均值不等式常考題型

1、2.均值不等式1. (1)若 a,b R ,則 a2.若a,bR*，則a b""2若a,b，則ab3.若x0，則3.若 ab若ab。，則b4.若 a,b注: ( 1)(2)均值不等式及其應用2 r rb 2ab 若 a,b R,則 abVab（當且僅當若a,b R*，則a b（當且僅當a b時取“=”）x 1時取“=”）;若x 0，則1-2x（當且僅當b時取2 .2L （當且僅當a b時取“二”）22JOB （當且僅當a b時取“=”）12 （當且僅當x 1時取“=”）x（當且僅當a b時取“=”）“=”)-2（當且僅當a b時取“=”）2 2a一L （當且僅當22b）2當

2、兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的 積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.求最值的條件“一正，二定，三相等”R，則（旦b時取“=”)（3）均值定理在求最值、應用一：求最值例1 :求下列函數(shù)的值域比較大小、求變量的取值范圍、 證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用.1(1) y= 3x 2+ 喬(2) y = x+1=V6值域為帝 ,+m)1解：(1) y= 3x 2 + 壽 >(2)當 x> 0 時，y= x+ 1 A 2R=2;1當 XV 0 時，y= x+ = （ x x值域為（s,解題技巧：技巧一：湊項1)一 2&qu

3、ot;2U 2, +s)例1 :已知x5，求函數(shù)y44x 2 1的最大值。4x 5解：因4x 50 ,所以首先要“調整”符號，又（4x 不是常數(shù)，所以對4x 2要進行拆、湊項,Qx 544x 0， y4x 2-54x 52)g4x 54x 亠 32 3 15 4x11一，即x 1時，5 4x評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。當且僅當54x上式等號成立,故當x 1時，ymax1。技巧二：湊系數(shù)例1.當|D 5 c4|時，求y x(8 2x)的最大值。解析：由0 < J <4知，S- 2工> 0|,利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個

4、式子 積的形式，但其和不是定值。注意到2x (82x)8為定值，故只需將y x(82x)湊上一個系數(shù)即可。=(3-2亦冷產葦 7 分=8當2x = ；8；-2x,g卩x= 2時取等號當x= 2時，y x(8 2x)的最大值為8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，3-，求函數(shù)y2但湊系數(shù)后可得到和為定值,從而可利用均值不等式求最大值。變式：設04x(32x)的最大值。解： 02x0 y4x(3 2x)2 2x(3 2x)2 2x 3 2x2當且僅當2x32x,即 x0,3時等號成立。2技巧三：分離2x7x 10“(xx 1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(工？十h十

5、10(>十1尸十5伝十1)十4,4,=(龍 + 1+ 5£十1X+1X+1例3.求y1)的值域。X+1)的項，再將其分離。x + 1當 A > -11,即兀+10|時,y 2 ( x 1)Vx 19 (當且僅當x= 1時取“=”號)。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元,4tt=x + 1，化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 _t2 5t 4 丄 y tt當 X>-即 t=X+l> 0| 時,y 24評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最Amg(x) B(Ag(x)值

6、。即化為y技巧五：注意:5 9 (當t=2即x= 1時取“=”號)。0,B0) , g(x)恒正或恒負的形式,然后運用均值不等式來求最值。在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函數(shù)f(x)ax 的單調性。x例：求函數(shù)y L-y辰x =的值域。4解：令Jx24t(t2)，則 y2)1因 t 0,t -1 ,t1因為y t -在區(qū)間t1不在區(qū)間2,，故等號不成立，考慮單調性。1,單調遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調遞增函數(shù)，故2x所以，所求函數(shù)的值域為-,2練習.求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時,x的值.(1) yxt2,(x0)(2)y 2x1 1k 3 y 2Sinx 亦,x

7、(0,)2 .已知01,求函數(shù)y廠Q7x(1 x)的最大值； 3. 0 x -,求函數(shù)y Jx(2 3x)的最大值3條件求最值1. 若實數(shù)滿足ab 2，則 3a3b的最小值是分析:“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解:3a和3b 都是正數(shù)，3a 3b> 2j3a 3b 2j3a b 6當3ababab3時等號成立，由a b 2及33得a b 1即當a b 1時，33的最小值是6.變式：若log 4 x1 1log4 y 2，求 一的最小值并求x,y的值x y技巧六：整體代換:多次連用最值定理求最值時,要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯

8、。2 :已知x 0, y0 ,且-1,求x yy的最小值。錯解：Q x 0, yxy 12 故x y min 12 o錯因：解法中兩次連用均值不等式，在y xy等號成立條件是 x y，在丄x9 2叵等號成立y Vxy19條件是- 一即y 9x，取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出x y等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：Qx 0,y0,1 9x yX y 丄 9 y 更 106 1016x y x y19,x -1，可得 x 4,712 時，x y min 16 oy 9x當且僅當丄 時，上式等號成立,X y變式：(1)若x,

9、 y R且2x1，求1 1的最小值x y已知a,b,x, y R且旦xb ，求x y的最小值y技巧七、已知x，y為正實數(shù)，且x 2 +專=1，求xh + y 2的最大值分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式abw 1同時還應化簡 屮十尸 中y2前面的系數(shù)為 2 ,打1 + y2=頁X寸立F面將x，、 1 + £ 分別看成兩個因式:(A/F十? )22x -+技巧八：已知a， b為正實數(shù)，2b+ ab + a = 30,求函數(shù)1y= ab的最小值-一是通過消元，轉化為一元函數(shù)問題，再用單調二是直接用基本 不等式，對本題來說，因已知條分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途

10、徑， 性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的； 件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式 的途徑進行。、,亠30 2b30 2b 2 b 2+ 30b法'一: a=,ab = b =b+1,b+ 1由 a> 0 得，0v bv 152t2 + 34t 31令 t = b+1, 1 vtv 16, ab =2 (t + ¥)+ 34 V t + ¥ > 討 t - Y = 8法二:點評: abw 18r丄y 1830 一 ab = a + 2bTu 30 w 0,由已知得：令 u=vab貝U u

11、2+ 2(2屈 w 3& , abw 18,當且僅當t = 4,即b= 3, a = 6時，等號成立。a + 2b > 2寸 2 ab 30 ab> 22 ab辭w uw 3羽1 尸18本題考查不等式2Tab ( a,b R )的應用、不等式的解法及運算能力； 如何由已知不等式abb Jab (a,b R ),這樣將已知條件轉換為含ab的不等式，進而解得 ab的范圍.a 2b 30(a,b R )出發(fā)求得ab的范圍，關鍵是尋找到a b與ab之間的關系，由此想到不等式2變式：1.已知a>0, b>0, ab (a + b) = 1,求a+ b的最小值。2. 若直角

12、三角形周長為 1,求它的面積最大值。 技巧九、取平方5、已知X, y為正實數(shù)，3x+ 2y= 10,求函數(shù) W= 伍 + 逅 的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系,號w，本題很簡單念x +逅 w 羽 寸(侮)2+(/2 ) 2 =72 寸3x+ 2y =刃5解法二:為定值”條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和 條件靠攏。W > 0,W2= 3x+2y+ 2莎 曲=10+ 2侮 逅 w 10+ (侮)2 2y )2 = 10+ (3x + 2y)= 20 Ww/20 = 2 躬變式：求函數(shù)y 7/頁(丄x 5)的最大值。2

13、2解析：注意到2x 1與 5 2x的和為定值。2y又y 0,所以0(J2x 1 J5 2x)242j(2x 1)(5 2x)4 (2x 1)(5 2x)8y 272當且僅當2x 1=52x，即 x3-時取等號。故ymax 2邁o評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝镁挡坏仁角笞钪禃r，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積 極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應用二：利用均值不等式證明不等式1.已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2 b2 c2 ab bc ca1)正數(shù) a, b, c滿足 a+b+ c= 1,求證：(1 a)(1 -b)(1 -c)>8abc已知 a、b、c R ，且 a b c 1。求證：1 111118a b c分析:不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個2”連乘，又/bc，可由此變形入手。解：Q a、b、c R1。2/bcoa同理-b12/ab 1 。cc上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得111111a b c/bc /ac /abga8。當且僅當1時取等號。3應用三：均值不等式與恒成立問題19例：已知x 0, y 0且一-x y求使不等式m恒成