第05章不定積分

1、第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分1、原函數(shù)：若Nx亡I , F '(X)= f(X),則稱F(x)為f (x)在I上的一個原函 數(shù).例如：(si nx)'=cosx , si nx 是 cosx 的原函數(shù).2、原函數(shù)性質(zhì)(1)原函數(shù)存在定理: 原函數(shù)F (X).設(shè)f(X)壬C(l),則f(X)存在I上的 若F(x)為f(x)在I上的原函數(shù)，貝y F(x) +C都是f(X)的原函數(shù),其中C為任意常數(shù). 若F(x)和G(x)都是f (X)的原函數(shù)，貝y 3C亡R, s.t. F(x)-G(x)=C證明：一If(x) -G(x)丄 F '(X)-G

2、(X)= f(X)- f(X)= 0. /.3C R, s.t. F(x)G(x)=C. 設(shè)F(x)為f (X)在I上的原函數(shù)，則f(x)在I上全體原函數(shù)為F(x) +C,C< R.3、不定積分：函數(shù)f(x)在I上的全體原函數(shù)稱為f(X)在I上的不定積分，記作J f (x)dx .其中:(1) J稱為積分號；(2)f(x)稱為被積函數(shù)；(3)f (x)dx稱為被積表達(dá)式.(4) x稱為積分變量.顯然,若F(x)為f (x)在I上的原函數(shù)，則Jf(x)dx=F(x)+ C, C 為任意常數(shù).例 1 求 fx5dx.解違丿= x5,”. fx5dx6x +C61例2求匸嚴(yán)., 1解：丁(ar

3、ctan x )=1J 丄 2dx=arctanx+C.1 +x例3設(shè)曲線通過點(1，2) 的兩倍，求此曲線方程.，且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標(biāo)解：設(shè)曲線為y = f(x),根據(jù)題意知 業(yè)=2£dxT(X2 ) =2x,J2xdx =x2+C,于是 f(x)=x2+C,又f (1) =2 = C =1,所求曲線方程為y=x2+1.4、積分曲線：函數(shù) f(x)原函數(shù)y=F(x)的圖形稱為f(x)的積分曲線.注：f (x)的不定積分是一簇積分曲線F(X)+C 5、(1)導(dǎo)數(shù)與不定積分的關(guān)系f f '(x)dx = f (X) +C .f f (x)dx = f(X).

4、dx、Jdf (X) = f (X) +C . d f f (x)dx = f (x)dx .可見：微分運算與求不定積分的運算是互逆的二、基本積分表1、問題提出例：屮+1丿= x'(4 = -1)=儀妝=+C、 » +1啟示：能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式?結(jié)論：既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式2、基本積分表Jkdx=kx + C （k為常數(shù)）；肢如=一+C （2-1）;+1、八dx=ln| x|*C;x=丄（_汀=丄,-xxdx證明： x>0, = f=ln x+C, xcO, In( x) xJ =ln |x| Cx1f X = arc

5、ta n x + C; '1+x21I" J dx = arcs in x +CJcosxdx = sin x +C;(8)(9)(10)(11)(12)(13)Jsin xdx = -cosx +C;.dx .2/2 = Jsec xdx = tan x +C;' cos x 、J 密=fcsc2 xdx = -cot X +C; 'sin Xfsecxtan xdx = secx +C;fcscxcot xdx = -cscx +C;JeXdx =eX +C;Xfaxd =+C;In a三、不定積分的性質(zhì)、j f(X)±g(x)dx = Jf (

6、x)dx± Jg(x)dx.ddd證明：一(f f (x)dx ± g (x)dx)= f f (x)dx ± f g(x)dx dxdxdx=f(X)±g(x),J f(X)±g(x)dx =J f (x)dx ± Jg(x)dx.2、Jkf(x)dx 斗 Jf (x)dx. ( k是常數(shù)，k 工0).plpl證明:一(k f f (x)dx f f (x)dx = kf(X), dx、dx 、二尹2+C. jJdx二行 +C 丿32x -3x + 3x-1Jkf (x)dx =k J f (x)dx.X1-3x +3ln | x

7、I+2 +C2xJ(ex -3cosx)dx =ex -3sin X +C .X XXJ2 e dx = f(2e) dx2xexIn (2e)X +(1 + x2)1 +ln 21+x+ X2V八dx = dx x(1 +x2)+ jhx = arctan x + In | x | +C . X' x(1 +x2)1f dxT +x2' 11 +x2dx =J+CIn aX4 T +1M +x2x3=一x +a ret axC .35x2 gJx2T+1+x2j101112ftan xdx = J (sec x 1)dx = tan x x + C 2 x11fsin dx

8、= f (1 -cos)dx =(X -sin x) + C . 2、221 1 1 ,J 忑贏dx = J1+2cos2x-1dx=2 JeosqdxJan2第二節(jié)換元積分法一、第一類換元法1、問題提出問題：如何求 J2cos2xdx ?分析：丁 2cos2x =cos2x (2x)' = (sin2x)', J2cos2xdx =sin 2x +C .解法：令 u=2x,由于 fcosudu =sinu+C, 而 du =2dx, cosu =cos2x, J2cos2xdx =sin 2x + C .2、第一類換元法 定理：設(shè)f (u)具有原函數(shù)，u =®(x)

9、可導(dǎo)，則有換元公式證明:Jf玖x)A(x)dx 由 f(u)duu 曲X).f(u)du二一rf(u)du 竺= f(u)申 ©) = f叫x)®'(x), dxdudxJf(x)®(x)dx = Jf(u)duu&x).1u 三七X 1111f X = fdu = ln | u | + C = ln'3+2xd心dx2'u22|3 + 2x| C2xex2dx：= reudu =eu +C =ex2 +C.、du z2xdx、< u idJx J1 -x2dx ="du xdx3丄 Wldu1ui+c2'2

10、 3込時7+c.ftan xdx = fsin xdx cosx=d=ln|cosx|+C. cosx1 1kdx蔦f1d(-) Jarctan +C .1¥)2a a aa-x2dx =d(-) =arcsin -+C , (a。). aax2 -aydxd（x）adu1 rd(U -1)2a 、 u -11 2 1(一ad心X a . u2 -1 2a . u -1 u + 11 )dufd(u+1)2a u +11 ln |u -1|-丄2a2aIn |u+1|+Cx ,一一1lnu -1+ Clna+ Clnx-a2au +12ax+12aX + aardxr d l n X

11、1 rd(1 +2ln x)2' 1 +2I nx'x(1+2l nx) 1 +2l nx1-ln |1+ 2lnx|+C .9 J二7=dxvxdu仝2Jx2 Je3udu =2 Je3ud(3u) =2e3u +C =2e3、'x +C 3 3310 Jsin3 xdx = - Jsin2 xdcosx = - J(1 -cos2 x)d cosx1 3=-cos x +-COS x+C.311 Jsin2 xcos xdx = Jsin2xcos xd sinx = Jsin2 x(1 sin2 x)2dsinx=(sin2X 2sin4 x + sin6 x)d

12、 sin x = sin3 x -2sin5 '35x+sir/x + C .7212 fcos xdxcos2xdlx21+ -sin 2x +C .413 Jcos4xdx31=X sin 2x +841sin 4x +C .32其中：cos4 x=(cos2 x)22q+cos2x、11+cos2x + cos" 2x 241 1.=一 + cos2x +、4 241 1 + cos4x3 1.=一 + cos2x + cos4x.8 2dx例 14 Jsecxdx = J、cosxd sin x2cos xd sin x"sin2x1-Tnsin X Tsi

13、n X +11-si n2x+ C =ln1 +sinxcosx+C =1 n|secxtan* +C .1 11例 15 fcos3xcos2xdx = f(cosx +cos5x)dx = sin x + sin 5x + C .2 210注意到：coscos P = -cos(a + P)+cos(a 一 P).2二、第二類換元法1、問題提出問題：如何求 J -x2dx ?解法：如果令x=si nt,t引一,那么2'2 1 1 f Jl -x2dx = fcos2tdt = -t +-sin 2t +C241111.=-t +-sin tcost +C =-arcsin x +

14、-x J1 -x2 +C .22222、第二類換元法(1)定理：設(shè)x=(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且屮'(t)MO,又設(shè)f 屮(t)屮(t)具有原函數(shù)，則有換元公式Jf(x)dxm Jf 屮(t)屮'(t)dt(x). 其中羽(x)是(t)的反函數(shù).證明：；Jf%)(t)dt=JfMt)(t)dt孚 dxdtdx11= fW(t)W(t) _ = f屮(t)屮帀=f(x) dtJf(x)dxm Jf 屮(t)屮'(t)dtzx)./ 2 2 va -x ,可令X =asint ；Ja2 +x2 ,可令X =atant ；/ 2 2 vx -a ,可令X =asect.

15、例16 dxx=ata ntf a sect tan tdt Ja2 +x2a J1 +ta n21(2)三角代換一般規(guī)律：當(dāng)被積函數(shù)中含有Jsectdt =ln |sect +tant |+G=In | Jl +tan2t +tant | +G = In 卩 +()X)2a a=ln |x + Ja2 +x2 | £ . ( a >0)其中：C = G -In a .例 17 rx-sect asecttantdt-a2 o«2 aJsec2t -1=Jsectdt = In | sect +tan 11 +G=In |sect + Jsec t -11 *Ci =

16、In + j()2 -1=ln | x + Jx2 -a2|£. ( xaO) 其中：C=GI na.同時dxJx2 -a2匸卄卄C2d(X)=ln-X + Jx2 -a2=InX + Jx2 - a2a2=In X + Jx2 -a2 +C .(xvacO)其中：C=C2-2Ina.總之:dx/2 2 vx -a=In |x +Jx2 -a2 | +C . ( a >0)（3）倒代換當(dāng)分母的階較高時,可采用倒代換：Xh1txt例 18dxJt4-（1）2（十）dt 二 J2-1dt13=一1 f( -1)2d( j) = 一1)2 +C2 2 3一1&十 C三、基本積

17、分表（續(xù)）(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)192021Jtan xdx = -ln | cosx | 弋;Jcotxdx = In |sin x | 弋;Jsecxdx = In | secx + tan x | +C ；Jcscxdx = In | cscx - cot X | +C ;1. XV 22dx =arcsin + CVa -X2a1'X2 +2x +3dx1XTx arcta n+c ；aa, 1 ,X adx =ln+ C ；2aX +aX =ln | X + Jx2 ± a2a-rd(x +1)dx(X +1)2 +(V2)

18、2，a2 +x2122X -a1Jx2 ±a= 2arcta n 廠72J2x + cd(2x)J4x2 +9dx*(2x)2+332 ln(2X + P4X2 +9) +C .dx(1 +x -X2L V5 22 ,1/12d(牙)-X +2 x - -(3)1 1d(x-)xc 彳2.2. 2x-1匸=arcs in 嚴(yán) +C = arcs inj= +C1 2v5V5r2云第三節(jié)分部積分法一、分部積分法1、問題提出由于(xsin X)' =xcosx +sin x ,那么Jxcosxdx +Jsin xdx = J(xcosx+sin x)dx =xsinx + C ,

19、從而Jxcosxdx = xsin x - fsin xdx + C = xsin x + cosx + C .2、分部積分公式Juvdx =uv - Ju vdx 或Judv=uv - Jvdu證明:丁(UV) = u v+uv', uv'=(uv)'-uv Juv dx = J(uv) dx - Ju vdx = uv - Ju vdx .u nfxexd= Juvdx =uv Ju vdx = xe fexd xex -ex +C .Jx2exdx = Jx2dex =x2ex - Jexdx2 =x2ex -2 fxexdx= x2ex -2ex(x-1) +C

20、 =ex(x2 -2x +2)+C .3、u與v的選擇要求(1) V易求出； fvdu比fudv容易積出.般地:被積函數(shù)為xnex、xn sinx與xn cosx時選擇u = xn.例如:U =x(1) fxexd= Juvdx =uv- JuVdx =xeX fexd xex -eC .(2) f xexd = fuvdx =uv- fu Vdx = 1x1 2eX 丄 fx2exdx.V rn22U zex顯然，Jx2eXdx比fxexdx更難積出.1 例 3 Jxin xdx =5 JIn xdx21 2=-x In21 2 I=-x In2=-x In212121x -2Jx2d In

21、 xJx2 丄dx xJxdx1 1 2 -2*= xarccosx-(1-x )+C21+12= xarccosx - J1-x2 +C.1例4 Jx arctan xdx =，Jarctan xdx2x=一arctan x22=arctan x22x=arctan x22=arcta n x22x=arctan x2Jx2d arctanx2fdx 十X21 +x2 -1J 4, 2 dx1 +xJdx +丄2 1 +x1+ - arcta n x + C21 2x= -(x2 +1)arctanx - +C2 2二、間接計算方法例 5J'exsin xdx =-JeXj cosx

22、x-ecosx-excosx/ex cosxdxx-ecosxfexd sin xx-ecosxX r I xe sin X Jsin xdex-ecosx*exsin X - fex sin xdxfexsin xdx = 1ex(sin x-cosx) +C . 2Jsec3 xdx = Jsecxd tan x=secxta n x Jta n xd secx=secxtanx - Jtanxsecxtanxdx=secxtanx - fsecx(sec x-1)dx=secxtanx - Jsec xdx + Jsecxdx fsec xdx =secxtan x +丄 fsecxdx

23、 ' 2 -1.=一 secx tan x + In | secx + tan x I +C 22解:l Fln(x2+a2)n(1) l1+dxxn 亡 N +, (a M 0).由于I n42 Jarctan +C ；+a a a=J 2 丁2 2 = ；(xa2)1dx(x +a )= x(x2= x(x2.21+ a )-Jxd(xa2)1x2一 wEydx= x(x2.21_q+ a )/ 2 . 2 2+2(n訕冷dx1x=.2 . 22(x +a )+ 2( n- 1)1心-2( n-1)a2ln, x 12(n -Daday+m3)1" n = 2,3,t X

24、例 8je'xdt 二 fet 2td2ftetd2et(t -1) +C =23嘆(依1) + C .x£2第四節(jié)有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分1、有理函數(shù)的化簡有理函數(shù)：F(x)_ Pn(x) _ aoXn +a,x2 十+anx + an Qm(x) boXm +bxmr+bmjX + tmmd其中m ,n都是非負(fù)整數(shù)，ai及bj都是實數(shù)，并且ao = 0 ,bo = 0 .(2)假定F(x)分子與分母之間沒有公因式 若n <m , F(x)稱為真分式； 若n 3m, F(x)稱為假分式.(3)利用多項式除法，假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和5.4 c例

25、如x+x -8= (x2 +X +1) +仝 -XX 2 + X + 1X5X2+ x83X -X3X4.3x + x42 X3 + 2X 十X3xX2、真分式P兇(n <m)的化簡(可以證明)Qm(x)在實數(shù)范圍內(nèi)，多項式Qm(x)可分解為Qm(x) =b0(x -a)g(X -b) P(x2 + px +q)兀"(x2 +rx +s)4其中2 2p -4q c0,r -4s <0 .R(x)Qm(x)_ A(X-a產(chǎn)(x-b) P+ A +(Xa嚴(yán)+B2+遼(X-b )P十 MjX tlNj十 M2x(X2 +p x+qp(X2 + px+q)+ A +X -aBp+

26、 ! +x-b+ N2l+x2 + px + q卡.+ Rpxx +rx +s+R1X+S +R2X + S2(x2 +rx + s) ' (x2 +rx + s)舊例如X +3x+32X -5x+6 (x-2)(x-3)亠+旦X 2X 3亠亠X 2 X 3X +3 = A(x -3) + B(x -2) = (A + B)x -(3A +2B)A+B =1, -(3A+2B) =3 二 A = 5, B =6.1+丄丄_丄X(X -1)2 X (X-1)2 X-1 X (X-1)2X-1=1 = A(x -1)2 + Bx +Cx(x -1)，那么取 x=0= A=1 ； 取 x=1

27、= B=1 ；取 x=2= C=T.2x+1551+x2A Bx+C(1+ 2x)(1+x2)_1 莎 1+x21+2xo=1 = A(1 +x ) + (Bx +C)(1 +2x)，即21 =(A+2B)x2 +(B +2C)x +C +A,3、(1)=A+2B =0, B +2C =0, A+C =1 =4A =, B52-,C5有理函數(shù)的積分有理函數(shù)積分可以化成一個多項式的積分和一個真分式的積分;真分式的積分可歸結(jié)為以下四種類型的積分:dx-d=ln |x-a|+C ； X -adxJ/ 、n “、('z+C，n1,n壬 N +；(Xa) (1 n)(xa)Mx +N2 2M d

28、(t +a )2dx !22x +px+qaH-p_b蟲地 2 “ t +a42dt+叫+2=ln(t2 +a2) +-arcta+C ；2a a+衛(wèi)fp2其中：x2+px+q = !x +衛(wèi) I +q- =t2 +V 2jM 22)dx=d(t2 +a2)+bdtM 2Mp(Mx + N)dx = d(x +px+ q)+(N-wMx +N同 Md(t2 +a2) t r叫 t2+a2)n J - dx = J 22 n(X2 + px+q)n2 (t2 +a2)ndt=M2+ bln, n >1 ,n N +2(1 -n)(t +a )(3)定理：有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)x +3

29、例1喬6dx =f _56)f +dx = 51 n| x-2|+6ln |x-3| +C .lx2 X3 丿例x-2(x+1)-31d(x + 1)2+2 3 2dx - f2 dx - 2-3 2 r 2x + 2x+3.(x+1) +22- (x + 1) +2 (x十儼 +(V2)2(x+1)-3d(x + 1)=1 n(x2 +2x +3) -2arctan罕 +C2弋 2V21 1 1十kdxxX -1(X-1)2In |x| -In |x-1|-丄 +CX 1'(1+ 2x)(1 +x2)dx_2 +1十 551+2x1+x2dx4 fd(1 + 2x)1 fd(1 +

30、x2) + 1 f dx10 1 +2x 5 1 +x25 '1 +x24121=一In |1 + 2x| In(1 +x2) + -arctanx + C .1055二、可化為有理函數(shù)的積分1、三角函數(shù)有理式的積分Xt 出 n_222t 1 t2t那么 J R(sin X, cosx) dx = f R(2,2fR(sin x,cosx)dx= fR( , ) dt,、1+t2 1+t2 1+t2X其中：R(u,v)為u,v的有理式.而t =tan-稱為萬能代換.2X證明：由于t =tan ,那么 X22= 2arctant,從而 dX=dt,且sin X =2s in cos-2 22ta rrX22ta n£22 X sec 一 2cosx = cos2 X - sin2 -=2 22 X sec - 21+ta