二洛必達法則-教學目標與基本要求

1、第五章 定積分一、教學目標與基本要求1、理解定積分的概念和基本性質， 使學生牢固掌握定積分概念，理 解定積分是一種和式極限，對定積分解決問題的思想有初步體會。2、理解變上限定積分定義的函數(shù)及其求導定理，掌握牛頓-萊布尼茨公式。通過學習，使學生更深入理解定積分和不定積分，微分和積 分間的聯(lián)系。3、掌握定積分的換元法與分部積分法4、了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。5、了解定積分的近似計算法。6、理解定積分的來源，幾何及物理意義，為以后學習其他專業(yè)課 程打下基礎掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形 的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為 已知的立體體積、 變力

2、作功、 引力、 壓力及函數(shù)的平均值等）二、教學內(nèi)容及學時分配：定積分的概念與性質第一節(jié)微積分基本公式學時第二節(jié)定積分的換元法和分部積分法學時第三節(jié)學時反常積分第四節(jié)學時三、教學內(nèi)容的重點及難點：1、重點：定積分的概念和性質。微積分基本定理，積分的換元 積分法。廣義積分。2、難點：定積分概念的規(guī)則。定積分的換元積分法和分步積分法 的運用四、教學內(nèi)容的深化和拓寬 ：1、 無窮限反常積分的審斂法2 、無界函數(shù)的反常積分的審斂法3、r函數(shù)5.1 定積分概念一、內(nèi)容要點1、1）2、3、2）變速直線運動的路程定積分問題舉例 曲邊梯形的面積 定積分定義 定積分慨念的意義定積分慨念具有廣泛的直觀背景，在各種科

3、技領域中有大量實際問題，都可歸結為教學上的定積分問題，這些問題再應用中有詳細討 論。4、定積分的存在定理連續(xù)或在區(qū)間上只有有限個第一類間斷點，則定積分存在。5、定積分的性質(1) 線性性 (2)可加性 (3)單調(diào)性 (4)估值性 (5)定 積分中值定理二、教學要求與注意點教學要求：正確理解定積分的概念極其簡單性質。注意點：af f(x)dx = 0"abba f(X)dx = f f (t)dt (2)baf(x)dx = - f (x)dx三、作業(yè)定積分的幾何意義 (5)同步訓練29用定義計算第-35項1定積分的定義不考慮上述二例的幾何意義，下面從數(shù)學的角度來定義定積分定義設函數(shù)f

4、(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干個分點=1H K五卡肉1I和11，記把區(qū)間a,b分成n個小區(qū)間【A，帀L幾習L卜砧I，兀J&i =Xi Xi4,i =12n,A = max也 XiQx2,，人 Xn在nXjXi上任意取一點®，作和式：2 f(©i)Axi(1)i#如果無論a,b作怎樣分割，也無論 J在Xi丄Xi 怎樣選取，只要nAT 0有藝f(q)AXi T I ( I為一個確定的常數(shù))，則稱極限 I是i 4bbf(x)在a,b上的定積分，簡稱積分，記做f (x)dx即I=中f(x)為被積函數(shù)，f(x)dx為積分表達式，a為積分下限， 上限，x稱為積分變

5、量，a,b稱為積分區(qū)間。f(x)dx 其b為積分1 定積分還可以用-6語言定義b2由此定義，以上二例的結果可以表示為A=Ja f(x)dx和$=v(t)dtT2b3有定義知道J f(x)dx表示一個具體的書，與函數(shù)f(x)以及區(qū)間a,bbbb有關，而與積分變量x無關，即J f(x)dx=J f(u)du=J f (t)dtaaa4定義中的AT 0不能用nT處代替n5如果LiS f(q)心Xi存在，則它就是f(x)在a,b上的定積分，那么f(x)必須在a,b上滿足什么條件f(x)在a,b上才可積分呢?厶文卄m"x為0,1中的有理點經(jīng)典反例：f(X"0, X為0,1中的無理點在

6、0，1上不可積?？梢姾瘮?shù)f(x)在什么情況下可積分并不是一件容易的事情。第-39項以下給出兩個充分條件。定理1 設 f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),則f(x)在a,b上可積。定理a,b2 設 f(x)上可積。在區(qū)間a,b上有界,且只有有限個間斷點，則f(x)在定理3 設 f(x)在區(qū)間a,b上單調(diào),則 f(x)在a,b上可積。6幾何意義當 f(x) >0 時,bf (x)dx表示曲邊梯形的面積；當f(x)< 0時,bf(x)在a,b上有f f (x)dx表示曲邊梯形的面積的負值；一般地，若ab正有負，則J f(x)dx表示曲邊梯形面積的代數(shù)和。a1例1計算exdx解：顯然f(x)在a,

7、b上連續(xù)，則f(x)在a,b上可積,現(xiàn)將0 , 1分成n個等分，分點為i .XiI =0,1,2.nn，也x, =1/ n，幾=1/ n取勺=Xi作和式:1en 11所以：卜匕十17. 按照定義 5. 2定積分的性質積分中值定理b有定積分的定義知，f （x）dx是當a<b時才有意義，而當a=b與a>b時無意義，但為了計算及應用的方便， 特作兩個規(guī)定:b1. a=b 時，f (x)dx=Oba2. a>b 時，f(x)dx=- f (x)dx性質1:和差的定積分等于它的定積分的和差，即bbba f(X)±g(x)dx = a f (x)dx ± a g(x)

8、dx性質2 :常數(shù)因子可以外提（可以推廣到n個）bbkf(x)dx =k f (x)dx性質3 :無論a,b,c的位置如何，有bcbf f(x)dx f (x)dx + f f (x)dxaaCb性質 4: f(x)三 1 則 J f(x)dx 七abb性質 5:若 f(x)蘭g(x)貝y f f (x)dx 蘭 f g(x)dx, a 蘭 baa性質 6: J f(x)dx < J f(x)dxF""a性質7:設在a, b , m <f（X ）蘭M，則bm(b a )蘭 Ja f(x dx 蘭 M(b a)性質& （積分中值定理）若f（x）在a,b上連

9、續(xù)，則a,b上至少存b一點 ©，使下式成立，f(x)dx=(b-a)f(©)例1利用定積分幾何意義，求定積分值j0J1 -Xdx =-4上式表示介于X = 0, X = 1, y=0,. 2y = P'1 - X 之間第-57項面積例2、(估計積分值)證明2 W f3'1 dx0 匝+x-X2證:2 + X -x2在0, 1】上最大值為9,最小值為24飛二丿4<,1嚴丄、f2+xx2 Q2</o11t<-=72+x-x2(25. 2微積分基本公式、內(nèi)容要點1、變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系2、積分上限函數(shù)f f(t)dta3、積

10、分上限函數(shù)的導數(shù)d X-f f(t)d上(X dx a4、牛頓一萊布尼茲公式bf f (x)dx = F (b) - F (a) a5、舉例1 2T3 1-110 X dx 例 2 f dx 例 3 f -dxP=1 +xX設函數(shù)f (X)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，證明：在開區(qū)間( b ) 內(nèi)bJa f(x)dx 設函數(shù)f ( X )X至少()(七 在0, +a,使存在一點a)V a < b)內(nèi)連續(xù)，并且f (X)>0，證明:tf(t)dtF (X)=J。f(t)dt在(0, +)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)。1 上COSXJ e dt求 lim 2 T X二、教學要求與注意點教學要求：正確理解

11、定積分的概念極其簡單性質，掌握定積分基 本定理，會用牛頓一萊布尼茲公式計算定積分注意點：牛頓一萊布尼茲公式的條件三、作業(yè)同步訓練30.變上限積分函數(shù)的導數(shù)設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，X為a,b上任一點，顯然，f(x)在a,bX上連續(xù)，從而可積，定積分為；f (x)dx由于積分變量與積分上限aX相同，為防止混淆，修改為 (X)= f f(t)dt ( a<b)稱(x)是a變上限積分的函數(shù)。_X定理1：設f(x)在a,b上連續(xù)，則(x) = J f(t)dt在a,b上可ad X導，且導數(shù)為(xU f (t)dt) = f (X) dx 'a證明省略定理2 :如果函數(shù)f(x)在a,b

12、上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)X(X)= J f(t)dt是f(x)在a,b上的一個原函數(shù)。a注意:1定理說明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在2此定理指出了定積分與原函數(shù)的關系二、基本定理牛頓一萊伯尼茲公式定理如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的一個原函數(shù),則。 (1)證已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，又根據(jù)前面的定理 知道，積分上限的函數(shù)也是f(x)的一個原函數(shù)。于是這兩個原函數(shù)之差為某個常數(shù)，即在上式中令x = a，得FS卄U。又由(令的定義式及上節(jié)定積分的補充規(guī)定知 (a)=0，因此，C = F(a)。以F(a)代入 式中I 代入式中的的C,以在上式中令x = b，就得

13、到所要證明的公式(1) 式對a>b的情形同樣成立。為方便起見，以后把 0(淀O。由積分性質知，(1)F(b) - F(a)記成公式叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，它給定積分提供 了一種有效而簡便的計算方法，也稱為微積分基本公式。1計算定積分Ojf-就ctan1 見 12匚空二 bklt；=如2 = -Jin4計算正弦曲線y = sinx 在0,兀上與x軸所圍成的平面圖形的 面積。lim例5求W解易知這是一個0型的未定式，我們利用洛必達法則來計算。dt因此f產(chǎn)必 lim 拯5I"2x甘。lim例 6、lim Jcosx fntdt =limxtPx4XT

14、0cosxIncosx sinx4x31 lim cosx T4 TxT xIn cosx lim1-si nx= Iim4 T 2x 9 0 sx85. 3定積分的換兀法和分部積分法、內(nèi)容要點定積分換元法：換元公式f(W(t)dt aOt定積分分布積分法：分布積分公式bf uvdx =3、舉例二、教學要求與注意點教學要求能正確和熟練的運用定積分的換元積分法和分部積分 法注意點定積分的換元積分法三、 作業(yè)同步訓練31、32定理：設(1) f(x)在a,b上連續(xù)，(2)函數(shù)x=*(t)在a.P上嚴格單調(diào)，且有連續(xù)導數(shù),(3) a <t < P 時，a <*(t) <b 且

15、做a) =a,$(P) =b則有換元公式:bpa f(x)dxLf (*(t)t)dt .(1)1.用換元法時，當用 x=©(t)將積分變量X換成t求出原函數(shù)后，t不用回代，只要積分上下限作相應的變化即可。2.X =*(t)必須嚴格單調(diào)3.a可以大于P4.從左往右看，是不定積分的第二換元法；從右往左看，可以認為是第一換兀法。2 例 1、 JoX22idx = J cJ2x-X2X2=dx-1)2法一設 X -1 = Sin tn2n1(1+sin t)cost法二 設 x =2sin2t原式_3cost dt=2J02 (1 + sin2t)dt=-nn 43!= 8Jo2sin t

16、例2.設f(X )在(-繪+比)上連續(xù)，且xF(x)= J0(X2tf(t)dt,證明：若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)。證:丄t =UXF(-xAJ。(x-2tf(tdt=【0 (-x+2uf(-t)d(-1)(一 X 2t f (t dt= F(x)例3.奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間積分性質，周期函數(shù)積分性質(1)f(x )在-a,a連續(xù)，a>0當 f(X )為偶數(shù)，則 J： f(x)dx = 2J 0 f(x)dx當f(X )為奇函數(shù)，則 La f(x)dx = 0f(x)dx =叮 f(x)dx , f(X )以 T 為周期說明在任何長度為T的區(qū)間上的積分值是相等的。4、 J： x

17、(1 + x2001)(eX-e-X)dx = 4e1X -x原式=2j0 x(e -e )dx1=2j0 xd(e-ex)=2躺+e)5、|cosx0 coS2sin xdx = J 2ncosx , dx1+sin2x冗=2nJ 0 f(x) dx 求f(X)j0dsi n x=2arcta nsin；1 +sin x6、設f(X )為連續(xù)函數(shù)，且f(x) = sinx +n解:設 J 0 f(x) dx = A 則 f(X )= sin X + A兩邊積分nnJ。f(x)dx = j0 (sinx+A)dxAn A nA = - cosR +ax0A =丄1 - nf(x) =si nx

18、 + 2定積分的分部積分法定理:若 u(x),v(x)在a,b上有連續(xù)導數(shù)，則bbf uv dx =uv |a J u vdx a證明：因為(uv)'=uV +uv'，則有 uv'= (uv)' u'v ,兩邊取定積分。有uvdx = uv |ab "b一 u vdx也可以寫成：udv = uviab-f vdu1 x 例 1. xe dx解：.1'xexdx =1,；xdewx |01-.0eXdx =e -(e -1) =1例2.esin (I n x)dx解:esin (I n x)dx = xsin (I n x) |rr1I

19、xd sin(ln x) =esin1 - I xcos(ln x)-dx 11xee1= esin 1 - f cos(ln x)dx = esin 1 -xcos(ln x) | - f xsin(ln x)- dx1rx= esin1 -ecosi +1 sin(ln x)dxe 11 sin(ln x)dx = - esin 1 ecos1 +1In +例3、設 f(x)=j:丙 dt求f(x)+f -解：f(x)+fIn tdt +1 +t1+tdtIntInx1 +xln1+ x_1+1X例 4.設 f(X)在a, b連續(xù),(a,b)可導，且f x)< 0 ,F(x)-fx

20、f (t)dt 證明在(a, b)內(nèi)，有 F'(x)蘭 0X -a . aX證：(xJxFUx) Ja fdt(X - a)2(x-a)f(x)-(x-a)f(勺(x-a)2f(x) -f(©X -a寫廠(X)蘭0fd )在(a, b)單調(diào)減，匚蘭XT fG)>f(x)故 F'(x)蘭 05. 4反常積分一、內(nèi)容要點1 無窮限的反常積分-be(1) f (x)dx = lim f f (x)dxat_abb(2) f f(x)dx=lim I" f (x)dx1尹 'tb0-be(3)Lcf(x)d Uf(x)dx + 02 無界函數(shù)的反常積分

21、bb(1) f(x)dx=tlimf(x)dx 的瑕點t>ab(2) fa的瑕點t<btf (x)dx = lim f f (x)dxt-jb'af(x)dxf(X)壬 C (a,b,點 a 為 f(x)f(X)迂 C a,b)，點為 f(x)bcf(x)dx f(X)亡 C a,b-c,f f (x)dx = j f(x)dx+ faac點c為f(x)的瑕點3例題分析二、教學要求與注意點教學要求并會計算一些較為簡單的廣義積分，了解積分的審斂法。注意點無窮限的反常積分 三、作業(yè)同步訓練33一無窮限的廣義積分定義1設函數(shù)f(x)在區(qū)間a , +遠)上連續(xù)，取b>a,若極限dx存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間a , U)上的廣義積分，記作(1)這時也稱廣義積分發(fā)散。，即flim2+®收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積存在，則稱廣義積分類似地，若極限民叫攵斂。設函數(shù)f(x)在區(qū)間 匕,+比)上連續(xù)，如果廣義積分rf(x)在無窮區(qū)間都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)(-OC, +乂)上的廣義積分，記作丄儀,也稱廣義積分轉 '收斂；否則就稱廣義積分丄4發(fā)散。上述廣義積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分。例1:計算廣義積分(arctgx.dx解：0第驢x