數(shù)列知識(shí)點(diǎn)歸納及例題分析

1、v1.0可編輯可修改數(shù)列知識(shí)點(diǎn)歸納及例題分析、數(shù)列的概念:1. 歸納通項(xiàng)公式：注重經(jīng)驗(yàn)的積累例1.歸納下列數(shù)列的通項(xiàng)公式:(1)0，-3,8，-15,24， 21,211,2111,21111, 3,1,厶？,.210 172. an與Sn的關(guān)系：an6,( n1)SnSn 1, (n 2)注意：強(qiáng)調(diào)n 1, n2分開(kāi)，注意下標(biāo);an與Sn之間的互化（求通項(xiàng)）例2:已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3,n1,n 21 ，求a3.數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：（1）單調(diào)性的判定與證明：（2）最大（?。╉?xiàng)問(wèn)題：（3）數(shù)列的周期性：（注意與函數(shù)周期性的聯(lián)系）2an ,0 an 31， a17，求 a2017 .1,1 a

2、n 1例3:已知數(shù)列an滿(mǎn)足an 1定義法; 單調(diào)性法;函數(shù)單調(diào)性法圖像法2an、等差數(shù)列與等比數(shù)列1.等比數(shù)列與等差數(shù)列基本性質(zhì)對(duì)比（類(lèi)比的思想，比較相同之處和不同之處）等差數(shù)列等比數(shù)列an1 q (q是常數(shù)，且q 0，定義an 1and ( d 是常數(shù) n 1,2,3，）ann 1,2,3 ，-）通項(xiàng)ana n 1 dn 1anag公式推廣：an am n m d推廣：ann mOmq2v1.0可編輯可修改2求和n n 1Snnq dn a1annai(q 1)公式Sn a1 1 “a1 anq(q 1)中項(xiàng)A an k an k ( n,k N*,n k 0)GJan kan k ( n

3、,k N ,n k 0)公式重要1、等和性：am an aras1、等積性：am an ar as性質(zhì)(m, n,r,s N ,m n r2、（第二通項(xiàng)公式）anam (nm)d(m, n, r,s N , m n r2、（第二通項(xiàng)公式）ann mam qam3、從等差數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列。3、從等比數(shù)列中抽取等距離的項(xiàng)組成的如：a1,a4, a7,a10,（下標(biāo)成等差數(shù)列）4、Sn,S2nSn , S3nS2n 成等差數(shù)列5、$_是等差數(shù)列n1.定乂： an an1 = d ( n2)an是等差數(shù)列數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列。如：a1,a4, a7,旦0,（下標(biāo)成等差數(shù)列）4

4、、Sn,S2n Sn,S3n S2n 成等比數(shù)列。（僅當(dāng)公比q 1且n為偶數(shù)時(shí)，不成立）1.定義：旦q(n2)an是等比數(shù)an 132.等差中項(xiàng)：2a + 1 = an+ an+ 2 an是2. 等比中項(xiàng):等差數(shù)列等價(jià)3.通項(xiàng)公式：an kn p （ k,p為常數(shù)）2 2 2 .an 1 anan 2 (a*0)an是等比數(shù)條件an是等差數(shù)列4.前n項(xiàng)和：Sn An2 Bn ( A, B為常3.通項(xiàng)公式：an（c,q 0且為常數(shù)）an是等比數(shù)列數(shù)）an是等差數(shù)列4.前n項(xiàng)和：Sn k qnk ( k,q 0且為常數(shù)） an是非常數(shù)列的等比數(shù)列v1.0可編輯可修改聯(lián)系真數(shù)等比，對(duì)數(shù)等差；指數(shù)等差

5、，冪值等比。例題:31an 1例4 (等差數(shù)列的判定或證明)：已知數(shù)列an中，a1=7，an = 2 ( n2，n5c1 N)，數(shù)列bn滿(mǎn)足 bn =-(N).an 一 1(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由.1 1(1)證明 an= 2 (nA 2，n N)，bn =;.an 1an 一 11 1 n2 時(shí)，bnbn-1=a1 - an1 11an 1 12 1 an 1an 11an-1 1 一 an1 1 = j5數(shù)列bn是以一2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.712解 由(1)知，bn= n 2,貝U an= 1+ - = 1+ 2n一7，2設(shè)函數(shù)

6、 f(x) = 1+2X37，易知f(x)在區(qū)間一X, 2和2，+x內(nèi)為減函數(shù).當(dāng)n = 3時(shí)，an取得最小值一1；當(dāng)n = 4時(shí)，an取得最大值3.例5 (等差數(shù)列的基本量的計(jì)算)設(shè) a1, d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S,滿(mǎn)足SS + 15= 0.(1)若 S5 = 5,求 S6及 ai (2)求d的取值范圍.15解(1)由題意知 S6= S = 3, a6= S6 S5= 8.5a1 + 10d= 5, 所以 a1 + 5d= 8.解得 ai= 7,所以 S6= 3, ai= 7.方法一 S5S6 + 15= 0,(5ai + 10d)(6 ai+ 15d)

7、+ 15= 0,即 2ai + 9dai + 10d + 1 = 0.因?yàn)殛P(guān)于ai的一元二次方程有解，所以 = 81d2 8(10d2 + 1) = d2 8> 0,解得 dw 22或 d>2(2.方法二 S5S6 + 15= 0, (5a1 + 10d)(6 3+ 15d) + 15= 0, 9da1 + 10d2+ 1 = 0.故(4ai + 9d)2 = d2 8.所以 d2> 8.故d的取值范圍為d< 2邊或d>2（2.例6 （前n項(xiàng)和及綜合應(yīng)用）（1）在等差數(shù)列an中，已知ai = 20,前n項(xiàng)和為S,且So= S15,求當(dāng)n取何值時(shí)，S取得最大值，并求

8、出它的最大值; 已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an= 4n 25,求數(shù)列| an|的前n項(xiàng)和.解 方法一a1= 20, So= S15, 10X 20 +d= 15X 20+ 號(hào)dd= |. an = 20+(n 1) X 5 = 5n + 65. a13= 0,即當(dāng) nw 12 時(shí)，an>0, n14 時(shí)，an<0,12 X 11當(dāng)n= 12或13時(shí)，S取得最大值，且最大值為S13= S2= 12X 20+ X5v1.0可編輯可修改=130.方法同方法一求得d=-5.n n 1S = 20n +255 2125525 23 1253 = 6n+Tn= 6n 3 +甘.n N，二當(dāng)n=

9、12或13時(shí)，S有最大值，且最大值為 Si2= Si3= 130.(2) - an=4n25， an+1=4( n + 1) 25，. an+1 an= 4= d，又 a1 = 4x 1 25= 21.所以數(shù)列an是以一21為首項(xiàng)，以4為公差的遞增的等差數(shù)列.an= 4n 25<0,令 an+1=4 n+ 1 25A0,由得n<64；由得nA54,所以n= 6.即數(shù)列|如的前6項(xiàng)是以21為首項(xiàng),公差為一4的等差數(shù)列，從第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,而| a7| = a7= 4X 7 24 = 3.設(shè)| an|的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則n n 121n+2x 4nW 6Tn =n

10、 666+ 3 n 6+n 7 x 4nA 722n + 23n nw 6,22n 23 n+ 132nA 7例7已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15,偶數(shù)項(xiàng)之和為30,則其公S 7n - 例8等差數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和分別為2.,，且 刁 b 為正整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是3 (先求an/bn n=5,13 bn27例9已知數(shù)列4中，ai1，當(dāng)n > 2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足an32S'，則2Sn 1數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an13 2v1.0可編輯可修改13例10在數(shù)列an中，a12 ,an 14 Z 2 In n an ln(1 1)，則 an 例11設(shè)®是

11、1 a和1a的等比中項(xiàng)，則a+3b的最大值為2例12若數(shù)列1,2C0S 0 , 22233cos 0 ,2 cos 0 ,，前100項(xiàng)之和為0,則0的值(2k2r，k Z )例13 ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，三邊成等比數(shù)列，則三角形的形狀為等邊三角形三、數(shù)列求和:(1)倒序相加法如：已知函數(shù)f(x)1 1尹 R)，求Sm f(m)f(2) III f(m)m ' I m(2)錯(cuò)位相減法:anbn其中 an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列。(3)裂項(xiàng)相消法：形如an(An B)(A n C)J)C B An B An C(4)拆項(xiàng)分組法：形如anbncn ,如：an 2n 3n ,an6n2n

12、(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))an(1)n 1 n2練習(xí):1、數(shù)列1，2nA.2n 112 32n的前n項(xiàng)和為(B )2n 12、數(shù)列 12,34,58,716,前n項(xiàng)和Sn3、數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an,貝U $00=4、設(shè) Sn 1 1 -2 61213nrr，且Sn Sn1 4，則n5、設(shè) n N*，關(guān)于 n 的函數(shù) f(n) ( 1)n 1 n2，若 a.f (n)f(n1），則數(shù)列an前100項(xiàng)的和a1 a2 a3ai00答案：100 解答：an f(n) f (n 1)(1)n 1n2( 1)n (n1)2(1)n(n1)2n2,(1)n(2n 1),所以 aia2a3a100( 3)7)

13、 9199)2012 50 100 四、求數(shù)列通項(xiàng)式(1)公式法:an 1an 1 an an 1 ，an 1an 等2an 1 寺累加法:形如an an 1f(n)(n 2)或anan 1 f(n)，且 f(n)不為常數(shù)(3)形如an an 1f（n）（n 2）且f（n）不為常數(shù)(4)待定系數(shù)法：形如an 1kan b,(k 0,1,其中 a1a)型轉(zhuǎn)換法：已知遞推關(guān)系f (Sn , an)0 Sn ana1,( n1)SnSn 1, (n 2)解題思路：利用anSna1,(n 1)Sn 1,(n 2)變化（1）已知f（Sn 1，an1） 0 ；（2）已知 f(Sn,SnSn 1)0（6）猜

14、想歸納法（慎用） 練習(xí)：考點(diǎn)三：數(shù)列的通項(xiàng)式1、在數(shù)列an中，前n項(xiàng)和Sn 4n28，則通項(xiàng)公式an3、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn3 2n，則 an5n 1an 2n1n 24、已知數(shù)列 an ， a1 2， an 1 an 3n2，貝U an5、在數(shù)列an中，a12,an1anIg 1N ),則 an =如果數(shù)列 an足ai3,anan 1 5anan 1(n N )，an7、a*滿(mǎn)足 a1 1 ， an 1an3an 1,則 an =13n 28、已知數(shù)列an的首項(xiàng)ai2，且an 1 2an 1，則通項(xiàng)公式an9、若數(shù)列an滿(mǎn)足ai 2,an 1 3an 2n N，則通項(xiàng)公式an10、如果數(shù)列

15、an的前n項(xiàng)和Sn3,那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是(DA. an2(n2 n1)B.an 3 2nC. an 3n 1D.an 2 3n五、數(shù)列應(yīng)用題:等差數(shù)列模型1、一種設(shè)備的價(jià)格為450000 元,假設(shè)維護(hù)費(fèi)第一年為1000元，以后每年增加那么此設(shè)備的最佳更。30年1000元，當(dāng)此設(shè)備的平均費(fèi)用為最小時(shí)為最佳更新年限,新年限為2、在一次人才招聘會(huì)上，有甲、乙兩家公司分別公布它們的工資標(biāo)準(zhǔn):甲公司：第一年月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元;乙公司：第一年月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上 遞增5%.設(shè)某人年初同時(shí)被甲、乙公司錄取，試問(wèn):(1)若

16、該人打算連續(xù)工作n年，則在第n年的月工資收入分別是多少元(2)若該人打算連續(xù)工作10年，且只考慮工資收入的總量，該人應(yīng)該選擇哪家公司為什么(精確到1元)v1.0可編輯可修改解：(1)設(shè)在甲公司第n年的工資收入為an元，在乙公司第n年的工資收入為bn(2)設(shè)工作10年在甲公司的則 an 230n 1270，bn 2000 1.05n 1總收入為S甲，在甲公司的總收入為S甲 (10 1500 45 230)12304200415301869比 2000(1 1.05n) 121 1.05由于S甲S乙，所以該人應(yīng)該選擇甲公司.等比數(shù)列模型 例 從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，

17、并以此發(fā)展 旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)計(jì)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上一年度減少-5本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù) 計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上一年增加 14(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為 an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元,寫(xiě)出an、bn的表達(dá)式;(2)至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入(精確到整數(shù))參考解答:(1) an800 800 1 158004000 1bn 400 400 1400400 1800 1 -51600 4 5(2)解不等式bn an，得n至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)v1.0可編輯可修改總投入.六、20

18、17年高考題 一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. （2017年新課標(biāo)I ）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a。as 24，S648，則an的公差為（A1B.2C.4D.8202.（ 2017年新課標(biāo)n卷理）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn) 望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈”意思是: 一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的則塔的頂層共有燈（A1盞B.3盞C.5盞D.9盞3.（2017年新課標(biāo)m卷理）等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差不為0 .若a2,a3,a6成等比數(shù)列，貝U an前6項(xiàng)的和為（A 2

19、4 B. 3C.3D.84. （2017年浙江卷）已知等差數(shù)列A.440B.330C.220D.110an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“ d 0 ”是“ S4 S6 2S5 ”的(A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.（2017年新課標(biāo)I ）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了 “解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是2°，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,22，

20、依此類(lèi)推.求滿(mǎn)足如下條件的最小整數(shù)N:N 100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是（、填空題（將正確的答案填在題中橫線上）6.（2017年北京卷理）若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿(mǎn)足a2a1 b11,a4 b4 8，b27.（2017年江蘇卷）等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知763$3 T ' S6，貝 U a8 =448.（ 2017年新課標(biāo)n卷理）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a33， S410 ,則n -k 1 Sk9.（2017年新課標(biāo)rn卷理）設(shè)等比數(shù)列 an滿(mǎn)足a1 a21,印a33，則a4三、解答題（應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

21、步驟）10.（ 2017年新課標(biāo)n文）已知等差數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn前n項(xiàng)和為 Tn,a11,b11, a2b22. ( 1 )若a3 b3 5，求bn的通項(xiàng)公式；(2)若T3 21，求 S3.11.（2017年新課標(biāo)I文）記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S22，S36.（1）求an的通項(xiàng)公式;(2)求 Sn，并判斷Sn 1,Sn,Sn 2是否成等差數(shù)列12. ( 2017 年全國(guó)m卷文)設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a1 3a2+ 2n 1務(wù)2n(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;求數(shù)列汙7的前n項(xiàng)和;13.(2017年天津卷文)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n N ) , bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312,b3a4 2al, S1111b4 .(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列a2nbn的前n項(xiàng)和(n N*).14.(2017 年山東卷文)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a1a?6, a1 a2a3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2) bn為各項(xiàng)非零等差數(shù)列，前n項(xiàng)和Sn,已知S2n1 60 1,求數(shù)列一前nan項(xiàng)和Tn15. (2017年天津卷理)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n N ) , g是首項(xiàng)為2的