二洛必達(dá)法則-教學(xué)目標(biāo)與基本要求

1、第五章 定積分一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求1、理解定積分的概念和基本性質(zhì)， 使學(xué)生牢固掌握定積分概念，理 解定積分是一種和式極限，對(duì)定積分解決問(wèn)題的思想有初步體會(huì)。2、理解變上限定積分定義的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓-萊布尼茨公式。通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生更深入理解定積分和不定積分，微分和積 分間的聯(lián)系。3、掌握定積分的換元法與分部積分法4、了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。5、了解定積分的近似計(jì)算法。6、理解定積分的來(lái)源，幾何及物理意義，為以后學(xué)習(xí)其他專業(yè)課 程打下基礎(chǔ)掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形 的面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為 已知的立體體積、 變力

2、作功、 引力、 壓力及函數(shù)的平均值等）二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配：定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié)微積分基本公式學(xué)時(shí)第二節(jié)定積分的換元法和分部積分法學(xué)時(shí)第三節(jié)學(xué)時(shí)反常積分第四節(jié)學(xué)時(shí)三、教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn)：1、重點(diǎn)：定積分的概念和性質(zhì)。微積分基本定理，積分的換元 積分法。廣義積分。2、難點(diǎn)：定積分概念的規(guī)則。定積分的換元積分法和分步積分法 的運(yùn)用四、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬 ：1、 無(wú)窮限反常積分的審斂法2 、無(wú)界函數(shù)的反常積分的審斂法3、r函數(shù)5.1 定積分概念一、內(nèi)容要點(diǎn)1、1）2、3、2）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程定積分問(wèn)題舉例 曲邊梯形的面積 定積分定義 定積分慨念的意義定積分慨念具有廣泛的直觀背景，在各種科

3、技領(lǐng)域中有大量實(shí)際問(wèn)題，都可歸結(jié)為教學(xué)上的定積分問(wèn)題，這些問(wèn)題再應(yīng)用中有詳細(xì)討 論。4、定積分的存在定理連續(xù)或在區(qū)間上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則定積分存在。5、定積分的性質(zhì)(1) 線性性 (2)可加性 (3)單調(diào)性 (4)估值性 (5)定 積分中值定理二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)教學(xué)要求：正確理解定積分的概念極其簡(jiǎn)單性質(zhì)。注意點(diǎn)：af f(x)dx = 0"abba f(X)dx = f f (t)dt (2)baf(x)dx = - f (x)dx三、作業(yè)定積分的幾何意義 (5)同步訓(xùn)練29用定義計(jì)算第-35項(xiàng)1定積分的定義不考慮上述二例的幾何意義，下面從數(shù)學(xué)的角度來(lái)定義定積分定義設(shè)函數(shù)f

4、(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)=1H K五卡肉1I和11，記把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間【A，帀L幾習(xí)L卜砧I，兀J&i =Xi Xi4,i =12n,A = max也 XiQx2,，人 Xn在nXjXi上任意取一點(diǎn)®，作和式：2 f(©i)Axi(1)i#如果無(wú)論a,b作怎樣分割，也無(wú)論 J在Xi丄Xi 怎樣選取，只要nAT 0有藝f(q)AXi T I ( I為一個(gè)確定的常數(shù))，則稱極限 I是i 4bbf(x)在a,b上的定積分，簡(jiǎn)稱積分，記做f (x)dx即I=中f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx為積分表達(dá)式，a為積分下限， 上限，x稱為積分變

5、量，a,b稱為積分區(qū)間。f(x)dx 其b為積分1 定積分還可以用-6語(yǔ)言定義b2由此定義，以上二例的結(jié)果可以表示為A=Ja f(x)dx和$=v(t)dtT2b3有定義知道J f(x)dx表示一個(gè)具體的書(shū)，與函數(shù)f(x)以及區(qū)間a,bbbb有關(guān)，而與積分變量x無(wú)關(guān)，即J f(x)dx=J f(u)du=J f (t)dtaaa4定義中的AT 0不能用nT處代替n5如果LiS f(q)心Xi存在，則它就是f(x)在a,b上的定積分，那么f(x)必須在a,b上滿足什么條件f(x)在a,b上才可積分呢?厶文卄m"x為0,1中的有理點(diǎn)經(jīng)典反例：f(X"0, X為0,1中的無(wú)理點(diǎn)在

6、0，1上不可積?？梢?jiàn)函數(shù)f(x)在什么情況下可積分并不是一件容易的事情。第-39項(xiàng)以下給出兩個(gè)充分條件。定理1 設(shè) f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上可積。定理a,b2 設(shè) f(x)上可積。在區(qū)間a,b上有界,且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在定理3 設(shè) f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào),則 f(x)在a,b上可積。6幾何意義當(dāng) f(x) >0 時(shí),bf (x)dx表示曲邊梯形的面積；當(dāng)f(x)< 0時(shí),bf(x)在a,b上有f f (x)dx表示曲邊梯形的面積的負(fù)值；一般地，若ab正有負(fù)，則J f(x)dx表示曲邊梯形面積的代數(shù)和。a1例1計(jì)算exdx解：顯然f(x)在a,

7、b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積,現(xiàn)將0 , 1分成n個(gè)等分，分點(diǎn)為i .XiI =0,1,2.nn，也x, =1/ n，幾=1/ n取勺=Xi作和式:1en 11所以：卜匕十17. 按照定義 5. 2定積分的性質(zhì)積分中值定理b有定積分的定義知，f （x）dx是當(dāng)a<b時(shí)才有意義，而當(dāng)a=b與a>b時(shí)無(wú)意義，但為了計(jì)算及應(yīng)用的方便， 特作兩個(gè)規(guī)定:b1. a=b 時(shí)，f (x)dx=Oba2. a>b 時(shí)，f(x)dx=- f (x)dx性質(zhì)1:和差的定積分等于它的定積分的和差，即bbba f(X)±g(x)dx = a f (x)dx ± a g(x)

8、dx性質(zhì)2 :常數(shù)因子可以外提（可以推廣到n個(gè)）bbkf(x)dx =k f (x)dx性質(zhì)3 :無(wú)論a,b,c的位置如何，有bcbf f(x)dx f (x)dx + f f (x)dxaaCb性質(zhì) 4: f(x)三 1 則 J f(x)dx 七abb性質(zhì) 5:若 f(x)蘭g(x)貝y f f (x)dx 蘭 f g(x)dx, a 蘭 baa性質(zhì) 6: J f(x)dx < J f(x)dxF""a性質(zhì)7:設(shè)在a, b , m <f（X ）蘭M，則bm(b a )蘭 Ja f(x dx 蘭 M(b a)性質(zhì)& （積分中值定理）若f（x）在a,b上連

9、續(xù)，則a,b上至少存b一點(diǎn) ©，使下式成立，f(x)dx=(b-a)f(©)例1利用定積分幾何意義，求定積分值j0J1 -Xdx =-4上式表示介于X = 0, X = 1, y=0,. 2y = P'1 - X 之間第-57項(xiàng)面積例2、(估計(jì)積分值)證明2 W f3'1 dx0 匝+x-X2證:2 + X -x2在0, 1】上最大值為9,最小值為24飛二丿4<,1嚴(yán)丄、f2+xx2 Q2</o11t<-=72+x-x2(25. 2微積分基本公式、內(nèi)容要點(diǎn)1、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系2、積分上限函數(shù)f f(t)dta3、積

10、分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)d X-f f(t)d上(X dx a4、牛頓一萊布尼茲公式bf f (x)dx = F (b) - F (a) a5、舉例1 2T3 1-110 X dx 例 2 f dx 例 3 f -dxP=1 +xX設(shè)函數(shù)f (X)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，證明：在開(kāi)區(qū)間( b ) 內(nèi)bJa f(x)dx 設(shè)函數(shù)f ( X )X至少()(七 在0, +a,使存在一點(diǎn)a)V a < b)內(nèi)連續(xù)，并且f (X)>0，證明:tf(t)dtF (X)=J。f(t)dt在(0, +)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)。1 上COSXJ e dt求 lim 2 T X二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)教學(xué)要求：正確理解

11、定積分的概念極其簡(jiǎn)單性質(zhì)，掌握定積分基 本定理，會(huì)用牛頓一萊布尼茲公式計(jì)算定積分注意點(diǎn)：牛頓一萊布尼茲公式的條件三、作業(yè)同步訓(xùn)練30.變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，X為a,b上任一點(diǎn)，顯然，f(x)在a,bX上連續(xù)，從而可積，定積分為；f (x)dx由于積分變量與積分上限aX相同，為防止混淆，修改為 (X)= f f(t)dt ( a<b)稱(x)是a變上限積分的函數(shù)。_X定理1：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則(x) = J f(t)dt在a,b上可ad X導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)為(xU f (t)dt) = f (X) dx 'a證明省略定理2 :如果函數(shù)f(x)在a,b

12、上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)X(X)= J f(t)dt是f(x)在a,b上的一個(gè)原函數(shù)。a注意:1定理說(shuō)明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在2此定理指出了定積分與原函數(shù)的關(guān)系二、基本定理牛頓一萊伯尼茲公式定理如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個(gè)原函數(shù),則。 (1)證已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，又根據(jù)前面的定理 知道，積分上限的函數(shù)也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。于是這兩個(gè)原函數(shù)之差為某個(gè)常數(shù)，即在上式中令x = a，得FS卄U。又由(令的定義式及上節(jié)定積分的補(bǔ)充規(guī)定知 (a)=0，因此，C = F(a)。以F(a)代入 式中I 代入式中的的C,以在上式中令x = b，就得

13、到所要證明的公式(1) 式對(duì)a>b的情形同樣成立。為方便起見(jiàn)，以后把 0(淀O。由積分性質(zhì)知，(1)F(b) - F(a)記成公式叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，它給定積分提供 了一種有效而簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，也稱為微積分基本公式。1計(jì)算定積分Ojf-就ctan1 見(jiàn) 12匚空二 bklt；=如2 = -Jin4計(jì)算正弦曲線y = sinx 在0,兀上與x軸所圍成的平面圖形的 面積。lim例5求W解易知這是一個(gè)0型的未定式，我們利用洛必達(dá)法則來(lái)計(jì)算。dt因此f產(chǎn)必 lim 拯5I"2x甘。lim例 6、lim Jcosx fntdt =limxtPx4XT

14、0cosxIncosx sinx4x31 lim cosx T4 TxT xIn cosx lim1-si nx= Iim4 T 2x 9 0 sx85. 3定積分的換兀法和分部積分法、內(nèi)容要點(diǎn)定積分換元法：換元公式f(W(t)dt aOt定積分分布積分法：分布積分公式bf uvdx =3、舉例二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)教學(xué)要求能正確和熟練的運(yùn)用定積分的換元積分法和分部積分 法注意點(diǎn)定積分的換元積分法三、 作業(yè)同步訓(xùn)練31、32定理：設(shè)(1) f(x)在a,b上連續(xù)，(2)函數(shù)x=*(t)在a.P上嚴(yán)格單調(diào)，且有連續(xù)導(dǎo)數(shù),(3) a <t < P 時(shí)，a <*(t) <b 且

15、做a) =a,$(P) =b則有換元公式:bpa f(x)dxLf (*(t)t)dt .(1)1.用換元法時(shí)，當(dāng)用 x=©(t)將積分變量X換成t求出原函數(shù)后，t不用回代，只要積分上下限作相應(yīng)的變化即可。2.X =*(t)必須嚴(yán)格單調(diào)3.a可以大于P4.從左往右看，是不定積分的第二換元法；從右往左看，可以認(rèn)為是第一換兀法。2 例 1、 JoX22idx = J cJ2x-X2X2=dx-1)2法一設(shè) X -1 = Sin tn2n1(1+sin t)cost法二 設(shè) x =2sin2t原式_3cost dt=2J02 (1 + sin2t)dt=-nn 43!= 8Jo2sin t

16、例2.設(shè)f(X )在(-繪+比)上連續(xù)，且xF(x)= J0(X2tf(t)dt,證明：若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)。證:丄t =UXF(-xAJ。(x-2tf(tdt=【0 (-x+2uf(-t)d(-1)(一 X 2t f (t dt= F(x)例3.奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分性質(zhì)，周期函數(shù)積分性質(zhì)(1)f(x )在-a,a連續(xù)，a>0當(dāng) f(X )為偶數(shù)，則 J： f(x)dx = 2J 0 f(x)dx當(dāng)f(X )為奇函數(shù)，則 La f(x)dx = 0f(x)dx =叮 f(x)dx , f(X )以 T 為周期說(shuō)明在任何長(zhǎng)度為T的區(qū)間上的積分值是相等的。4、 J： x

17、(1 + x2001)(eX-e-X)dx = 4e1X -x原式=2j0 x(e -e )dx1=2j0 xd(e-ex)=2躺+e)5、|cosx0 coS2sin xdx = J 2ncosx , dx1+sin2x冗=2nJ 0 f(x) dx 求f(X)j0dsi n x=2arcta nsin；1 +sin x6、設(shè)f(X )為連續(xù)函數(shù)，且f(x) = sinx +n解:設(shè) J 0 f(x) dx = A 則 f(X )= sin X + A兩邊積分nnJ。f(x)dx = j0 (sinx+A)dxAn A nA = - cosR +ax0A =丄1 - nf(x) =si nx

18、 + 2定積分的分部積分法定理:若 u(x),v(x)在a,b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則bbf uv dx =uv |a J u vdx a證明：因?yàn)?uv)'=uV +uv'，則有 uv'= (uv)' u'v ,兩邊取定積分。有uvdx = uv |ab "b一 u vdx也可以寫(xiě)成：udv = uviab-f vdu1 x 例 1. xe dx解：.1'xexdx =1,；xdewx |01-.0eXdx =e -(e -1) =1例2.esin (I n x)dx解:esin (I n x)dx = xsin (I n x) |rr1I

19、xd sin(ln x) =esin1 - I xcos(ln x)-dx 11xee1= esin 1 - f cos(ln x)dx = esin 1 -xcos(ln x) | - f xsin(ln x)- dx1rx= esin1 -ecosi +1 sin(ln x)dxe 11 sin(ln x)dx = - esin 1 ecos1 +1In +例3、設(shè) f(x)=j:丙 dt求f(x)+f -解：f(x)+fIn tdt +1 +t1+tdtIntInx1 +xln1+ x_1+1X例 4.設(shè) f(X)在a, b連續(xù),(a,b)可導(dǎo)，且f x)< 0 ,F(x)-fx

20、f (t)dt 證明在(a, b)內(nèi)，有 F'(x)蘭 0X -a . aX證：(xJxFUx) Ja fdt(X - a)2(x-a)f(x)-(x-a)f(勺(x-a)2f(x) -f(©X -a寫(xiě)廠(X)蘭0fd )在(a, b)單調(diào)減，匚蘭XT fG)>f(x)故 F'(x)蘭 05. 4反常積分一、內(nèi)容要點(diǎn)1 無(wú)窮限的反常積分-be(1) f (x)dx = lim f f (x)dxat_abb(2) f f(x)dx=lim I" f (x)dx1尹 'tb0-be(3)Lcf(x)d Uf(x)dx + 02 無(wú)界函數(shù)的反常積分

21、bb(1) f(x)dx=tlimf(x)dx 的瑕點(diǎn)t>ab(2) fa的瑕點(diǎn)t<btf (x)dx = lim f f (x)dxt-jb'af(x)dxf(X)壬 C (a,b,點(diǎn) a 為 f(x)f(X)迂 C a,b)，點(diǎn)為 f(x)bcf(x)dx f(X)亡 C a,b-c,f f (x)dx = j f(x)dx+ faac點(diǎn)c為f(x)的瑕點(diǎn)3例題分析二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)教學(xué)要求并會(huì)計(jì)算一些較為簡(jiǎn)單的廣義積分，了解積分的審斂法。注意點(diǎn)無(wú)窮限的反常積分 三、作業(yè)同步訓(xùn)練33一無(wú)窮限的廣義積分定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a , +遠(yuǎn))上連續(xù)，取b>a,若極限dx存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間a , U)上的廣義積分，記作(1)這時(shí)也稱廣義積分發(fā)散。，即flim2+®收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積存在，則稱廣義積分類似地，若極限民叫攵斂。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 匕,+比)上連續(xù)，如果廣義積分rf(x)在無(wú)窮區(qū)間都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)(-OC, +乂)上的廣義積分，記作丄儀,也稱廣義積分轉(zhuǎn) '收斂；否則就稱廣義積分丄4發(fā)散。上述廣義積分統(tǒng)稱為無(wú)窮限的廣義積分。例1:計(jì)算廣義積分(arctgx.dx解：0第驢x