信號(hào)及系統(tǒng)第3章

1、第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.1 信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解3.2 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分解周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分解3.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜3.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜3.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)3.6 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換3.7 帕塞瓦爾定理與功率譜、能量譜帕塞瓦爾定理與功率譜、能量譜3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻域分析的連續(xù)時(shí)間信號(hào)頻域分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析由第二章的討論可知, 連續(xù)信號(hào)可以分解為一系列沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的線性組合, 這種分解的方法不僅

2、是信號(hào)時(shí)域分析的基礎(chǔ), 同時(shí)也為求解連續(xù)信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)帶來(lái)了很大的方便。 信號(hào)分解的方法不是唯一的, 本章將介紹信號(hào)的另一種分解方式, 即將連續(xù)信號(hào)分解為一系列正交函數(shù)的線性組合。 當(dāng)正交函數(shù)是正弦函數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)時(shí), 這種分解方式稱為信號(hào)的傅里葉分解。 由于分解后的變量是頻率, 因此這種信號(hào)分解方式也稱為信號(hào)的頻域分析或傅里葉分析。 傅里葉分析的研究與應(yīng)用至今已經(jīng)歷了一百余年。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析1822年, 法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉 (J.Fourier, 17681830)在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)提出并證明了將周期信號(hào)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)的原理, 奠定了傅里葉級(jí)數(shù)的理論。 其后, 泊松(

3、Poisson)、高斯(Gauss)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中。 如今, 傅里葉分析作為信號(hào)與系統(tǒng)分析的最強(qiáng)有力的工具之一, 廣泛地應(yīng)用于電子工程、 無(wú)線電、 力學(xué)、 光學(xué)、 量子物理等眾多科學(xué)和工程領(lǐng)域。本章首先介紹了信號(hào)的正交分解原理, 周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分解, 由此引出傅里葉變換及信號(hào)頻譜的概念。 然后, 重點(diǎn)討論了典型信號(hào)的頻譜及其傅里葉變換性質(zhì), 研究信號(hào)的頻域特性。 最后還簡(jiǎn)要介紹了帕塞瓦爾定理及功率譜和能量譜的概念。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.1信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解把信號(hào)分解為某些基本信號(hào)的線性組合, 是分析線性系統(tǒng)的基本出發(fā)點(diǎn), 而信號(hào)的正交分解在某種意義上與矢

4、量的正交分解有相似之處。 本節(jié)首先從矢量的正交分解入手, 再用類(lèi)比的方法介紹信號(hào)的正交分解。 3.1.1矢量的正交分解矢量的正交分解兩個(gè)矢量正交, 在幾何意義上是指兩個(gè)矢量相互垂直, 如圖3.1(a)所示。 兩矢量V1和V2相互正交時(shí), 其夾角為90, 點(diǎn)積為零, 即V1V2=|V1|V2| cos90=0 (3.1)第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析在二維空間上, 相互正交的矢量V1和V2構(gòu)成一個(gè)正交矢量集， 而且是完備的正交矢量集, 這樣, 平面空間上的任意矢量A就可以精確地分解為V1和V2的線性組合, 如圖3.1(b)所示, 用數(shù)學(xué)表示為A=C1V1+C2V2 (3.2)式中, V1V2=0,

5、 C1、 C2為各分量的加權(quán)系數(shù), 且為(3.3)(3.4)11111cosVAVVVAC1=22222cosVAVVVAC2=第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析同樣, 對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A可以用一個(gè)三維正交矢量集V1，V2, V3中各分量的線性組合來(lái)表示, 即A=C1V1+C2V2+C3V3 (3.5)如圖3.1(c)所示。 這里應(yīng)該注意的是, 對(duì)于一個(gè)三維的空間矢量, 要準(zhǔn)確無(wú)誤地表示它, 就不能只用一個(gè)二維的正交矢量集, 而必須用一個(gè)三維的正交矢量集。 在三維空間中, 三維的正交矢量集是一個(gè)完備的正交矢量集, 而二維的則不是完備的。 111121cosVVVVVV第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分

6、析圖 3.1正交矢量與矢量分解第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析依此類(lèi)推, 對(duì)于n維矢量空間, n個(gè)互相正交的矢量組成一個(gè)n維的完備正交矢量集V1, V2, , Vn, n維空間中的任意矢量A, 都可以精確地表示為這n個(gè)互相正交的矢量的線性組合, 即A=C1V1+C2V2+CnVn (3.6)式中, ViVj=0(ij), 且第i分量的加權(quán)系數(shù)為(3.7)iiiiiVAVVVAcosCi=第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析上述空間矢量正交分解的概念可以推廣到信號(hào)空間。 在信號(hào)空間中, 若能夠找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào), 使得任意信號(hào)都可以表示成這些基本信號(hào)的線性組合, 那么就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的正交分

7、解。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.1.2正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交函數(shù)與正交函數(shù)集 仿照上述兩個(gè)矢量正交的概念, 可以按照如下的方式來(lái)定義兩個(gè)信號(hào)的正交。 若有定義在(t1, t2)區(qū)間的兩個(gè)實(shí)信號(hào)g1(t)、g2(t)滿足(3.8)則稱g1(t)、 g2(t)在區(qū)間(t1, t2)內(nèi)正交。 0d)()(2121ttttgtg第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析與空間矢量的正交分解類(lèi)似, 要將任意信號(hào)f(t)進(jìn)行正交展開(kāi), 僅有兩個(gè)正交函數(shù)是不夠的, 必須建立一個(gè)正交函數(shù)集, 而且若要使得信號(hào)能夠精確、 無(wú)誤差地展開(kāi), 還必須要求這個(gè)函數(shù)集是完備的。 下面給出正交函數(shù)集與完備正交函數(shù)集的概念。 設(shè)有

8、n個(gè)實(shí)函數(shù)g1(t), g2(t), , gn(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集g1(t), g2 (t), , gn(t), 這個(gè)函數(shù)集在區(qū)間(t1, t2)內(nèi)滿足如下的正交特性：(3.9)jiKjittgtgittji， 0d)()(21第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析式中Ki為常數(shù), 則稱此實(shí)函數(shù)集為正交函數(shù)集。 如果Ki=1(i=1, 2, , n), 則此函數(shù)集為歸一化正交函數(shù)集。 區(qū)間(t1, t2)內(nèi)相互正交的n個(gè)函數(shù)構(gòu)成正交信號(hào)空間。 若在正交函數(shù)集g1(t), g2(t), , gn(t)之外, 不存在函數(shù)(t), t（t1, t2） ( ), 滿足(3.10)21d)(02tttt), 2

9、, 1(0d)()(21nitttgtti第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。 此定義意味著定義于(t1, t2)上的所有平方可積函數(shù)均可用該函數(shù)集線性表出。 除了實(shí)函數(shù)集之外, 信號(hào)還可以展開(kāi)為復(fù)變正交函數(shù)集的線性組合。 復(fù)變的正交函數(shù)和正交函數(shù)集的定義如下: 若在(t1, t2)區(qū)間內(nèi), 兩個(gè)復(fù)變函數(shù)g1(t)、g2(t)正交, 則g1(t)、 g2(t)滿足(3.11)0d)()(d)()(21212*1*21ttttttgtgttgtg第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析若復(fù)變的函數(shù)集g1(t), g2(t), ，gn(t)在區(qū)間(t1, t2)內(nèi)滿足(3.12)則稱此復(fù)

10、變函數(shù)集為正交函數(shù)集。 jikjittgtgittji， 0d)()(21*第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.1.3信號(hào)的正交分解信號(hào)的正交分解設(shè)n個(gè)函數(shù)g1(t), g2(t), , gn(t)在區(qū)間(t1, t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)集, 將任意一個(gè)函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來(lái)近似, 可以表示為(3.13)這種近似表示的誤差函數(shù)為 (3.14)nrrrnntgCtgCtgCtgCtf12211)()()()()(nrrrtgCtf1)()(第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析22通常采用誤差函數(shù)的均方值來(lái)描述式(3.13)近似表示的誤差大小, 用符號(hào) 表示, 即(3.15) 為使 為最小,

11、系數(shù)Cr應(yīng)滿足即(3.16)ttgCtftttttttnrrrttd )()(1d121212112212202rC0d )()(2121ttgCtfCttnrrrr第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析展開(kāi)式(3.16)中的被積函數(shù), 注意到由序號(hào)不同的正交函數(shù)交叉相乘產(chǎn)生的各項(xiàng), 其積分都為零, 而且所有不包含系數(shù)Cr的各項(xiàng)對(duì)Cr求導(dǎo)也等于零, 這樣, 式(3.16)中只剩下兩項(xiàng)不為零, 即(3.17)交換微分和積分次序, 得到(3.18)于是求得Cr為(3.19)0d )()()(22122ttgCtgtfCCttrrrrrttgCttgtfttrrttrd )(d )()(21212ttgtfK

12、ttgttgtfCttrrttrttrrd )()(1d )(d )()(2121212第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析此時(shí)的最小均方誤差為(3.20)當(dāng)n時(shí), 若, 則函數(shù)集g1(t), g2(t), , gn(t)是完備的正交函數(shù)集, 此時(shí), 信號(hào)f(t)可以精確地表示為無(wú)限多個(gè)正交函數(shù)的線性組合, 即(3.21)21122122d)(1ttnrrrKCttftt0212211)()()()()(rrrnntgCtgCtgCtgCtf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析以上討論可以推廣到復(fù)變的正交函數(shù)集理論中, 即信號(hào)f(t)可以分解為無(wú)限多個(gè)復(fù)變的正交函數(shù)的線性組合。 同樣, 利用上述方法可以得到第

13、r個(gè)最佳分量系數(shù)Cr為 (3.22)ttgtfKttgtgttgtfCttrrttrrttrrd )()(1d )()(d )()(212121*第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分解周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分解上一節(jié)介紹了信號(hào)的正交分解, 如果完備正交函數(shù)集gi(t)中的每個(gè)函數(shù)gi(t)在區(qū)間(t0, t0+T1)內(nèi)兩兩正交, 則周期為T(mén)1的周期信號(hào)f(t)可以在此區(qū)間內(nèi)展開(kāi)成該正交信號(hào)集的無(wú)窮級(jí)數(shù)。 如果該完備正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集, 那么周期信號(hào)所展開(kāi)的級(jí)數(shù)就分別稱為“三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)”或“指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)”, 統(tǒng)稱為傅里葉級(jí)數(shù)。 下面來(lái)介紹這兩種形

14、式的傅里葉級(jí)數(shù)。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.2.1三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)不難證明, 三角函數(shù)集1, cos(1t), cos(21t), , cos(n1t), , sin(1t), sin(21t), , sin(n1t)在區(qū)間 內(nèi)組成正交函數(shù)集。 各函數(shù)的正交性如下:(3.23)2)(,(11100TTtt)0( )0(2)( 0d)cos()cos(1111100nmTnmTnmttntmTtt，第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析(3.24) (3.25)0(2)( 0d)sin()sin(111100nmTnmttntmTtt，),(, 0d)sin()cos(100

15、11為任意整數(shù)nmttntmTtt第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析)cos()2cos()cos()(112110tnatataatfn)sin()2sin()sin(11211tnbtbtbn1110)sin()cos(nnntnbtnaa當(dāng)所取函數(shù)無(wú)限多時(shí), 上述三角函數(shù)集是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。 由式(3.21)可知, 對(duì)于任一個(gè)周期為T(mén)1的周期信號(hào)f(t), 可在區(qū)間(t0, t0+T1)內(nèi)表示為上述三角函數(shù)集中各正交函數(shù)的線性組合, 即(3.26)第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析式中, a0、 an、bn為各分量系數(shù), 也稱為傅里葉系數(shù)。 由式(3.19)可得各分量系數(shù)分別為(3.27)10

16、0100100d)sin()(2d)cos()(2d)(1111110TttnTttnTttttntfTbttntfTattfTa第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析式中, t0可以任意選取, 通常為了計(jì)算方便, 選擇t0=0或 。 顯然, an是n1的偶函數(shù), bn是n1的奇函數(shù), 即滿足 (3.28)210Ttnnnnbbaa第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析需要指出的是, 并非任意周期信號(hào)都能進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分解, 能夠被展開(kāi)的周期信號(hào)應(yīng)滿足如下的狄里赫利(Dirichlet)條件: (1) 在一個(gè)周期內(nèi), f(t)是絕對(duì)可積的, 即 。 (2) 在一個(gè)周期內(nèi), f(t)的最大值和最小值的數(shù)目是有限的。

17、 (3) 在一個(gè)周期內(nèi), f(t)或者為連續(xù)的, 或者只有有限個(gè)間斷點(diǎn), 而且在這些間斷點(diǎn)上, 函數(shù)值必須是有限的。 通常我們遇到的周期信號(hào)大都能滿足該條件, 因此以后除非特別說(shuō)明, 一般不再考慮這一條件。 21)(Ttf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析將式(3.26)中同頻率項(xiàng)合并, 可以得到另一種形式的傅里葉級(jí)數(shù), 即(3.29)上式稱為余弦形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 式中, A0為直流分量, A1cos (1t+1)為基波或一次諧波, A2cos (21t+2)為二次諧波, Ancos (n1t+n)為n次諧波, An是n次諧波的振幅, n是n次諧波的初始相位。 因此, 式(3.29)表明,

18、任意周期信號(hào)只要滿足狄里赫利條件就可以分解為直流分量及一系列諧波分量之和。 110)cos()(nnntnAAtf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析， ， 比較式(3.26)和式(3.29)可以得到各系數(shù)之間的關(guān)系為(3.30)(3.31)且由式(3.28)及式(3.30)可知, An是n1的偶函數(shù), n是n1的奇函數(shù), 即滿足(3.32),22nnnbaA)arctan(nnnab,cosnnnAannnAbsinA0=a0，nnnnAA第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析例例3.1將圖3.2所示的周期矩形脈沖信號(hào)f(t)展開(kāi)為三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)。 解解根據(jù)式(3.27), 這里選取t0=0, 得2d1

19、d)(120101011EtETttfTaTT0)sin(12 d)cos(2d)cos()(2201112011011111TTTntnnTEttnETttntfTa第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.2例3.1中的周期矩形脈沖信號(hào)第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析201111)cos(12TtnnTE)cos(1 nnE6 , 4 , 20, 5 , 3 , 1 2nnnE，201101111d)sin(2d)sin()(2TTnttnETttntfTb第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析將上述系數(shù)代入式(3.26), 得f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為(3.33)sin(1)5sin(51 )3sin(3

20、1)sin(22)(1111tnntttEEtf, 5 , 3 , 1n第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析), 2, 1, 0(e1jntn)2)(,(11100TTtt3.2.2指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)集 在區(qū)間 內(nèi)是完備的正交函數(shù)集。 各函數(shù)正交性如下(3.34)()(0d)e (e1*jj10011nmTnmtTtttntm，第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析由式(3.21), 對(duì)于任意周期為T(mén)1的周期信號(hào)f(t), 可在區(qū)間(t0, t0+T1)內(nèi)表示為上述函數(shù)集中各正交函數(shù)的線性組合, 即 (3.35)ntnnttttFFFFFFtf11111j2 j2j102 j2j1

21、e eeee)(各分量系數(shù)由式(3.22)得到, 則(3.36)1001de )(1j1TtttnnttfTF第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析式(3.35)稱為周期信號(hào)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 通常, Fn為復(fù)數(shù), 稱其為復(fù)傅里葉系數(shù), 簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。 指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)還可以從三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)直接導(dǎo)出。 根據(jù)歐拉公式)ee (21)cos(11jj1tntntn)ee (j21)sin(11jj1tntntn第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析式(3.26)可以寫(xiě)為(3.38)1jjjj0)ee (2) j()ee (2)(1111ntntnntntnnbaatf1jj011e2je2jn

22、tnnntnnnbabaa(3.37)2jnnnbaF令 )3 , 2 , 1(n第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析由于an是n的偶函數(shù), bn是n的奇函數(shù), 即an=a-n, bn=-b-n, 所以(3.39)將上述結(jié)果代入到式(3.37)中, 得到令F0=a0, 考慮到 22nnnnnjbajbaF1jj011ee)(ntnntnnFFatf1j1j11eentnnntnnFF第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析則由式(3.40)得到指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為(3.41)比較式(3.30)、 (3.31)、 (3.38)和式(3.39)可以看出, Fn與其他系數(shù)之間的關(guān)系為(3.42)ntnnFtf1je)

23、(, 2, 1e22, 2 , 1e22jj000nAjbaFnAjbaFaAFnnnnnnnnnn，第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析在指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)中, 當(dāng)n取負(fù)數(shù)時(shí), 出現(xiàn)了負(fù)的n1, 但是這并不意味著存在負(fù)頻率, 而只是將第n次諧波的正弦分量寫(xiě)成兩個(gè)指數(shù)項(xiàng)之和后出現(xiàn)的一種數(shù)學(xué)形式, 只有把負(fù)頻率項(xiàng)與相應(yīng)的正頻率項(xiàng)成對(duì)地合并起來(lái), 才是實(shí)際的頻譜函數(shù)。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.2.3函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系在求解周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)時(shí), 需要進(jìn)行三次積分, 以求得a0、 an和bn, 計(jì)算相當(dāng)麻煩, 若f(t)是實(shí)信號(hào)而且它的波形滿足某種對(duì)稱性

24、, 那么通過(guò)利用f(t)的對(duì)稱性將會(huì)簡(jiǎn)化上述計(jì)算過(guò)程。第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析0d)cos()(4d)(22011201011nTnTbttntfTattfTa1. f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)若周期信號(hào)f(t)是時(shí)間t的偶函數(shù), 即f(t)=f(-t), 波形對(duì)稱于縱軸, 如圖3.3所示, 由于f(t)cos(n1t)是t的偶函數(shù), f(t) sin(n1t)是t的奇函數(shù), 所以由式(3.27)得偶函數(shù)的傅里葉系數(shù)分別為 (3.43)3 , 2 , 1(n第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析即偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含正弦分量, 只含有直流分量和余弦分量。 例如圖3.3所示的周期偶信號(hào), 其傅里葉級(jí)數(shù)

25、展開(kāi)式如下: )5cos(251)3cos(91)cos(42)(1112tttEEtf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.3偶函數(shù)第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析2. f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)若周期信號(hào)f(t)是時(shí)間t的奇函數(shù), 即f(t)=-f(-t), 波形對(duì)稱于原點(diǎn), 由于f(t)cos (n1t)是t的奇函數(shù), 而f(t) sin(n1t)是t的偶函數(shù), 所以由式(3.27)得奇函數(shù)的傅里葉系數(shù)分別為(3.44)20111d)sin()(40TnnttntfTba)3 , 2 , 1(n第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析即奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含有余弦分量, 只含有正弦分量。 例如圖3.4所示

26、周期奇信號(hào), 其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式如下:)5sin(51)3sin(31)2sin(21)sin()(1111ttttEtf函數(shù)的奇、 偶性不僅與信號(hào)的波形有關(guān), 也與坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇有關(guān), 當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)時(shí), 可以使奇、 偶關(guān)系互相轉(zhuǎn)變。 例如將圖3.3所示偶函數(shù)的坐標(biāo)原點(diǎn)移至?xí)r, 該函數(shù)變?yōu)槠婧瘮?shù)。)2,4(1ET第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.4奇函數(shù)第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析因此, 適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)原點(diǎn)有時(shí)候會(huì)使函數(shù)的分解簡(jiǎn)化。 3. f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)若周期信號(hào)f(t)的前半個(gè)周期波形沿時(shí)間軸平移后， 與后半個(gè)周期波形對(duì)稱于橫軸, 即(3.45)則f(t)稱為奇諧函數(shù)或半波

27、對(duì)稱函數(shù), 如圖3.5所示。 )2()(1Ttftf21T第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.5奇諧函數(shù)第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析 這類(lèi)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中, 只含有基波和奇次諧波的正弦、 余弦項(xiàng), 而不包含偶次諧波項(xiàng), 級(jí)數(shù)中的系數(shù)分別為(3.46)20112011011d)sin()(4d)cos()(400TnTnnnnttntfTbnttntfTanbaa為奇數(shù)）（為奇數(shù)）（）為偶數(shù)（第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析下面給出an的推導(dǎo)過(guò)程。2011021122111111d)cos()(2d)cos()(2 d)cos()(2TTTTnttntfTttntfTttntfTa第三章連續(xù)

28、時(shí)間信號(hào)的頻域分析第一個(gè)積分計(jì)算如下: 2011111021111d)2(cos)2(22d)cos()(2TTTnTfTTtttntfT201111d)cos()2(2TnnTfT第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析)2()(1Ttftf由于f(t)是奇諧函數(shù), 即f(t)= , 所以上式可寫(xiě)為 20112011111d)cos()cos()(2 d)cos()2(2TTnnfTnnTfT201111d)cos()(2) 1(TnttntfT第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析將上式 入an中可得201111d)cos()() 1(1 2TnnttntfTa20111d)cos()cos()(40Tnntn

29、fTn為奇數(shù)為偶數(shù)bn的推導(dǎo)過(guò)程與an相同。第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析例如圖3.5所示的奇諧函數(shù), 可以求得其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式如下:顯然, 它只含有奇次諧波分量, 不含有直流分量和偶次諧波。)5cos(251)3cos(91)cos(4)(1112tttEtf)5sin(51)3sin(31)sin(2111tttE第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析4. f(t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù)若周期信號(hào)f(t)的波形沿時(shí)間軸平移半個(gè)周期后與原波形完全重疊, 即(3.47)則f(t)稱為偶諧函數(shù)或半波重疊函數(shù), 如圖3.6所示。 )2()(Ttftf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.6偶諧函數(shù)第三章連續(xù)時(shí)間

30、信號(hào)的頻域分析這類(lèi)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中, 只含有偶次諧波的正弦、 余弦項(xiàng), 而不包含奇次諧波項(xiàng), 級(jí)數(shù)中的系數(shù)分別為(3.48)201120112010111d)sin()(4d)cos()(4d)(40TnTnTnnnttntfTbnttntfTattfTanba為偶數(shù)）（為偶數(shù)）（）為奇數(shù)（第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析an、 bn的推導(dǎo)過(guò)程與式(3.46)中的相同。 例如， 圖3.6所示的偶諧函數(shù), 可以求得其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式如下: 顯然它只含有偶次諧波分量, 而不包含奇次諧波分量。 通過(guò)上面的討論可以看出, 當(dāng)波形滿足某種對(duì)稱關(guān)系時(shí), 傅里葉級(jí)數(shù)中的某些項(xiàng)將會(huì)不出現(xiàn), 熟悉傅里葉級(jí)數(shù)

31、的這種性質(zhì)后, 可以對(duì)波形應(yīng)包含哪些諧波成分迅速作出判斷, 以便簡(jiǎn)化傅里葉系數(shù)的計(jì)算。 )6sin(31)4sin(21)2sin(2)(111tttEEtf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.3周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜由上一節(jié)討論可知, 一個(gè)周期信號(hào)與另一個(gè)周期信號(hào)的區(qū)別, 在時(shí)域中表現(xiàn)為波形的不同, 而在頻域中的區(qū)別表現(xiàn)為其基本頻率1的不同、 各諧波分量的幅度An(|Fn|)和相位n的不同。 采用周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分解雖然能詳盡而確切地表示信號(hào)分解的結(jié)果, 但往往不夠直觀。 為了既方便又明白地表示出周期信號(hào)中包含哪些頻率分量, 各頻率分量的比重怎樣, 可將其各頻率分量的振幅和相位隨頻率變

32、化的關(guān)系用曲線的形式表示出來(lái), 從而得到一種譜線圖, 并稱之為“頻譜圖”。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.3.1周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜包括幅度頻譜(簡(jiǎn)稱幅度譜)和相位頻譜(簡(jiǎn)稱相位譜)兩個(gè)部分。 其中幅度譜描述的是各次諧波振幅隨頻率變化的關(guān)系, 相位譜描述的是各次諧波相位隨頻率變化的關(guān)系。 根據(jù)周期信號(hào)展成傅里葉級(jí)數(shù)的不同形式可分為單邊頻譜和雙邊頻譜。 1. 單邊頻譜單邊頻譜將周期信號(hào)f(t)展開(kāi)為余弦形式的傅里葉級(jí)數(shù), 即110)cos()(nnntnAAtf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析式中, n只能取正整數(shù), 這樣得到的頻譜總是位于0的半個(gè)平面上, 因此稱為單邊頻譜。

33、 例如圖3.2所示的周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為式(3.33), 將其化為余弦形式的傅里葉級(jí)數(shù)為)27cos(72 )25cos(52)23cos(32)2cos(22)(1111tEtEtEtEEtf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析其幅度譜和相位譜如圖3.7所示。 在幅度譜和相位譜中, 每條線代表每一頻率分量的幅度和相位的大小, 稱其為譜線。 連接各譜線頂點(diǎn)的曲線(如圖3.7中虛線所示)稱為包絡(luò)線, 它反映了各分量的幅度和相位的變化情況。 可見(jiàn), 頻譜圖清楚而且直觀地反映了各頻率分量的幅度和相位的相對(duì)大小。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.7周期方波信號(hào)的單邊頻譜第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的

34、頻域分析2. 雙邊頻譜雙邊頻譜將周期信號(hào)f(t)展開(kāi)為指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù), 即式中, n可取-到的整數(shù), 這樣, 變量=n1也是從-到整個(gè)軸變化, 因此稱此時(shí)的頻譜為雙邊頻譜。 ntnnFtf1je)(第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析例如圖3.2所示的周期矩形脈沖信號(hào), 將其三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)寫(xiě)成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為周期方波信號(hào)的雙邊頻譜圖如圖3.8所示。ee 3ee 2)()23( j)23( j)2( j)2( j1111ttttEEEtfee 7ee 5)27( j)27( j)25( j)25( j1111ttttEE第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.8周期方波信號(hào)的雙邊頻譜第三章

35、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析比較圖3.7和圖3.8可以看出， 這兩種頻譜表示方法實(shí)質(zhì)上是一樣的, 其不同之處在于圖3.7中的每條譜線代表一個(gè)頻率分量的幅度, 而圖3.8中每個(gè)分量的幅度一分為二, 在正、 負(fù)頻率相對(duì)應(yīng)的位置上各為一半, 所以只要把正、 負(fù)頻率上對(duì)應(yīng)的這兩條譜線矢量相加起來(lái)就可以代表一個(gè)分量的幅度。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.3.2周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜在周期信號(hào)的頻譜分析中, 周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜具有典型的意義。 下面以圖3.9所示周期矩形脈沖為例， 說(shuō)明周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)以及信號(hào)頻帶寬度的概念。 設(shè)周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的脈沖寬度為, 脈沖幅度為E,

36、 重復(fù)周期為T(mén)1, 如圖3.9所示。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.9周期矩形脈沖第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析f(t)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為(3.49)將f(t)展開(kāi)成指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù), 由式(3.36)得: 202)(ttEtf221j122j122j111111ede1de )(1jnTEtETttfTFntnTTtnn)2(Sa2)2sin()2sin(211111111nTEnnTEnnTE第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析10TEF由上式得到, f(t)的直流分量為, 幅度譜為, 相位譜為n=0(Fn0)或n=(Fn0)。 圖3.10畫(huà)出了當(dāng)T1=4時(shí)f(t)的雙邊頻譜圖。 考慮

37、到Fn是實(shí)數(shù), 把幅度譜|Fn|和相位譜n合畫(huà)在一幅圖上。 若Fn是復(fù)數(shù)的話, 則幅度譜和相位譜應(yīng)分別畫(huà)出。 )2(11nSaTEFn第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.10周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜圖第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析由以上分析及圖3.10可以看出: (1) 周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜是離散的, 兩譜線間隔為, 脈沖的重復(fù)周期T1越大, 譜線越密集。 (2) 直流分量、 基波和各次諧波分量的大小正比于脈沖幅度E和脈沖寬度, 反比于周期T1, 各譜線幅度按包絡(luò)線的規(guī)律而變化。 112T)2(Sa1n第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析(3.50)(3) 當(dāng), k=1, 2, 時(shí), 譜線的包絡(luò)線過(guò)零,

38、 因此稱為零分量頻率。 (4) 周期矩形脈沖信號(hào)包含無(wú)限多條譜線, 也就是說(shuō)它可以分解為無(wú)限多個(gè)頻率分量。 隨著頻率的增大, 譜線幅度變化的總體趨勢(shì)收斂于零。 其主要能量集中在第一個(gè)零分量頻率之內(nèi)。 實(shí)際上, 在允許一定失真的情況下, 可以舍棄的頻率分量, 而只要傳送頻率較低的那些分量就夠了。 通常把這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度, 記作B, 于是有21k2k220)rad/s(2B)Hz(1fB 或 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析顯然, 有效頻帶寬度B只與脈沖寬度有關(guān), 而且成反比關(guān)系。 信號(hào)持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng), 其頻帶越窄, 反之, 信號(hào)持續(xù)時(shí)間越短, 其頻帶越寬。 下面來(lái)討論當(dāng)周期矩

39、形脈沖的周期T1及脈寬變化時(shí), 其頻譜結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律。 (1) 周期T1不變, 而脈寬變化時(shí)。周期T1不變時(shí), 譜線間隔不變。 當(dāng)脈寬變小時(shí), 頻譜的幅度減小, 頻譜包絡(luò)線第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)頻率增大, 信號(hào)的頻帶寬度增大, 頻率分量增多, 頻譜幅度的收斂速度相應(yīng)地變慢。 圖3.11畫(huà)出了當(dāng)T1不變, 和變化時(shí)兩種情況下的頻譜圖。 112T251T101T第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.11脈沖寬度與頻譜的關(guān)系第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析(2) 脈寬不變, 而周期T1變化時(shí)。脈寬不變, 頻譜包絡(luò)線第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)頻率不變。 當(dāng)周期T1增大時(shí), 譜線間隔減小, 譜線變密, 信號(hào)有效頻帶寬度內(nèi)諧波分量增多

40、, 同時(shí)頻譜的幅度減小。 圖3.12畫(huà)出了不變時(shí), 周期分別為T(mén)1=5和T1=10時(shí)兩種情況下的頻譜圖。 2112T第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.12周期與頻譜的關(guān)系第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析由圖3.12不難看出, 當(dāng)周期T1無(wú)限增大時(shí), 頻譜的譜線無(wú)限密集, 而各諧波分量的振幅趨于無(wú)窮小量, 此時(shí)周期信號(hào)將趨于單脈沖的非周期信號(hào), 而頻譜則由離散過(guò)渡到連續(xù), 而有關(guān)非周期信號(hào)的頻譜將在下一節(jié)討論。 由以上對(duì)周期矩形信號(hào)的頻譜分析, 可以得到周期信號(hào)的頻譜具有以下特點(diǎn): (1) 離散性。 頻譜由不連續(xù)的譜線組成, 每一條譜線代表一個(gè)頻率分量, 譜線間隔為1。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分

41、析(2) 諧波性。 譜線只在基波頻率的整數(shù)倍上出現(xiàn), 只有n的頻率分量。 (3) 收斂性。 幅度譜中各譜線的高度, 也即各次諧波的振幅的總體趨勢(shì)是隨著諧波次數(shù)n的增大而逐漸減小。 這些特性雖然是從一個(gè)特殊的周期信號(hào)得出的, 但是它具有普遍的意義, 對(duì)于其他周期信號(hào), 也具有這樣的特性。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.4非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜在3.3節(jié)中指出, 當(dāng)周期矩形脈沖信號(hào)的重復(fù)周期無(wú)限增大時(shí), 信號(hào)就轉(zhuǎn)化為非周期的單脈沖信號(hào)。 此時(shí), 相鄰譜線間隔無(wú)限小, 譜線密集, 離散頻譜變成了連續(xù)頻譜, 同時(shí), 各頻率分量的振幅無(wú)限趨小。 雖然這些振幅都是無(wú)窮小量, 但是它們并不是同樣

42、大小, 其相對(duì)值仍有差別。 為了表示這種振幅之間的相對(duì)差別, 我們引入了傅里葉變換。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.4.1傅里葉變換傅里葉變換對(duì)于非周期信號(hào), 不能再采用傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)振幅來(lái)表示其頻譜, 而必須引入一個(gè)新的量“頻譜密度函數(shù)”。 下面我們從周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)出傅里葉變換, 并說(shuō)明頻譜密度函數(shù)的意義。 設(shè)周期為T(mén)1的周期信號(hào)f(t), 其指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為ntnnFtf1je)(第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析復(fù)振幅為若對(duì)上式兩端同乘以T1, 則有(3.51)22j1111de )(1TTtnnttfTF22j11111de )(2TTtnnnttfFTF第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)

43、的頻域分析當(dāng)T1趨于無(wú)限大時(shí), 譜線間隔1趨近于無(wú)窮小量d, 離散頻率n1變成連續(xù)頻率。 在這種極限情況下, Fn趨于無(wú)窮小量, 但可以不趨于零, 而趨近于有限值, 且變?yōu)橐粋€(gè)連續(xù)函數(shù), 通常記為F(j), 即(3.52)12nF112limlim)j (11nTnTFTFF第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析1nF式中, 表示單位頻帶的頻譜值, 因此稱其為原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù), 簡(jiǎn)稱頻譜函數(shù)。 這樣, 式(3.51)可以寫(xiě)為(3.53)22j1111de )(lim)j (TTtnTttfFttfFtde )()j (j即第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析同樣對(duì)于f(t), 其指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)

44、展開(kāi)式可改寫(xiě)為如下的形式: (3.54)(3.55)1j1j11ee)(ntnnntnnFFtf當(dāng)周期T1趨于無(wú)限大時(shí), 1d, n1, )j (211FFn上式求和運(yùn)算轉(zhuǎn)化為積分運(yùn)算，從而得到de )j (21)(j tFtf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析 式(3.53)是非周期信號(hào)的頻譜表達(dá)式, 稱為傅里葉正變換, 式(3.55)稱為傅里葉反變換。 為了書(shū)寫(xiě)方便, 習(xí)慣上采用下述符號(hào): 傅里葉正變換傅里葉反變換)()(tfFjFttftde )(j)j ()(1FFtfde )j (21j tF 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析f(t)和F(j)構(gòu)成了一對(duì)傅里葉變換, 二者的關(guān)系可以簡(jiǎn)記為f(t

45、)F(j)一般來(lái)說(shuō), 頻譜函數(shù)F(j)是關(guān)于的復(fù)函數(shù), 可以寫(xiě)成(3.56)式中, |F(j)|為F(j)的模, 它表示信號(hào)中各頻率分量幅度的相對(duì)大小, ()是F(j)的相位, 它表示信號(hào)中各頻率分量的相位。 與周期信號(hào)的頻譜相對(duì)應(yīng), 通常將|F(j)|的關(guān)系曲線稱為非周期信號(hào)的幅度譜, 而將()曲線稱為相位譜, 它們都是的連續(xù)函數(shù)。 )(je)j ()j (FF第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析同周期信號(hào)一樣, 也可以將f(t)寫(xiě)成三角函數(shù)的形式de )j (21)(j tFtfdejFtj)()(21d)(sin)j (2d)(cos)j (21tFjtF 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析當(dāng)f(t)

46、為實(shí)函數(shù)時(shí), |F(j)|和()分別是的偶函數(shù)和奇函數(shù), 則上式的第二個(gè)積分為零, 于是有(3.57)d)(cos)j (1 d)(cos)j (21)(0tFtFtf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析可見(jiàn), 非周期信號(hào)也可以看做是由不同頻率的余弦分量組成的。 與周期信號(hào)相比, 非周期信號(hào)的基波頻率趨于無(wú)窮小量, 這樣它就包含了從零到無(wú)窮大的所有頻率分量, 而各個(gè)余弦分量的振幅趨于無(wú)窮小。 所以, 頻譜不能用振幅表示, 只能用頻譜密度函數(shù)F(j)來(lái)表示各分量的相對(duì)大小。 d)j (F第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析和周期信號(hào)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)一樣, 對(duì)非周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換也需要滿足狄里赫利條件, 這時(shí)

47、, 絕對(duì)可積條件表現(xiàn)為, 其中, |f(t)|是信號(hào)f(t)的絕對(duì)值。 但是必須指出, 狄里赫利條件是對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換的充分條件而非必要條件。 在本書(shū)后面章節(jié)引入廣義函數(shù)的概念后可以看到, 一些函數(shù)并不滿足絕對(duì)可積條件, 但是其傅里葉變換卻存在。 ttfd)(第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.4.2典型非周期信號(hào)頻譜典型非周期信號(hào)頻譜1. 矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)矩形脈沖信號(hào)也稱為門(mén)函數(shù)門(mén)函數(shù)。 脈沖寬度為、 幅度為1的門(mén)函數(shù)通常用符號(hào)g(t)表示 (3.58)其頻譜函數(shù)為)2()2()(tttg22jjdede )()j (tttgFtt)2(Sa2)2sin()ee (j12j2j第三章

48、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析（3.59)圖3.13畫(huà)出了矩形脈沖信號(hào)的頻譜圖, 由于F(j)是的實(shí)函數(shù), 通常將這種實(shí)函數(shù)的頻譜用一條F(j)曲線同時(shí)表示幅度譜和相位譜。 當(dāng)F(j)為正數(shù)時(shí), 其相位為0; 當(dāng)F(j)為負(fù)數(shù)時(shí), 其相位為或-。 )(tg)2(Sa第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.13矩形脈沖信號(hào)及其頻譜第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析20)2(Sa2B1fB 由圖3.13可以看出, 矩形脈沖信號(hào)在時(shí)域持續(xù)時(shí)間有限, 但其頻譜以的規(guī)律變化, 分布在無(wú)限的頻率范圍內(nèi), 其主要能量集中在零頻到第一個(gè)過(guò)零點(diǎn)之間, 即之間, 因此, 通常認(rèn)為矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度為或第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻

49、域分析2. 單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào)f(t)的表達(dá)式為f(t)=e-t(t),0其頻譜函數(shù)為(3.60)j1deee )()j (0jjtdttfFttt第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析其幅度譜和相位譜分別為單邊指數(shù)信號(hào)及其頻譜如圖3.14所示。 221)j (F)arctan()(第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.14單邊指數(shù)信號(hào)及其頻譜第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3. 雙邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)f(t)的表達(dá)式為f(t)=e-|t|，0其頻譜函數(shù)為(3.61)220j0j2j1j1 deedee)j (ttFtttt第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析其幅度譜和相位譜分別為雙邊

50、指數(shù)信號(hào)及其頻譜如圖3.15所示。 222)j (F0)(第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.15雙邊指數(shù)信號(hào)及其頻譜第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析0101)sgn(ttt4. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)表達(dá)式為顯然, 這種信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件, 但其傅里葉變換存在。 它可以看做是兩個(gè)單邊指數(shù)信號(hào)在趨于零的極限情況, 即)(e)(e lim)sgn(0ttttt)0(第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析則其頻譜函數(shù)為(3.62)j2)2j(lim )j1j1(lim)j (2200F第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析幅度譜和相位譜分別為符號(hào)函數(shù)及其頻譜如圖3.16所示。 2)j (F02/02/)(第三章連續(xù)

51、時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.16符號(hào)函數(shù)及其頻譜第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析 5. 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)(t)單位沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)為(3.63)即 (t)11de )( )()j (jtttFFt 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析可見(jiàn), 單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)1。 也就是說(shuō)， (t)中包含了所有的頻率分量, 而各分量的頻譜密度都相等。 顯然, 信號(hào)(t)實(shí)際上是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。 (t)的頻譜如圖3.17所示, 常稱為“均勻譜”或白色頻譜。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.17單位沖激函數(shù)及其頻譜第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析6. 單位直流信號(hào)單位直流信號(hào)單位直流信號(hào)表達(dá)式為f(t)=1顯

52、然, 這種信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件, 但其傅里葉變換存在。 它可以看做是雙邊指數(shù)信號(hào)e-|t|(0)在趨于零的極限情況, 即則其頻譜函數(shù)為)(e)(e lim)(0tttftt0002lim)()j (220tfFF第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析由上式可見(jiàn), F(j)具有沖激函數(shù)的性質(zhì), 其沖激強(qiáng)度由下式確定:2)arctan(2lim )(d)(12lim d2lim020220第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析所以即 12() (3.64)單位直流信號(hào)及其頻譜如圖3.18所示。 可見(jiàn)直流信號(hào)在頻域中只包含=0的直流分量, 而不含其他頻率分量。 )(2 1 )j ( FF 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析

53、圖 3.18單位直流信號(hào)及其頻譜第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析7. 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)(t)顯然單位階躍函數(shù)(t)不滿足絕對(duì)可積條件, 但是它可以看成是單邊指數(shù)信號(hào)e-t(0)在趨于零的極限情況, 因此可對(duì)單邊指數(shù)信號(hào)的頻譜函數(shù)取極限得到(t)的頻譜函數(shù)。 此外, 單位階躍函數(shù)可以表示為對(duì)上式兩邊做傅里葉變換得)sgn(2121)(tt)sgn(2121)(tFFtF第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析j1)()(tF由式(3.62)和式(3.64)可得即(3.65)單位階躍函數(shù)及其頻譜如圖3.19所示。 j1)()(t 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.19單位階躍函數(shù)及其頻譜第三章連續(xù)時(shí)間信

54、號(hào)的頻域分析可見(jiàn), 單位階躍函數(shù)(t)的頻譜在=0處存在一個(gè)沖激, 這是由于(t)中含有直流分量。 此外, 由于(t)不是純直流信號(hào), 它在t=0點(diǎn)處有跳變, 因此頻譜中還含有其他頻率分量。 表3.1給出了常見(jiàn)信號(hào)的傅里葉變換, 以便查閱。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析表表3.1常見(jiàn)信號(hào)的傅里葉變換常見(jiàn)信號(hào)的傅里葉變換 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.5傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換揭示了時(shí)域函數(shù)f(t)和與之對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)F(j)之間的內(nèi)在聯(lián)系。 它說(shuō)明了任一信號(hào)既可以在時(shí)域中描述, 也可以在頻域中描述。 本節(jié)將討論傅里葉變換的性質(zhì), 這些性質(zhì)從不同角度描述了當(dāng)信號(hào)在某一個(gè)域改變

55、時(shí)在另一個(gè)域所引起的效應(yīng), 同時(shí), 這些性質(zhì)也為信號(hào)在時(shí)域和頻域之間的相互轉(zhuǎn)換提供了方便。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.5.1線性性質(zhì)線性性質(zhì)若f1(t)F1(j),f2(t)F2(j)則af1(t)+bf2(t)aF1(j)+bF2(j)(3.66)式中, a和b是任意常數(shù)。 利用傅里葉變換的定義容易證明上述結(jié)論。 線性性質(zhì)包含奇次性和疊加性, 它表明兩個(gè)(或多個(gè))信號(hào)的線性組合的傅里葉變換等于各個(gè)信號(hào)傅里葉變換的線性組合。 這個(gè)性質(zhì)雖然簡(jiǎn)單, 但很重要, 它是頻域分析的基礎(chǔ)。 在3.4節(jié)中求單位階躍函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)時(shí)已經(jīng)應(yīng)用了此性質(zhì)。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析例例3.2求圖3.

56、20(a)所示信號(hào)的傅里葉變換。 解解圖3.20(a)所示信號(hào)可以看成是兩個(gè)門(mén)函數(shù)之和, 如圖3.20(b)、 (c)所示。 即f(t)=g2(t)+g(t)可以求得g2(t)2Sa()g(t)Sa 所以)2(Sa)(tg)2(Sa)(Sa2)()j (tfFF第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.20例題3.2圖第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析tttfttftde )()(j003.5.2時(shí)移性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)若f(t)F(j)則 f(t-t0)F(j)e-jt0(3.67)證明證明:令x=t-t0, 則上式可以寫(xiě)為)j (ede )( d)()(000jj)(0FxxfexexfttfFtxtjtxj

57、第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析同理可得F f(t+t0)=ejt0F(j) 式(3.67)表明, 若信號(hào)在時(shí)域中沿時(shí)間軸右移t (即延時(shí)t0), 則在頻域中所有頻率分量滯后一相位t0, 而其幅度保持不變。 例例3.3求圖3.21(a)所示矩形脈沖信號(hào)的傅里葉變換。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.21例3.3中的矩形脈沖信號(hào)及其相位譜第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析解解由圖3.21(a)可知, 此信號(hào)由門(mén)函數(shù)g(t)右移/2得到, 即因?yàn)橛蓵r(shí)移性質(zhì), 可得顯然, F(j)的幅度譜和門(mén)函數(shù)的幅度譜完全一樣, 但是其相位要比門(mén)函數(shù)的相位滯后, 如圖3.21(b)所示。)2()(tgtf2Sa)(tg

58、2je2Sa2)j (tgFF2第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析3.5.3頻移性質(zhì)頻移性質(zhì)若f(t)F(j)則 f(t)ej0tFj (-0), 0為常數(shù)(3.68)證明證明: 同理F f(t)e-j0t=Fj(+0)( j de )(dee )(e )(0)( jjjj000FttfttftfFtttt第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析頻移性質(zhì)表明： 給時(shí)間信號(hào)f(t)乘以ej0t, 對(duì)應(yīng)于將其頻譜函數(shù)沿頻率軸右移0; 給時(shí)間信號(hào)f(t)乘以e-j0t, 對(duì)應(yīng)于將其頻譜函數(shù)沿頻率軸左移0。 頻譜搬移技術(shù)在通信系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用, 諸如調(diào)制、 同步解調(diào)、 變頻等都需要進(jìn)行頻譜的搬移。 頻譜搬移的實(shí)現(xiàn)原

59、理是將信號(hào)f(t)乘以載頻信號(hào)cos(0t)或sin(0t), 得到高頻已調(diào)信號(hào)f(t)cos(0t)或f(t) sin(0t)。 第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析因?yàn)橛深l移性質(zhì), 可以得到(3.69)e )(e )(21)cos()(00jj0tttftfttfe )(e )(j21)sin()(00jj0tttftfttf)( j )( j 21)cos()(000FFttf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析(3.70)式(3.69)和式(3.70)也稱為調(diào)制定理調(diào)制定理, 它表明時(shí)域信號(hào)f(t)乘以cos(0t)或sin(0t), 等效于將原信號(hào)的頻譜一分為二, 分別沿頻率軸向左和向右搬移0, 在

60、搬移的過(guò)程中幅度譜形式不變。 )( j )(2j)sin()(000FjFttf第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析例例3.4求圖3.22(a)所示高頻脈沖信號(hào)的頻譜函數(shù)。 解解圖3.22(a)所示的高頻脈沖信號(hào)f(t)可以看做是圖3.22(b)所示的矩形脈沖g(t)和圖3.22(c)所示的余弦信號(hào)的乘積, 即因?yàn)槠漕l譜如圖3.22(d)所示。e )(e )(21)cos()()(00jj0tttgtgttgtf)2(Sa)(tg第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析圖 3.22例3.4中的時(shí)域信號(hào)及其頻譜圖第三章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域分析由調(diào)制定理(式(3.69)和式(3.70)得圖3.22(e)所示為圖3.22