)鍵，因?yàn)檗D(zhuǎn)化的過程往往就是求解 的過程一一其目的就是將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題（角問題）”。AD與兩圓所在的平面均垂直,EDCF1.如圖所示，AF、DE分別是L O、 Q的直徑,AD =8.BC是L O的直徑，AB =AC =6,0E/AD。（II）求直線BD與EF所成的角?！窘狻浚↖I）第一步：將“問題”轉(zhuǎn)化為求“平面角” 問題根據(jù)定義和題設(shè)，我們只能從兩條異面直線的四個(gè)頂 點(diǎn)出發(fā)作其中一條直線的平行線，此題我們只能從點(diǎn) D作符合條件的直線。連結(jié)DO,則/ ODB即為所求的角

15、。第二步：證明/ ODB就是所求的角在平面 ADEF中，DE/AF，且 DE=AF，所以四邊形ODEF為平行四邊形所以DO/EF所以根據(jù)定義，/ ODB就是所求的角。第三步：求角由題設(shè)可知：底面 ABCD為正方形DA 丄 BC/ DA丄平面ABCDBCu平面ABCD又/ AF丄BC BC丄平面ADO DO丄BC DOB為直角三角形在 Rt ODB , BD =10DO =782 cosNODB =壓10（或用反三角函數(shù)表示為:ar")10中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，/ 相交于點(diǎn) O, PO丄平面ABCD , PB與平面 ABCD所成的角為2.在四棱錐P ABCD60 .（2）若E是PB

16、的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的 大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【解】（2）取AB的中點(diǎn)F，連接EF、DF.由E是PB的中點(diǎn)，得EF/ PA,/ FED是異面直線DE與PA所成角1（或它的補(bǔ)角）在 Rt AOB 中 AO=ABcos30 = j3 =OP,于是,在等腰Rt POA 中，PA= J6，則 EF=2在正 ABD和正 PBD 中，DE=DF= J3.1匚匚PEF T 丘cos/ FED= 2= -= DE4異面直線DE與PA所成角的大小是arccos旋43.如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),CA =CB =CD =BD=2, AB = AD =72.AB與C

17、D所成角的大小； 【解】本小題主要考查直線與平面的位置關(guān) 系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基本 知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算 能力。方法一 ：（II） 取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE,由 E 為 BC 的中點(diǎn)知 ME / AB,OE/ DC 二直線OE與EM所成的銳角就是異面直線 AB與 CD所成的角（II）求異面直線COME 中, EM 冷AB=f，OE =丄 DC = i,2Tom是直角 Moc斜邊ac上的中線,.”吳""oEm£二異面直線AB與CD所成角的大小為arccos24OC 兩兩垂直，且 OA=1 , OB=OC=2 ,A4

18、.如圖，已知三棱錐O-ABC的側(cè)棱OA OB、E是OC的中點(diǎn)。(2)求異面直線be與AC所成的角；R【解】(2)取OA的中點(diǎn)M,連EM、BM，貝U EM / AC，/ BEM是異面直線BE與AC所 成的角。G求得：EM，BE-OBBOE=，BM -/OM "cosNBEM =2 2 2BE2+ME2-BM222BE ME2 Z BEM =arccos。52.異面直線的公垂線問題異面直線的公垂線問題也是高考的考點(diǎn)之一。與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線 線都存在唯一的公垂線段.任何兩條確定的異面直1.如圖，在直三棱柱 ABCAB,G中，AB=BC,D、E分別為BBi

19、、ACi的中點(diǎn)。(I)證明：ED為異面直線BBi與ACi的公垂線;Cii【解】(I)設(shè)O為AC中點(diǎn)，連接EO, bo,貝y EO / -CiC,又Cid BiB，所以EoZ DB , EOBD為平行四邊形，ED / OB ./AB = BC,. BO丄AC,又平面 ABC丄平面 ACCiAi,BOU面ABC,/C故BO丄平面BiDBiDAACCiAi, ED丄平面 ED 丄 BBi,ACCiAi,ED 丄ACi,ED 丄 CCi,ED為異面直線 ACi與BBi的公垂線.2如圖,已知平面 ABC平行于三棱錐V-ABC的底面面與底面ABC垂直，且/ ACB=90，設(shè)AC =2a, BC =a（I）

20、求證直線 日G是異面直線 AB,與A G的公垂線;【解】解法1： （I）證明：平面 arg /平面ABC ,/. BiCi/BC,ACi/AC”B1C1 丄 AGABC ,等邊 ABiC所在的平C又平面ABiC丄平面ABC，平面ABiC n平面ABC = AC , BC 丄平面 ABiC ,/. BC 丄 AB/. BiG 丄 ABi ,又；AG c BiC =Ci , eg c ABi = B ./. BiG為ABi與AG的公垂線.（二） 直線與平面所成夾角i.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面為直角梯形，AD / BC ,NBAD =90 , PA 丄底面 ABCD，且 PA =AD=B

21、2M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)。（n）求CD與平面ADMN所成的角。【解】（II ）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)BG、NG ,則 BG/CD ,所以BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMND成的角相等.因?yàn)镻B丄平面ADMN ,所以NBGN是BG與平面ADMN所成的角.在 RtBNG 中，sin/BGN故CD與平面ADMN所成的角是arcsin e0。52.在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、所FeABCB圖2DP CBN 710BG " 5。AC、BC邊上的點(diǎn),的位置，使二面角滿足 AE:EB = CF:FA = CP:PB = 1:2（如圖 1）。將 AEF 沿 EF折起到

22、AAEFAi- EF- B成直二面角，連結(jié) AiB、AiP (如圖2)2(n)求直線AiE與平面AiBP所成角的大小;【解】不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為 3,則(II)在圖2中， AiE不垂直于 AiB , AiE是面AiBP的斜線，又 AiE丄面BEP,二AiE丄BP,. BP垂直于AiE在面AiBP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理)設(shè)AiE在面AiB P內(nèi)的射影為 AiQ，且AiQ交BP于Q,則/ EAiQ就是AiE與面AiBP所成的角，且BP丄AiQ。在 EBP 中， BE=B P=2 , / EBP=60° , EBP 為正三角形，二BE=EP。又 AiE丄面 BEP,. AiB=Ai

23、P,a Q 為 BP 的中點(diǎn)，且 EQ= J3，而 AiE=i ,在 Rt AiEQ 中，tanNEQ =_EQ = J3，即直線 AiE 與面 AiBP 所成角為 60°。AiE(三) 二面角與二面角的平面角問題i 如圖所示，AF、DE分別是L O、 Oi的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直,AD =8.BC是L O的直徑，AB =AC =6,OE/AD。(I)求二面角B-AD-F的大??；【解】(I)v AD與兩圓所在的平面均垂直， AD 丄 AB , AD 丄 AF ,故/ BAF是二面角 B AD F的平面角， 依題意可知，ABFC是正方形，所以/ BAF = 45°.

24、 即二面角B AD F的大小為45°EI）F2.如圖， 在平面外一點(diǎn)， BF的中點(diǎn)O。(n)求面P是邊長(zhǎng)為i的正六邊形ABCDEF所PA=i , P在平面ABC內(nèi)的射影為APB與面DPB所成二面角的大小?！窘狻窟B結(jié)AD，則易知AD與BF的交點(diǎn)為O。 (II)設(shè)M為PB的中點(diǎn)，連結(jié)AM , MD。T在蟲ABP中 PA =AB, PB 丄 AM ,斜線PB在平面ABC內(nèi)的射影為OB, BF丄AD。由三垂線定理得PB丄AD./. PB丄平面AMD .* MD u 平面 AMD ,/. PR 丄 MD.因此，NAMD為所求二面角的平面角。在正六邊形ABCDEF中，BD =BF= 20B =7

25、3, AD =2.1在 RtAAOP中，PA =1,OA = -,P O=PA=£在 Rt AB OP 中，PB = JP O2 +OB=，則 BM =-PB =乘2 2AM = Jab2 -BM 2 =亟,mD42 2 2在 MMD中，由余弦定理得 coAMMA MD AD 2 MA 'MD因此，所求二面角的大小為arccos(-G05).353.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB丄AC，PA丄平面ABCD，且PA=AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).(川)求二面角 E-AC-B的大小.【解】(川)如圖，取AD的中點(diǎn)F,連EF，F(xiàn)O,則EF是 PAD的中位線，/. E

26、F/PA又PA丄平面ABCD，”EF丄平面ABCD同理 FO 是 ADC 的中位線，”.FO/AB”.FO_LAC由三垂線定理可知 /.Z EOF是面角E AC D的平面角.1又 FO = AB21=-PA= EF。2/.ZEOF = 45怖二面角E AC B與二面角EAC D互補(bǔ)，故所求二面角E-AC-B的大小為135。PBC4.如圖，已知四棱錐 P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形， AB / DC ,AC丄BD,AC與BD相交于點(diǎn)O,且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，又BO =2, PO = J2, PB丄PD .(n)求二面角 p AB C的大小；【解】 :PO丄平面ABCD ,二PO丄

27、BD又 PB 丄 PD,BO =2,P0 =72，由平面幾何知識(shí)得： OD=1, pd=J3, pb=J6（n）連結(jié)0E，由（I）及三垂線定理知，NPEO為二面角P-AB-C的平面角二 sinZPEO =竺=返PE 2” .NP EO =45°二二面角P- AB-C的大小為45°a , B 3，點(diǎn)a在直線 求：5.如圖,a X 3 , a n 3 =l , a 影為 B1,已知 AB=2,AA 1=1, BB1=72,(II)二面角A1 AB B1的大小?！窘狻?(n)T BB1丄a ,平面ABB。在平面a內(nèi)過A1作A1E丄AB1交AB 1于E,則AjE 丄平面 AB1B。

28、過E作EF丄AB交AB于F，連接 AjF, 則由三垂線定理得 A1F丄AB ,/ A1FE就是所求二面角的平面角在 Rt ABB1 中，/ BAB 1=45 °AB1=B1B=返 Rt AA 1B 中，A1B=pAB2 AA 12 =寸4 1 =筋。由 AA1 A1B=A1F AB 得AA 1 A1BA1F=b上的射影為Ai，點(diǎn)B在I的射第19題內(nèi)1_ 逅2 = 2，/AiE 並Sin / AiFE = = tf6在 Rt AiEF 中,面角 Al AB B1的大小為arcsin.B第二部分空間直線、平面的平行問題將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”的“轉(zhuǎn)化思想”（一） “線線平行”與“

29、線面平行”的轉(zhuǎn)化問題1 如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD，且PA=AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).（n）求證：PB/平面AEC ;【解】 證明本題的關(guān)鍵：在平面 eac中“找” 一條與 PB平行的直線，由于點(diǎn) E在平面PBD中，所以可以在 平面PBD中過點(diǎn)E “找”（顯然，要“找”的直線就是 平面PBD與平面EAC的交線）。最終將“線面平行”問題轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題。(n)連接 BD，與AC相交與0,連接E0, ABCD是平行四邊形/. 0是BD的中點(diǎn)又E是PD的中點(diǎn)，/. E0/PB.又PB 平面 AEC , E0 U平面AEC , 二 PB "平面 AEC。2.如圖，邊三角

30、形，棱(1)證明在五面體 ABCDEF中，點(diǎn)0是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，面 CDE是等1EF /-BC .=2F0/平面 CDE ;(2)設(shè)BC = J3CD，證明E0丄平面CDF .【解】分析通上題。(I)證明：取 CD中點(diǎn)M ,連結(jié)0M.10M/ BC ,又=2在矩形ABCD 中。EF/1BC ,=2則EF/0M，連結(jié)EM，于是四邊形EF0M為平行四邊形./. F0 / EM又；F0區(qū)平面CDE，且EM U平面CDE，v F0 /平面CDE“線面平行”與“面面平行”的轉(zhuǎn)化問題面 MNK /面 ADDiAi MN / 面 ADDiAi2.如圖,長(zhǎng)方體ABCD- A1B1C1D1中,于是我

31、們就輕松的可以找到另一個(gè)比較特殊的中點(diǎn)E、P分別是C比較復(fù) “面面平行” 都是中點(diǎn)，KCD1 的中點(diǎn)，AD=AA 1 =a,AB=2a,(I)求證：MN / 平面 ADD1A1 ;【證明】 本題如果利用“線線平行”找“線” 雜(不是不可以)，所以我們可以考慮利用 來將問題轉(zhuǎn)化。關(guān)鍵是：考慮到點(diǎn)(0C的中點(diǎn))，將“線面平行”問題轉(zhuǎn)化為“面面平行”問題。(I)取CD的中點(diǎn)K ,連結(jié)MK,NK M , N,K分別為AK,CDi,CD的中點(diǎn)v MK /AD,NK /DD1 MK /面 ADDjA , NK/ 面 ADDjA第三部分 空間直線、平面的垂直問題圖4將“空間問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題”轉(zhuǎn)化思想。

32、ABCD -ABiGDi是正四棱柱,c(一) “線線垂直”到“線面垂直”1.如圖，ABCD -ABCiDi是正四棱柱。(I)求證：BD丄平面ACC1A ；【解】 根據(jù)直線與平面平行的判定定理很容易找到兩條 相交的直線AC、AiA與BD垂直。 CCi 丄平面 ABCD ,BD 丄 CCi ,/ ABCD是正方形， BD丄AC又/ AC , CCiU 平面 ACGA，且 AC n CCi=C , BD 丄平面 ACCIA 。2. 如圖，四面體 ABCD中，O、E分別是BCCA =CB =CD =BD =2, AB = AD =72.(I)求證：AO丄平面BCD ;【解】(I)證明：連結(jié)OCBO =

33、DO,AB =AD,. AO 丄 BD.,BO = DO, BC =CDf. co 丄 BD.在 MOC中，由已知可得 AO =I,CO = J3.而 AC =2,/. AO2 +CO2 = AC2,NAOC =90°,即 AO 丄 OC.YBD riOC =O,”AO丄平面的中點(diǎn),BD、棱錐3 .女0圖 4,已知兩個(gè)正四CP ABCD與QABCD的高分別為I和2, AB = 4。(I)證明：PQ丄平面ABCD ；【解】(I)取因?yàn)镻 ABCD 從而AD丄平面PQM。又PQU平面PQM，所以PQ丄AD。 同理PQ丄AB，所以PQ丄平面ABCD。AD的中點(diǎn)M，連接PM、QM。與Q ABCD都是正四棱錐，所以 AD丄PM , AD丄QM。9.在正三角形 ABC中，E、F、P分別是 AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足 AE:EB = CF:FA=CP:PB = 1:2 (如圖1)。將 AEF沿EF折起到 Mi EF的位置，使二面角 Ai EF B成直面角，連結(jié) A1B、A1P(如圖2)(I)求證：A1E丄平面BEP;【解】不妨設(shè)