第一講 速算與巧算

1、第一講 速算與巧算（一）計(jì)算是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，小學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須具有過(guò)硬的計(jì)算本領(lǐng)。準(zhǔn)確、快速的計(jì)算能力既是一種技巧，也是一種思維訓(xùn)練，既能提高計(jì)算效率、節(jié)省計(jì)算時(shí)間，更可以鍛煉記憶力，提高分析、判斷能力，促進(jìn)思維和智力的發(fā)展。我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)講過(guò)一些四則運(yùn)算的速算與巧算的方法，本講和下一講主要介紹加法的基準(zhǔn)數(shù)法和乘法的補(bǔ)同與同補(bǔ)速算法?；鶞?zhǔn)數(shù)速算法1、典型例題分析：例1：四年級(jí)一班第一小組有10名同學(xué)，某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)（分?jǐn)?shù)）如下，求這10名同學(xué)的總分。 86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。2、分析：通常的做法是將這10個(gè)數(shù)直接相加，但這些數(shù)雜亂無(wú)章，直接相加既繁且

2、易錯(cuò)。觀察這些數(shù)不難發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)雖然大小不等，但相差不大。我們可以選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)作“基準(zhǔn)數(shù)”，比如以“80”作基準(zhǔn)數(shù)，這10個(gè)數(shù)與80的差如下：6，-2，-3，3，11，-6，12，-11，4，-5，其中“-”號(hào)表示這個(gè)數(shù)比80小。于是得到：總分：8010（6-2-3311-6+12-11+4-5）8009809實(shí)際計(jì)算時(shí)只需口算，將這些數(shù)與80的差逐一累加。為了清楚起見(jiàn)，將這一過(guò)程表示如下：通過(guò)口算，得到差數(shù)累加為9，再加上8010，就可口算出結(jié)果為809。這種方法就叫做加法的基準(zhǔn)數(shù)法。這種方法適用于加數(shù)較多，而且所有的加數(shù)相差不大的情況。在使用基準(zhǔn)數(shù)法時(shí)，應(yīng)選取與各數(shù)的差較小的數(shù)作為基準(zhǔn)

3、數(shù)，這樣才容易計(jì)算累計(jì)差。同時(shí)考慮到基準(zhǔn)數(shù)與加數(shù)個(gè)數(shù)的乘法能夠方便地計(jì)算出來(lái)，所以基準(zhǔn)數(shù)應(yīng)盡量選取整十、整百的數(shù)。湊整補(bǔ)零速算法求一位數(shù)的平方，在乘法口訣的“九九表”中已經(jīng)被同學(xué)們熟知，如7749（七七四十九）。對(duì)于兩位數(shù)的平方，大多數(shù)同學(xué)只是背熟了1020的平方，而2199的平方就不大熟悉了。有沒(méi)有什么竅門(mén)，能夠迅速算出兩位數(shù)的平方呢？這里向同學(xué)們介紹一種方法湊整補(bǔ)零速算法。所謂湊整補(bǔ)零速算法，就是用所求數(shù)與最接近的整十?dāng)?shù)的差，通過(guò)移多補(bǔ)少，將所求數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)整十?dāng)?shù)乘以另一數(shù)，再加上零頭的平方數(shù)。解：8228282 （822）（822）22808446720+46724。下面通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這

4、一方法。1、典型例題分析：例1： 求292和822的值。解：292=2929（291）（29-1）1230281840+1841。由上例看出，因?yàn)?9比30少1，所以給29“補(bǔ)”1，這叫“補(bǔ)少”； 因?yàn)槭莾蓚€(gè)29相乘，所以對(duì)其中一個(gè)29“補(bǔ)少”后，就要在另一個(gè)29上減1（ 又叫“找齊”）。 最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的這個(gè)零頭數(shù)1的平方。同理，因?yàn)?2比80多2，所以從82中“移走”2，這叫“移多”。因?yàn)槭莾蓚€(gè)82相乘，所以對(duì)其中一個(gè)82“移多”后，還需要在另一個(gè)82上“找齊”。給一個(gè)82減去2。最后，還要加上“移多補(bǔ)少”的這個(gè)零頭數(shù)2的平方。這種方法不僅適用于求兩位數(shù)的平方值，也適用于求三位

5、數(shù)或更多位數(shù)的平方值。例2：求9932的值。解：9932=993993（9937）（993-7）+7210009864998600049986049。下面，我們介紹一類特殊情況的乘法的速算方法。請(qǐng)看下面的算式：6646，7388，1944。這幾道算式具有一個(gè)共同特點(diǎn)，兩個(gè)因數(shù)都是兩位數(shù)，一個(gè)因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)相同，另一因數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)之和為10。這類算式有非常簡(jiǎn)便的速算方法。例3： 8864？分析與解：由乘法分配律和結(jié)合律，得到8864（808）（604）（808）60（808）480608608048480608068048480（6064）8480（6010）848（61）100+8

6、4。于是，我們得到下面的速算式：由上式看出，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積，本例為84；積中從百位起前面的數(shù)是“個(gè)位與十位相同的因數(shù)”的十位數(shù)與“個(gè)位與十位之和為10的因數(shù)”的十位數(shù)加1的乘積，本例為8（61）。用這種速算法只需口算就可以方便地解答出這類兩位數(shù)的乘法計(jì)算。 上一講我們介紹了一類兩位數(shù)乘法的速算方法，這一講討論乘法的“同補(bǔ)”與“補(bǔ)同”速算法。兩個(gè)數(shù)之和等于10，則稱這兩個(gè)數(shù)互補(bǔ)。在整數(shù)乘法運(yùn)算中，常會(huì)遇到像7278，2686等被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同或互補(bǔ)，或被乘數(shù)與乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同或互補(bǔ)的情況。7278的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字相同、個(gè)位數(shù)字互補(bǔ)，這類式子我們稱為“頭相同

7、、尾互補(bǔ)”型；2686的被乘數(shù)與乘數(shù)的十位數(shù)字互補(bǔ)、個(gè)位數(shù)字相同，這類式子我們稱為“頭互補(bǔ)、尾相同” 型。計(jì)算這兩類題目，有非常簡(jiǎn)捷的速算方法，分別稱為“同補(bǔ)”速算法和“補(bǔ)同”速算法。例1： （1）7674？ （2）3139？分析與解：本例兩題都是“頭相同、尾互補(bǔ)”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7674（76）（70+4）（706）70（76）470706707046470（7064）6470（7010）647（7+1）10064。于是，我們得到下面的速算式：（2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例1看出，在“頭相同、尾互補(bǔ)”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不

8、夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如1909），積中從百位起前面的數(shù)是被乘數(shù)（或乘數(shù)）的十位數(shù)與十位數(shù)加1的乘積?！巴a(bǔ)”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：積的末兩位是“尾尾”，前面是“頭（頭+1）”。我們?cè)谌昙?jí)時(shí)學(xué)到的1515，2525，9595的速算，實(shí)際上就是“同補(bǔ)”速算法。例2 （1）7838？ （2）4363？分析與解：本例兩題都是“頭互補(bǔ)、尾相同”類型。（1）由乘法分配律和結(jié)合律，得到7838（708）（308）（708）30（708）87030+8307088870308（3070）8873100810088（738）10088。于是，我們得到下面的速算式： 2）與（1）類似可得到下面的速算式：由例2看出，

9、在“頭互補(bǔ)、尾相同”的兩個(gè)兩位數(shù)乘法中，積的末兩位數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)之積（不夠兩位時(shí)前面補(bǔ)0，如3309），積中從百位起前面的數(shù)是兩個(gè)因數(shù)的十位數(shù)之積加上被乘數(shù)（或乘數(shù)）的個(gè)位數(shù)?！把a(bǔ)同”速算法簡(jiǎn)單地說(shuō)就是：積的末兩位數(shù)是“尾尾”，前面是“頭頭+尾”。例1和例2介紹了兩位數(shù)乘以兩位數(shù)的“同補(bǔ)”或“補(bǔ)同”形式的速算法。當(dāng)被乘數(shù)和乘數(shù)多于兩位時(shí)，情況會(huì)發(fā)生什么變化呢？我們先將互補(bǔ)的概念推廣一下。當(dāng)兩個(gè)數(shù)的和是10，100，1000，時(shí)，這兩個(gè)數(shù)互為補(bǔ)數(shù)，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)。如43與57互補(bǔ)，99與1互補(bǔ)，555與445互補(bǔ)。在一個(gè)乘法算式中，當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)相同，后面的幾位數(shù)互補(bǔ)時(shí)，這個(gè)算式就是

10、“同補(bǔ)”型，即“頭相同，尾互補(bǔ)”型。例如， 因?yàn)楸怀藬?shù)與乘數(shù)的前兩位數(shù)相同，都是70，后兩位數(shù)互補(bǔ)，7723100，所以是“同補(bǔ)”型。又如，等都是“同補(bǔ)”型。當(dāng)被乘數(shù)與乘數(shù)前面的幾位數(shù)互補(bǔ)，后面的幾位數(shù)相同時(shí)，這個(gè)乘法算式就是“補(bǔ)同”型，即“頭互補(bǔ)，尾相同”型。例如，等都是“補(bǔ)同”型。在計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，例1的方法仍然適用。例3 （1）702708=？ （2）17081792？解：（1）2）計(jì)算多位數(shù)的“同補(bǔ)”型乘法時(shí)，將“頭（頭+1）”作為乘積的前幾位，將兩個(gè)互補(bǔ)數(shù)之積作為乘積的后幾位。注意：互補(bǔ)數(shù)如果是n位數(shù)，則應(yīng)占乘積的后2n位，不足的位補(bǔ)“0”。第三課時(shí) 拓展分配律和變異分

11、配律小幫手：利用乘法的意義，分配律可以拓展為：例1、 、3619+4519+1919 、14598-1998-2698、4827+7527-2327思維導(dǎo)航：、36個(gè)19和45個(gè)19和19個(gè)19合起來(lái)是：36+45+19=100個(gè)19。3619+4519+1919=（36+45+19）19=10019=1900、145個(gè)98減去19個(gè)98減去26個(gè)98，還剩145-19-26=100個(gè)98，即： 14598-1998-2698=（145-19-26）98=10098=9800、48個(gè)27和75個(gè)27合起來(lái)減去23個(gè)27，結(jié)果為48+75-23=100個(gè)27，即： 4827+7527-2327=

12、（48+75-23）27 =10027 =2700例2、1572+4576 思維導(dǎo)航：學(xué)生看到此題一定無(wú)從下手，師引導(dǎo)學(xué)生15和45是倍數(shù)關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為相等，再利用積不變的性質(zhì)1572=（153）(723),或者：將45轉(zhuǎn)化為15也可。原式=（153）（723）+4576 =4524+4576 =45（24+76） =45100 =4500或原式=15324+4576 =4524+4576 =45100 =4500例1 比較下面兩個(gè)積的大?。篈987654321123456789，B987654322123456788.分析 經(jīng)審題可知A的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字小1，

13、但A的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字大1.所以不經(jīng)計(jì)算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個(gè)大.但是無(wú)論是對(duì)A或是對(duì)B，直接把兩個(gè)因數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開(kāi)動(dòng)腦筋，將A和B先進(jìn)行恒等變形，再作判斷.解： A987654321123456789 987654321（1234567881） 987654321123456788987654321.B987654322123456788 （9876543211）123456788 987654321123456788123456788.因?yàn)?987654321123456788，所以 AB.例2 不用筆算，請(qǐng)你指出下面哪道題得數(shù)最大，并

14、說(shuō)明理由.241249 242248 243247244246 245245.解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.241249（2401）（2501）24025019；242248（2402）（2502）24025028；243247（240 3）（250 3） 24025037；244246（2404）（2504）24025046；245245（2405）（250 5）24025055.恒等變形以后的各式有相同的部分 240 250，又有不同的部分 19， 28， 37， 4 6， 55，由此很容易看出 245245的積最大.一般說(shuō)來(lái)，將一個(gè)整數(shù)拆成兩部分（或兩個(gè)整數(shù)），兩部分的

15、差值越小時(shí)，這兩部分的乘積越大.如：101928374655則5525積最大. 例3： 2、4、6、8、10、12是連續(xù)偶數(shù)，如果五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320，求它們中最小的一個(gè).解：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)應(yīng)為 320564，因相鄰偶數(shù)相差2，故這五個(gè)偶數(shù)依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計(jì)算方法.三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間一個(gè)數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類似的性質(zhì)它是五個(gè)自然數(shù)的平均值.如果用字母表示更為明顯，這五個(gè)數(shù)可以記作：x2、x1、x、x1、x2.如此類推，對(duì)于奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有這些自然數(shù)的平均值.如：對(duì)于2n1個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以表示為：xn，xn1，xn2， x1， x， x1，xn1，xn，其中 x是這2n1個(gè)自然數(shù)的平均值.巧用中數(shù)的計(jì)算方法，還可進(jìn)一步推廣，請(qǐng)看下面例題.例4： 將11001各數(shù)按下面格式排列：一個(gè)正方形框出九個(gè)數(shù)，要使這九個(gè)數(shù)之和等于：1986，2529，1989，能否辦到？如果辦不到，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：仔細(xì)觀察，方框中的九個(gè)數(shù)里，最中間的一個(gè)是這九個(gè)數(shù)的平均值，即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差1，是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)，豎列3個(gè)