同濟(jì)高等數(shù)學(xué)第六版-D7_3齊次方程ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 齊次方程 第三節(jié) 第七章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、齊次方程一、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy替代 u, 便得原方程的通解.解法:分離變量: 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通

2、解為xCxysin( 當(dāng)當(dāng) C = 0 時(shí)時(shí), y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )0C此處目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: :,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux )1(yCxyx)(闡明闡明: 顯然顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 為任意常數(shù))求解過(guò)程中丟失了. 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x由光的反射定律:可得

3、OMA = OAM = 例例3. 探照燈的聚光鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面探照燈的聚光鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面, 它的形狀由它的形狀由)0()(:yxfyL解解: 將光源所在點(diǎn)取作坐標(biāo)原點(diǎn)將光源所在點(diǎn)取作坐標(biāo)原點(diǎn), 并設(shè)入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求, 在其旋轉(zhuǎn)軸 (x 軸)上一點(diǎn)O處發(fā)出的一切光線，從而 AO = OMOPAP xOy 坐標(biāo)面上的一條曲線 L 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成 , 按聚光性而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx yO經(jīng)它反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求曲線 L 的方程.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvy

4、vyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2積分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (拋物線)221)(vvCyCyvv21故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxAO頂?shù)降椎木嚯x為 h ,hdC82闡明闡明:)(222CxCy2,2dyhCx則將這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為hdxhdzy1642222hd若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達(dá)式得)0,(2C作業(yè) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( h, k 為待 *二、可化為齊次方程的方程二、可化為齊次方程的方程111ddcybxacybxaxy)0(212cc,. 1

5、11時(shí)當(dāng)bbaa作變換kYyhXx,dd,ddYyXx則原方程化為 YbXaYbXaXY11ddckbha111ckbha令 0ckbha0111ckbha, 解出 h , k YbXaYbXaXY11dd(齊次方程)定常數(shù)), 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,代入將kyYhxX求出其解后, 即得原方 程的解.,. 211時(shí)當(dāng)bbaa原方程可化為 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd則1ddcvcvbaxv(可分離變量方程)注注: 上述方法可適用于下述更一般的方程上述方法可適用于下述更一般的方程 111ddcybxacybxafxy)0(212cc目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 求解求解64ddyxyxxy52xy解解:04 kh令,5, 1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u , 得令06 kh1,5hk 得XXuuudd112積分得uarctan)1(ln221uXCln代回原變量, 得原方程的通解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC52xy利用得 C = 1 , 故所求特解為15arctanxy22)5() 1(ln21yx思索思索: 若方程改為若方程改為 ,64dd