韋達(dá)定理知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用解析

1、九年級(jí)一元二次方程（知識(shí)點(diǎn)詳解）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用解析1、定義： 若 x1， x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a 0) 的兩個(gè)根，則有x1 + x 2 = - b ，x1· x2 = c 。對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為a1 的一元二次方程 x2+px+q=0，則有 x1+ x2 =-p ，x1· x2 =qa2、應(yīng)用的前提條件：根的判別式0方程有實(shí)數(shù)根。3、若一個(gè)方程的兩個(gè)為1， x2，那么這個(gè)一元二次方程為212)x+ x1· 2xax +(x +xx =0(a 0)4、根與系數(shù)的關(guān)系求值常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：22=(x 1+x 2)

2、2-2x 1x2=x1+x2- b222c = b2acaaa 2 11x1x2bx1x2x1 x2c(x 1+a)(x2+a)= x 1x2 +a(x1+x2) +a 2 = c -b +a 2ab2(x -x )22x- 4ac=(x +x ) -4x=121212a25、方法歸納：（ 1）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用條件條件為一元二次方程，即a0，且必須有實(shí)數(shù)根，即0；（ 2）運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，一元二次方程應(yīng)化為一般形式，若系數(shù)中含字母要注意分類(lèi)討論；（ 3）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系有時(shí)與一元二次方程根的定義綜合運(yùn)用，注意觀察所求代數(shù)式是特點(diǎn)。（ 4）解題思路

3、：將含有根的代數(shù)式變形成含有兩根和與兩根積的式子，再通過(guò)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化成關(guān)于系數(shù)的式子，同時(shí)要注意參量的值要滿足根的實(shí)際意義。6、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用：（1）不解方程，判別一元二次方程兩根的符號(hào)。（判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來(lái)進(jìn)行確定，判別式判定根的存在與否，若0，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘若0，仍需考慮的正負(fù)，方可判別方程是兩個(gè)正根還是兩個(gè)負(fù)根。 ）例：不解方程，判別方程兩根的符號(hào)。解：，4×2×( 7) 650方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。設(shè)方程的兩個(gè)根為，九年級(jí)一元二次方程（知識(shí)點(diǎn)詳解） 0原方程有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根。（2

4、）已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。例：已知方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及的值。解： 設(shè)方程的另一個(gè)根為，根據(jù)題意，利用韋達(dá)定理得：，把代入，可得：把代入，可得：，即解得方程的另一個(gè)根為 4，（3）運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例：已知、是關(guān)于的一元二次方程零實(shí)數(shù)根，問(wèn)和能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的能同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由，解：因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程的值為 3 或 1。的兩個(gè)非的取值范圍；若不有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，九年級(jí)一元二次方程（知識(shí)點(diǎn)詳解）則有又、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得：假設(shè)、同號(hào)，則有兩種可能：（1）（2）若，則有：；即有：解這個(gè)不

5、等式組，得時(shí)方程才有實(shí)樹(shù)根，此種情況不成立。若， 則有：即有：九年級(jí)一元二次方程（知識(shí)點(diǎn)詳解）解這個(gè)不等式組，得；又，當(dāng)時(shí)，兩根能同號(hào)(4) 運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值例: 已知一元二次方程 2x2的兩個(gè)根分別為12122的值-3x+1=0x ， x，求（ x -x ）解：由題意及韋達(dá)定理得：x1+x2= - （ -3 ） = 3 ， x1x2 =1222(x -x )2=(x2= （3211+x ) -4x x） -4×=121212224（ x1-x 2） 2 的值是 14(5) 運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問(wèn)題例：在 ABC中，若 C=90°， AB=5，AC、 BC的長(zhǎng)是關(guān)于x 的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k 的值和ABC的面積22解： AC+BC=252 (AC+BC) -2AC·BC=252 AC+BC=2K+3,AC· BC=K+3K+2 (2K+3) 2-2(K 2+3