初二數(shù)學(xué)輔助線專題

1、常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答

2、作輔助線的方法一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn) 180 度，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，

3、因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。四：面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銮竺娣e，(在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積)，往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。五、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之 與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明.這種作法，適合于證明線段的 和、差、倍、分等類的題目 構(gòu)造全等三角形幾種方法一、延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形例1.如圖1, AD是4ABC的中線，求證：AB + AO2AD。二、沿角平分線翻折構(gòu)造全等三

4、角形例 2.如圖 3,在 ABC 中，/1 = /2, /ABC = 2/C。求證：AB+BD=AC。三、作平行線構(gòu)造全等三角形例3.如圖5, AABC中，AB=AC。E是AB上異于A、B的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng) AC到D,使CD = BE,連接DE交BC于F。求證：EF=FD。四、作垂線構(gòu)造全等三角形例4.如圖7,在 ABC中，/BAC=90° , AB = AC。M是AC邊的中點(diǎn)。ADLBM交BC 于 D,交 BM 于 E。求證：/ AMB = / DMC。五、沿高線翻折構(gòu)造全等三角形例 5.如圖 9,在 ABC 中，AD，BC于D, / BAD >/ CAD。求證：AB>A

5、C。六、繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形例6.如圖11,正方形ABCD中，/ 1 = / 2, Q在DC上，P在BC上。求證：PA=PB+ DQ0例7.如圖，四邊形ABCW, /BADW BCD=90AB=AD,若四邊形ABCD勺面積是24cm2. WJ AC 長(zhǎng)是cm.8.如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)正方形 ABC皿OEFG若將正方形OEFGg點(diǎn)。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150° ,兩個(gè)正方形的重疊部分四邊形 OMCI®面積()如練習(xí)RB若、例7:CMA.不變B.先增大再減小C.先減小再增大D.不斷增大求證：CD:Ap/ BC,點(diǎn) E在線段 AB上，/ADE=/CDE /DC=/ECB NG1

6、2.(4 分條直線1E, 12, 13圖，已知AABC中，/ABC=90 , AB=BC ,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三T 11, 12之間的距離為1, 12, 13之間的距離為3,則點(diǎn)B到AC的距離是(A. 5B.C.D.考 全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形.點(diǎn)：專 計(jì)算題.題：分 過(guò)A作AD，13于D,過(guò)B作BFXAC于F,過(guò)C作CE，l3于E,則BF的長(zhǎng)就是點(diǎn) B到AC的 析： 距離，根據(jù) AAS證DABEBC,求出BE=3 ,根據(jù)勾股定理求出 BC、AB、AC,根據(jù)三角形 的面積即可求出答案.過(guò)A作AD，13于D,過(guò)B作BFXAC于F,過(guò)C作CE，l3于E,則BF的長(zhǎng)就是

7、點(diǎn) B到AC的 距離AD±l3, CE±l3, / ADB= / ABC= / CEB=90 °, / DAB+ / ABD=90 °, / ABD+ / CBE=90 °,/ DAB= / CBE,在4DAB和4EBC中'/DAB =/EBC'ZADB=ZBEC,lab=bc . DAB EBC ,AD=BE=3 , CE=3+1=4 ,在CEB中，由勾股定理得： AB=BC=5 , AC=5j2,由三角形的面積公式得：Saabc=-;AB汨C=AC汨F ,22即 5X5=5V2BF,即 bf=_Z12故選C.點(diǎn) 本題考查了全

8、等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，等腰直角三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)評(píng)：用，關(guān)鍵是正確作輔助線后能求出BE、AB、BC、AC的長(zhǎng)，主要考查了學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力.18. （4分）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為1的等邊4ABC的邊AB上一點(diǎn)P,作PEL AC于E, Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D,則DE的長(zhǎng)為 考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題.分析：過(guò)P作PF/ BC交AC于F,得出等邊三角形 APF,推出AP=PF=QC ,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求 出 EF=AE ,證PFDQCD,推出 FD=CD ,推出 DE=4AC 即可.2解答:解：過(guò)P作

9、PF/ BC交AC于F. PF/BC, ABC是等邊三角形，/ PFD= / QCD, AAPF是等邊三角形, AP=PF=AF , PEXAC, . AE=EF , AP=PF , AP=CQ , PF=CQ. 在 PFD 和 AQCD 中，f ZPFD=ZQCD ZPDF=ZQDC,PF二CQ PFDAQCD (AAS),FD=CD , AE=EF , . EF+FD=AE+CD ,AE+CD=DE= -AC , 2AC=1 ,deJ.2故答案為：工. 21618.如圖，在 4ABC 中，BC=2M, /ABC=45 =2/ECB, BDXCD, WJ ( 2BD) 2= -8yf .【考

10、點(diǎn)】勾股定理.【分析】延長(zhǎng)BD至F,使得DF=BD ,連結(jié)CF交AB于G.根據(jù)中垂線的性質(zhì)和等腰直 角三角形的判定和性質(zhì)得到CF=2我，BG=CG=2,根據(jù)線段的和差求得FG=2近-2, 在RtBGF中，根據(jù)勾股定理即可求解.【解答】解：延長(zhǎng)BD至F,使得DF=BD,連結(jié)CF交AB于G.,. BDXCD, DF=BD, .CF=CB=2比，/DCF=/ECB,/ABC=45 =2/ECB,丁. / BCG=45 ,.BCG是等腰直角三角形，. BC=2 五， .BG=CG嗤BC=2,. FG=2亞-2,_在 RtBGF 中，（2BD） 2=BF2=BG2+FG2=22+ （2加2） 2=168

11、點(diǎn).故答案為：16-8亞.【點(diǎn)評(píng)】考查了勾股定理，中垂線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，本題關(guān)鍵是作 出輔助線構(gòu)造直角三角形，難度較大.24.正方形ABCD中，E點(diǎn)為BC中點(diǎn)，連接AE ,過(guò)B點(diǎn)作BFXAE,交CD于F點(diǎn)，交 AE于G點(diǎn)，連結(jié)GD,過(guò)A點(diǎn)作AH LGD交GD于H點(diǎn).（1）求證：AABEABCF;(2)若正方形邊長(zhǎng)為4, AH=16 ,求4AGD的面積.524.證明：(1)正方形 ABCD 中，/ABE=90 ,/ 1 + 7 2=90° ,又 AELBF,. / 3+/2=90° ,則/ 1 = /3 (2 分)又二四邊形ABCD為正方形， ./ABE

12、=/BCF=90 , AB=BC在4ABE和4BCF中，1=3dAB = BC.,.ABEABCF(ASA) (5 分)ABE = BCF(2)延長(zhǎng)BF交AD延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，MDF=90 (6分)由(1)知ABEBCF, a CF=BE. E 點(diǎn)是 BC 中點(diǎn)，. .BE=1BC,即 CF=1CD=FD, 22在4BCF和4MDF中，BCF = MDFJCF = DF BCFAMDF(ASA)ZBFC =NMFD .BC=DM,即 DM=AD , D 是 AM 中點(diǎn)(8 分)又AGLGM,即4AGM為直角三角形，.GD=1AM=AD 2又正方形邊長(zhǎng)為4, GD=4SaAGD=1GD AH= 1

13、X4X16 = 3222551、在 ABC中，AB=AC D為射線BC上一點(diǎn)，DB=DAE為射線AD上一點(diǎn)，且 AE=C瞳接 BE (1)如圖2,若BE=2CD連接CE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F,求證：CE=2EF.(2)如圖3, 若BE,AD垂足為點(diǎn)E,求證：AE2+1 BE2 =1 AD244DE.BE=3,求AABC的周長(zhǎng);24.如圖1, ABC中，BELAC于點(diǎn)E, ADLBC于點(diǎn)D,連接(1)若 AB=BC , DE=1 ,(2)如圖2,若AB=BC , AD=BD ,/ADB的角平分線DF交BE于點(diǎn)F,求證：BF=DE；(3)如圖 3,若 AABC, AD=BD , #AADC 沿著 A

14、C 翻折得至ij AAGC,連接 DG、EG,請(qǐng)猜想線段AE、BE、DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【分析】(1)由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出 DE=AC=AE, AC=2DE=2, AE=1 , 由勾股定理求出AB,得出BC,即可得出結(jié)果；(2)連接AF,由等腰三角形的性質(zhì)得出/ 3=/4,證出小BD是等腰直角三角形，得出/ DAB= / DBA=45 , / 3=22.5 °,由 ASA 證明 zADFA BDF，得出 AF=BF , / 2=/ 3=22.5 °, 證出9EF是等腰直角三角形，得出 AF=V2AE,即可得出結(jié)論；(3)作 DHLDE 交 BE

15、于 H,先證明 AADEABDH，得出 DH=DE , AE=BH ,證出"HE 是等腰直角三角形，得出/ DEH=45 ,/3=45°,由翻折的性質(zhì)得出DE=GE, Z 3= 7 4=45°,證出DH=GE, DH /GE,證出四邊形DHEG是平行四邊形，得出DG=EH ,即可得出結(jié)論. 【解答】(1)解：如圖1所示：. AB=BC, BE±AC, .AE=CE, /AEB=90 ,. AD ±BC, ./ADC=90 , . DE= .AC=AE , .AC=2DE=2, AE=1 , .AB=、”，L "T,-BC=一, .AB

16、C 的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=2 V1C+2;(2)證明：連接AF,如圖2所示：. AB=BC, BEX AC, /3=/4,/ ADC=90 , AD=BD , .ABD是等腰直角三角形，丁. / DAB= / DBA=45 ,.Z 3=22.5 °,./ 1 + /C=/3+/C=90 , / 1 = 7 3=22.5°, DF 平分/ ABD , ./ADF=/BDF,在SDF和ABDF中，r*D=BD, ZADF=ZBDF , DFRF.ADFABDF (SAS), .AF=BF, / 2=/3=22.5 °, ./ EAF=/ 1 + /2=45

17、6; , .AEF是等腰直角三角形，.AF=V2AE,v DE=AE , .BF=VDE；(3)解：BE=DG+AE ；理由如下：作DHDE交BE于H,如圖3所示:vBEXAC, AD ±BC,. /1 + /ACD=/2+/ACD=90 , / 1 = /2, ./ADE=90 -/ADH=/BDH,在BDE ffiABDH 中，, AD=BD,Zade=Zbdh.ADEABDH (ASA), .DH=DE, AE=BH , .DHE是等腰直角三角形， ./DEH=45 ,/ 3=90° - / DEH=45 , ACD 翻折至 AACG, .DE=GE, / 3=/4=45°, ./DEG=/EDH=90 , DH=GE , .DH / GE, 四