湖北省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點按難度與題型歸納(數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記)

1、v1.0可編輯可修改湖北省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點按難度與題型歸納(數(shù)學(xué)應(yīng)試筆記)一、填空題答卷提醒：重視填空題的解法與得分，盡可能減少失誤，這是取得好成績的基石A14題，基礎(chǔ)送分題，做到不失一題！A1.集合性質(zhì)與運算1、性質(zhì):任何一個集合是它本身的子集，記為AA；空集是任何集合的子集，記為A；空集是任何非空集合的真子集；如果AB,同時BA,那么A=B.如果AB,BC,那么AC.【注意】：Z=整數(shù)(，)Z=全體整數(shù)(X)已知集合S中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集.(X)空集的補集是全集.若集合A=集合B,則CA=,CB=G(田=D(注：GB=).2、若A=ai,a2,a3“|an,則A的子

2、集有2n個，真子集有2n1個，非空真子集有2n2個.3、硝(BUC)(AB)U(A，C)，AU(BC)AUBMAIC)；(AB)CA(BC),(AjB)JCAJ(BC)4、DeMorgan公式：(AB)CUAJCUB；CU(a|JB)CUaQCUB.【提醒】：數(shù)軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。A2.命題的否定與否命題* 1.命題pq的否定與它的否命題的區(qū)別：命題pq的否定是pq,否命題是pq.命題“p或q”的否定是“p且q”，“p且q”的否定是“p或q”.* 2.?？寄Ｊ剑喝Q命題p：x

3、M,p(x);全稱命題p的否定p：xM,p(x).特稱命題p：xM,p(x)；特稱命題p的否定p:xM,p(x).A3.復(fù)數(shù)運算mnmnm、nmnmmm,* 1.運算律：zzz；(z)z;(zz2)z1z2(m,nN).【提示】注意復(fù)數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)、三角等運算率的適用范圍*2.模的性質(zhì): | Z1Z2 I |Zi IIZ2I ;|Zl Izn.*3.重要結(jié)論: I z1 z2I2I z1z2I2 2(|zi|2 | Z2 |2) Z1 Z2i性質(zhì):T=4;.4ni,i1,2i1 i(4)1 i.4ni, i【拓展】：3-Ji2所有的哥函數(shù)在（0,）都有定義，并且圖像都過點(1,1)；(2)a

4、0時，哥函數(shù)的圖像通過原點，并且在區(qū)間0,）上是增函數(shù).特別地，當(dāng) a 1時，哥函數(shù)的圖A4.募函數(shù)的的性質(zhì)及圖像變化規(guī)律:14（3） a 0時，哥函數(shù)的圖彳t在區(qū)間（0,像下凸；當(dāng)0a1時，哥函數(shù)的圖像上凸;）上是減函數(shù).在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖像在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時，圖像在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.【說明】：對于哥函數(shù)我們只要求掌握a12311的這5類，它們的圖像都經(jīng)過一個定點（0,0）和（0,1）,23并且x1時圖像都經(jīng)過（1,1）,把握好哥函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像就可以了A5.統(tǒng)計1 .抽樣方法：（1）簡單隨機抽樣（抽簽法、隨機樣數(shù)表法）常常用于總

5、體個數(shù)較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽?。?）分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異.共同點：每個個體被抽到的概率都相等（口）.N2 .總體分布的估計就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率總體估計掌握：一“表”（頻率分布表）；兩“圖”（頻率分布直方圖和莖葉圖）.頻率分布直方圖頻率分布直方圖就是以圖形面積用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小頻率=sSf.，、，一，頻率,一小長方形面積=組距X4上=頻率.組距所有小長方形面積的和=各組頻率和=1.【提醒】：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻

6、率)，橫軸一般是數(shù)據(jù)的大小，小矩形的面積表示頻率.莖葉圖當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時,用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù),這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子,莖葉圖。3 .用樣本的算術(shù)平均數(shù)作為對總體期望值的估計；-1-1n樣本平均數(shù)：x(x1x2xn)xinni14.用樣本方差的大小估計總體數(shù)據(jù)波動性的好差(方差大波動差).(1) 一組數(shù)據(jù) x1, x2, x3, xn樣本方差S2 4(x1 x)2 (x2 x)2 n1 no(xn x) (xi x)n i 11nc 1n c-(xi )(x )n i 1n i 1

7、樣本標(biāo)準(zhǔn)差后 Jn(xx)(x2x)2(xn2x)=(xix)2(2)兩組數(shù)據(jù) x1, x2, x3, xn 與 y1，y2, y3,yn,其中 yaxb , i 1,2,3, n .則ax b ,它們的方差為Sy2 a202,標(biāo)準(zhǔn)差為y |a| x若x1,x2,|“，xn的平均數(shù)為x ,方差為s2,則ax1b, ax2 b, 11J, axn b的平均數(shù)為ax b ,方差222樣本數(shù)據(jù)做如此變換：xiaxib,則xaxb,(S)aS.日(59,中檔題，易丟分，防漏/多解)B1.線性規(guī)劃1、二兀一次不等式表布的平面區(qū)域：(1)當(dāng) A 0 時，若 Ax By C(2)當(dāng) B 0 時，若 Ax B

8、y C0表示直線l的右邊，若Ax0表示直線l的上方，若AxBy C 0則表示直線l的左邊.By C 0則表示直線l的下方.A1A2B1B2 0),則2、設(shè)曲線C:(AiXByCi)(A2XB2yC2)0(AxB1yG)(AxB2yC2)0或0所表示的平面區(qū)域:兩直線AxByCi0和AxB2yC20所成的對頂角區(qū)域(上下或左右兩部分)3、點R(Xo,yo)與曲線f(x,y)的位置關(guān)系:若曲線f(x,y)為封閉曲線(圓、橢圓、曲線|x a| | y b| m等)，則 f(xo,y。) 0,稱點在曲線外部;若f(x,y)為開放曲線(拋物線、雙曲線等)，則f(x0,y0)0,稱點亦在曲線“外部”.4、

9、已知直線l:AxByC0,目標(biāo)函數(shù)zAxBy.當(dāng)B0時，將直線l向上平移，則z的值越來越大；直線l向下平移，則z的值越來越小；當(dāng)B0時，將直線l向上平移，則z的值越來越小；直線l向下平移，則z的值越來越大；5、明確線性規(guī)劃中的幾個目標(biāo)函數(shù)(方程)的幾何意義：(1) zaxby,若b0,直線在y軸上的截距越大，z越大，若b0,直線在y軸上的截距越大,z越小.(2)表示過兩點x,y,n,m的直線的斜率，特別上表示過原點和n,m的直線的斜率.xnx22(1) txmyn表不圓心固te,半徑變化的動圓，也可以認(rèn)為是二兀方程的覆蓋問題.(4) yyxmyn表示x,y到點0,0的距離.(5) F(cos,

10、sin)；|AxoBy。C|(6) dJ；,A2B2a2abb2；【點撥】：通過構(gòu)造距離函數(shù)、斜率函數(shù)、截距函數(shù)、單位圓x2+y2=1上的點(cos,sin)及余弦定理進行轉(zhuǎn)化達到解題目的。B2.三角變換：三角函數(shù)式的恒等變形或用三角式來代換代數(shù)式稱為三角變換.三角恒等變形是以同角三角公式，誘導(dǎo)公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和積化和差公式，萬能公式為基礎(chǔ).三角代換是以三角函數(shù)的值域為根據(jù)，進行恰如其分的代換，使代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角式，然后再使用上述諸公式進行恒等變形，使問題得以解決.三角變換是指角(“配”與“湊”)、函數(shù)名(切割化弦)、次數(shù)(降與升)、系數(shù)(常值“1”)和運算結(jié)構(gòu)(和與積)的

11、變換，其核心是“角的變換”.角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.變換化簡技巧：角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設(shè)元轉(zhuǎn)化，引入輔角，平方消元等.具體地:(1)角的“配”與“湊”：掌握角的“和”、“差”“倍”和“半”公式后，還應(yīng)注意一些配湊變形技巧,如下:2(2(154530 ,754530(2) “降哥”與“升騫”(次的變化)利用二倍角公式cos22cos. 2 sin22cos22sin和二倍角公式的等價變形2sin1 cos22，2cos1 sin 22,可以進行“升”與“降”的變換，即“二次”與“一次”的

12、互化.(3)切割化弦(名的變化)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，將不同名的三角函數(shù)化成同名的三角函數(shù)，以便于解題.經(jīng)常用的手段是“切化弦”和“弦化切”(4)常值變換常值1著W，1, 3可作特殊角的三角函數(shù)值來代換.此外，對常值 “1”可作如下代換：1 sin2 x cos2 x sec x tan2x tanx cotx 2sin 30tan sincos042III 等.(5)引入輔助角cos般的，a sin b cosa2b2(a.a2 b2sincossin(aa2=b2,sinba2 b2,tan特別白勺,sinAcosA2sin(A);sinx/scosx2sin(x-),73sinxc

13、osx2sin(x&)等.(6)特殊結(jié)構(gòu)的構(gòu)造構(gòu)造對偶式，可以回避復(fù)雜三角代換，化繁為簡舉例：Asin220cos250sin20cos50,Bcos20sin250cos20sin501._可以通過AB2sin70,ABsin70兩式和，作進一步化簡.2(7)整體代換舉仞sinxcosxm2sinxcosxm21sin()m,sin()n,可求出sincos,cossin整體值，作為代換之用.B3.三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點.(1)角的變換因為在ABC中，ABC(三內(nèi)角和定理)，所以任意兩角和：與第三個角總互補，任意兩半角和與第三

14、個角的半角總互余銳角三角形：三內(nèi)角都是銳角；三內(nèi)角的余弦值為正值；任兩角和都是鈍角；任意兩邊的平方和大于第三邊的平方即，sinAsin(BC);cosAcos(BC);tanAtan(BC).ABCABCABCsincos；cossin；tancot.222222(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理.面積公式:13absinCrp.p(pa)(pa)(pa).ABBCCA其中r為二角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半.tantantantantantan222222對任意ABC,;在非直角ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC.(4)在ABC中，熟記并會證明:*

15、1.A,B,C成等差數(shù)列的充分必要條件是B60*2. ABC是正三角形的充分必要條件是A,B,C成等差數(shù)列且a,b,c,成等比數(shù)列.*3.三邊a,b,c成等差數(shù)列*4.三邊a,b,c,成等比數(shù)列(5)銳角 ABC 中，A B 2AC12bac2sinAsinBsinCtantan；B.2233一2一2bacsinAsinBsinC,B2yzcosA2xzcosB2xycosC.B4.三角恒等與不等式組一3sin3 3sin 4sin ,cos3sin sin sin sin4cos3 3cos22cos costan 333tantantantan(一)tan(一)13tan233組二tanA

16、tanBtanCsinAsinBsinCcosAcosBcosCtanAtanBtanCABC4cos-coscos22214sin公sinBsinC22222_2_sinAsinBsinC22cosAcosBcosC組三常見三角不等式(1)若x(0,5),則sinxxtanx；(2)若x(0,),則1sinxcosx1；一一sinx(4) f(x)在(0,)上是減函數(shù);xB5.概率的計算公式：古典概型:P(A)A包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)等可能事件的概率計算公式：p(A)沮電；ncard(I)互斥事件的概率計算公式：P(A+B)=RA)+RB)；對立事件的概率計算公式是：P(A)=1

17、RA);獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式是：RA?場=P(A)?RB);獨立事件重復(fù)試驗的概率計算公式是：kknkPn(k)CnP(1P)(是二項展開式(1小葉的第(k+1)項).幾何概型：若記事件A=任取一個樣本點，它落在區(qū)域g，則A的概率定義為g的測度構(gòu)成事件A的區(qū)域長度(面積或體積等)P(A)的測度試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度(面積或體積等)注意：探求一個事件發(fā)生的概率，常應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化思想和分解(分類或分步)轉(zhuǎn)化思想處理：把所求的事件轉(zhuǎn)化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉(zhuǎn)化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉(zhuǎn)化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在

18、n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件.事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件.【說明】：條件概率：稱P（B|A）P（AB）為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。P（A）注意：0P（B|A）1；P（BUC|A尸P（B|A）+P（C|A）。B6.排列、組合（1）解決有限制條件的（有序排列，無序組合）問題方法是：位置分析法小士尸斗用加法原理（分類）元素分析法直接法：用乘法原理（分步）插入法（不相鄰問題）捆綁法（相鄰問題）間接法：即排除不符合要求的情形一般先從特殊元素和特殊位置入手.（2）解排列組合問題的方法有：特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先

19、法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）。相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。不相鄰（相間）問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。多排問題單排法。多元問題分類法。有序問題組合法。選取問題先選后排法。至多至少問題間接法。相同元素分組可采用隔板

20、法。?涂色問題先分步考慮至某一步時再分類.（3）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n!.B7.最值定理x,y0,由xy2jE，若積xyP（定值），則當(dāng)xy時和xy有最小值2Jp；x,y0,由xy2Jxy,若和xyS（定值），則當(dāng)xy是積xy有最大值-s2.4【推廣】：已知x,yR,則有（xy）2（xy）22xy.（1）若積xy是定值，則當(dāng)|xy|最大時，|xy|最大；當(dāng)|xy|最小時，|xy|最小.（2）若和|x y|是定值，則當(dāng)|x y|最大時,|xy|最??；當(dāng)|x y|最小時，|xy|最大.已知a,x,b,yR,若axby1,則有:11(ax by)()

21、 x ym,n上的最值；二是求區(qū)間定（動），對byaxabab2xyaba,x,b,yR,若一一1則有：xyxyB8.求函數(shù)值域的常用方法:配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的特征來求解;【點撥】：二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意開口方向和對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系.逆求法：通過反解，用y來表示x,再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍，型如ya-b,x（m,n）的函數(shù)值域；cxd換元法：化繁為間，構(gòu)造中間函數(shù)，把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式

22、模型，通過代換構(gòu)造容易求值域的簡單函數(shù)，再求其值域；三角有界法：直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，如轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，再運用其有界性來求值域；不等式法：利用基本不等式ab2b（a,bR）求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積k一為定值，型如yx一（k0）,解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技x巧；單調(diào)性法：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域，常結(jié)合導(dǎo)數(shù)法綜合求解；數(shù)形結(jié)合法：函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據(jù)函數(shù)的幾何意義，如斜率、距離、絕對值等，利用數(shù)與形相互配合的方法來求值域；分離常數(shù)法：對于分子、分母同次的分式形式的函數(shù)求值域問題

23、，把函數(shù)分離成一個常數(shù)和一個分式和的形式，進而可利用函數(shù)單調(diào)性確定其值域.判別式法：對于形如ya1x2nxc（a1，a2不同日為0）的函數(shù)常采用此法.a2xb2xc2【說明】：對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：1.yb型，可直接用不等式性質(zhì)；kx22. ybx型，先化簡,mx n再用均值不等式;23. yX2mXn型,通常用判別式法;xmxn24. y一mxn型,可用判別式法或均值不等式法;mxn?導(dǎo)數(shù)法：一般適用于高次多項式函數(shù)求值域B9.函數(shù)值域的題型（一）常規(guī)函數(shù)求值域：畫

24、圖像，定區(qū)間，截段.常規(guī)函數(shù)有：一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，對號函數(shù)（二）非常規(guī)函數(shù)求值域：想法設(shè)法變形成常規(guī)函數(shù)求值域解題步驟：（1）換元變形；（2）求變形完的常規(guī)函數(shù)的自變量取值范圍；（3）畫圖像，定區(qū)間，截段。（三）分式函數(shù)求值域：四種題型cxdCycxd(a0)：則y且yR.axbacxd.x的范圍解不等式求 y的范圍.（2）yC一-（x2）：利用反表示法求值域。先反表示，再利用axb2x23x26x2x1(2x1)(x2)x2,11口y(x-)，則y-Uy1且yR.(2x1)(3x1)3x1232x1(4)求y2x1的值域,當(dāng)xR時，用判別式法求值域。x2

25、x12x12.一._.2,一一y-yx(y2)xy10,(y2)4y(y1)0值域.xx1（四）不可變形的雜函數(shù)求值域：利用函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)趨勢圖像，定區(qū)間，截段判斷單調(diào)性的方法：選擇填空題首選復(fù)合函數(shù)法，其次求導(dǎo)數(shù)；大題首選求導(dǎo)數(shù)，其次用定義。詳情見單調(diào)性部分知識講解（五）原函數(shù)反函數(shù)對應(yīng)求值域：原函數(shù)的定義域等于反函數(shù)值域，原函數(shù)值域等于反函數(shù)定義域（六）已知值域求系數(shù)：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知值域?qū)φ涨笞帜溉≈祷蚍秶?B10.應(yīng)用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：湊系數(shù)（乘、除變量系數(shù)）.例1.當(dāng)0x4時，求函的數(shù)yx（82x）最大值

26、.5湊項(加、減常數(shù)項)：例2.已知x -,求函數(shù)f (x) 4x 41F的最大值.2調(diào)整分子：例 3.求函數(shù)f(x) -一7x 10(x1)的值域;x 1a b 變用公式：基本不等式 J06有幾個常用變形：22.2a bab,()2 ab ,22a b a b22(ab)2.前兩個變形很直接，后兩個變形則不易想到，應(yīng)重視；例 24.求函數(shù)15y 72x1 J5 2x( x )的最大值； 22，、一一,一 ，、2 16連用公式：例 5.已知a b 0,求y a 的取小值；b(a b)1lnv對數(shù)變換：例 6.已知x -, y 1 ,且xy e ,求t (2x) y的最大值；三角變換：例7.已知

27、0 y x ,，且tanx 3tan y,求t x y的最大值;常數(shù)代換(逆用條件):例8.已知a 0,b 0 ,且a 2b 1 ,求t1 1的取小值.a bB11. “單調(diào)性”補了 “基本不等式”的漏洞:平方和為定值若x2 y2 a (a為定值，a 0),可設(shè)xTa cos ,y Va sin ,其中 0w f (x, y) x y a sin . a cos.152asin(一)在0,- ,- ,2 )上是增函數(shù)，在44415 一， 一,上是減函數(shù)；44_1-13 g(x, y) xy -asin2 在0 -,244函數(shù)；571357一,-,2 )上是增函數(shù)，在，一,-，上是減444444

28、1 m(x, y) x1 x y y xysin cosa sin cos令 t sin cos V2asin( 一), 其中4t 2, 1)IJ( 1,1)U(1,/c,0）,（0,7c上是減函數(shù)，在（，Jc,Jc,）上是增x函數(shù)；當(dāng)c0時，在（，0）,（0,）上是增函數(shù)；當(dāng)c 0時，在Jc,0）,（0, Jc上是減函數(shù)，在e11xy1cmm(x,y)(x)xyxycx(,c,、c,）上是增函數(shù);0時，在（,0）,（0,）上是減函數(shù); n(x, y) x2(x-)2 x2c在(Vc）,（0, Jc上是減函數(shù)，在（Vc,0, Tc,）上是增函數(shù).倒數(shù)和為定值一 ），則 y yc-.成等差數(shù)列且

29、均不為零，可設(shè)公差為z ,其中zx f (x)1 z,-y2dz,得x.當(dāng)d數(shù)；當(dāng)d 0時，在（ g(x, y) xy數(shù)；當(dāng)d 0時,d1 dzy0時,在（1、，1%,一）,（ 一,0上是增函數(shù)，在 d dd2d.當(dāng)d 0時，在( d z1、，1 一 ,，-;）,（二,0上是減函數(shù),在 d d1、，1 c,rc 1、，1,-）,（二,0上是減函數(shù)，在0,二）,（二, d dd d-1、 ， 1、 一0,-）,（-,）上減函數(shù)；d d1、， 1iz1,d）X彳,0上是減函數(shù)，在”丐,10, d),(）上是增函數(shù);）上是增函）上是增函 n(x, y)_22 22d (d z 1) 人2 22.(d

30、2z2 1)2其中t1且t 2n(x,y)手 (t 2)2d2在1,2）上是增函數(shù)，在4（2,）上是減函數(shù).B12.理解幾組概念* 1.廣義判別式設(shè)f(x)是關(guān)于實數(shù)x的一個解析式，a,b,c都是與x有關(guān)或無關(guān)的實數(shù)且a0,則b24ac0是2萬程af(x)bf(x)c0有實根的必要條件，稱“為廣義判別式.* 2.解決數(shù)學(xué)問題的兩類方法：一是從具體條件入手，運用有關(guān)性質(zhì)，數(shù)據(jù)，進行計算推導(dǎo)，從而使數(shù)學(xué)問題得以解決；二是從整體上考查命題結(jié)構(gòu)，找出某些本質(zhì)屬性，進行恰當(dāng)?shù)暮怂?，從而使問題容易解決，這一方法稱為定性核算法.* 3.二元函數(shù)設(shè)有兩個獨立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數(shù)值時，第

31、三個變量Z就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應(yīng)，那末變量Z稱為變量x與y的二元函數(shù).記作：Zf(x,y).其中x與y稱為自變量，函數(shù)Z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數(shù)的定義域.把自變量x、y及因變量Z當(dāng)作空間點的直角坐標(biāo)，先在xoy平面內(nèi)作出函數(shù)Zf(x,y)的定義域D;再過D域中得任一點M(x,y)作垂直于xoy平面的有向線段MP,使其值為與(x,y)對應(yīng)的函數(shù)值Z;當(dāng)M點在D中變動時，對應(yīng)的P點的軌跡就是函數(shù)Zf(x,y)的幾何圖形.它通常是一張曲面，其定義域D就是此曲面在xoy平面上的投影.* 4.格點在直角坐標(biāo)系中，各個坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做格點(又稱整數(shù)點).在數(shù)論中，有

32、所謂格點估計問題.在直角坐標(biāo)系中，如果一個多邊形的所有頂點都在格點上，這樣的多邊形叫做格點多邊形.特別是凸的格點多邊形，它是運籌學(xué)中的一個基本概念.* 5.間斷點我們通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把稱為函數(shù)f(x)的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點* 6.拐點連續(xù)函數(shù)上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點如果yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定yf(x)的拐點.(1)求f(x);(2)令f(x)0,解出此方程在區(qū)間(a,b)內(nèi)實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根%,檢查f(x)在

33、Xo左、右兩側(cè)鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點.* 7.駐點曲線f(x)在它的極值點小處的切線都平行于x軸，即f(%)0.這說明，可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它的駐點(又稱穩(wěn)定點、臨界點)；但是，反之，可導(dǎo)函數(shù)的駐點，卻不一定是它的極值點v1.0可編輯可修改* 8.凹凸性定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足：對任意x1,x2D的都有f(x_xi)1f(x1)f(X2),則稱是f(x)上22的凸函數(shù).定義在D上的函數(shù)如果滿足：對任意的xi,x2D都有f(x一x)-f(x1)f(x2),則稱f(x)是D上22的凹函數(shù).【注】：一次函數(shù)的圖像(直線)既是凸的又是凹的(上面不等式中的等

34、號成立)若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點稱為曲線的拐點B13.了解幾個定理* 1.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點c,使f(b)f(a)(ba)f(c)成立.這個定理的特殊情形，即：f(b)f(a)的情形.描述如下：若(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且(a)(b),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點c,使(c)0成立.* 2.零點定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0

35、.那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點(avvb)使f()0.* 3.介值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數(shù)值，f(a)A,f(b)B,那么對于A,B之間任意的一個數(shù)C,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點，使得f()C(avvb).* 4.夾逼定理：設(shè)當(dāng)0|xx0|時，有g(shù)(x)f(x)h(x),且limg(x)limh(x)A,則必有l(wèi)imf(x)AxXoxx0xXo【注】：|xXo|：表示以xo為的極限，則|xxo|就無限趨近于零.(為最小整數(shù))C 10 12，思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力115C1.線段的定比分點公式

36、設(shè)P(X1,y1)，P2(X2,y2),P(x,y)是線段RF2的分點，是實數(shù)，且PPPP2(或際=市1),Xi1_y_y2OPOP1OP21OP靛(1t)OP2(t-)1v1.0可編輯可修改24y推廣1：當(dāng)1時，得線段P|P2的中點公式：xyiXi_y22-x22-推廣2:AM則而MBPAPB對應(yīng)終點向量）.三角形重心坐標(biāo)公式：ABC勺頂點xAx1，y1，Bx2,y2,Cx3,y3，重心坐標(biāo)Gx,y：Xx2x33yy2y33注意：在ABC中，若0為重心，則OAOBOC0,這是充要條件.【公式理解】：*1.入唱鍵（，1）PP3P2P2（內(nèi)分）入0若P與P1重合，入=0P外分）入0(入-1)夕卜

37、分）入0(-1入0)與P2重合,不存在離P2Pi無窮遠,*2.中點公式是定比分點公式1的特例；*3.始點終點很重要，如若P分PP2的定比P分P2P的定比入=2；*4.X1,%,X,知三求一;*5.利用有界性可求一些分式函數(shù)取值范圍;*6.OP=10A2OB則121是三點P、AB共線的充要條件.C2.抽象函數(shù)抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式,只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題求解抽象函數(shù)問題的常用方法是:（1）借助模型函數(shù)探究抽象函數(shù):正比例函數(shù)型:f(x)cxf(Xy)f(x)f(y),f(1)c.指數(shù)函數(shù)型:f(x)f(xy)f(x)f(

38、y),f(xy)M,f(1)a0.對數(shù)函數(shù)型:f(x)lOgaxf(xy)f(x)f(y),f(-)yf(x)f(y),f(a)1(a0,a1).哥函數(shù)型:f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1)xf(x),f(-)yf(y)三角函數(shù)型：f(x)cosx,g(x)sinx，f(xy)f3f(y)g(x)g(y)，f1,呵f(x)tanx,f(xy)f(x)f(y)1f(x)f(y)sinx1.(2)利用函數(shù)的性質(zhì)(如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)進行演繹探究:(3)利用一些方法(如賦值法(令x=0或1,求出f(0)或f(1)、令yx或yx等)、遞推法、反證法等)進行邏輯探究。C3.函

39、數(shù)圖像的對稱性(1)一個函數(shù)圖像自身的對稱性ab性質(zhì)1:對于函數(shù)yf(x),若存在常數(shù)a,b,使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都有的圖像關(guān)于直線x對2稱.【注】：f(amx)f(bmx)(m0)亦然.【特例】，當(dāng)ab時，f(ax)f(ax)f(x)的圖像關(guān)于直線xa對稱.【注】：f(x)f(2ax)亦然.性質(zhì)2：對于函數(shù)yf(x),若存在常數(shù)a,b,使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都有f(ax)f(bx)f(x)的ab圖像關(guān)于點(,0)對稱.2【特例】：當(dāng)ab時，f(ax)f(ax)f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱.【注】：f(x)f(2ax)亦然.事實上，上述結(jié)論是廣義奇(偶)函數(shù)的性質(zhì).性質(zhì)3:設(shè)函

40、數(shù)yf(x),如果對于定義域內(nèi)任意的x,都有f(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0),則a,一，ab,yf(x)的圖像關(guān)于直線x對稱.(這實際上是偶函數(shù)的一般情形)廣義偶函數(shù).2性質(zhì)4:設(shè)函數(shù)yf(x),如果對于定義域內(nèi)任意的x,都有f(amx)f(bmx)(a,b,mR,且m0),ab.則yf(x)的圖像關(guān)于點(,0)對稱.(實際上是奇函數(shù)的一般情形)廣義奇函數(shù).2【小結(jié)】函數(shù)對稱性的充要條件函數(shù)關(guān)系式(xR)對稱性f(x)f(x)函數(shù)f(x)圖像是奇函數(shù)f(x)f(x)函數(shù)f(x)圖像是偶函數(shù)f(x)f(2ax)或f(ax)f(ax)函數(shù)f(x)圖像關(guān)于直線xa對稱f(x)2bf(

41、2ax)或f(ax)2bf(ax)函數(shù)f(x)圖像關(guān)于點P(a,b)對稱【注】：這里代數(shù)關(guān)系式中兩個“f”(對應(yīng)法則)內(nèi)的“x”(變量)前的正負號相異，如果把兩個“f放在“的兩邊，則“f”前的正負號也相異.因為對稱性關(guān)乎翻轉(zhuǎn)(2)兩個函數(shù)圖像之間的對稱性1.函數(shù)f(x)與yf(x)的圖像關(guān)于直線2.函數(shù)f(x)與yf(x)的圖像關(guān)于直線y0對稱.x0對稱.3.函數(shù)f(x)與yf(x)的圖像關(guān)于原點(0,0)對稱.4.函數(shù)f(x)與它的反函數(shù)yf1(x)的圖像關(guān)于直線yx對稱.5.函數(shù)f(amx)與yf(bmx)的圖像(a,b,mR,m0)關(guān)于直線bax對稱.2m特別地，函數(shù)yf(ax)與yf(

42、bx)的圖像關(guān)于直線C4.幾個函數(shù)方程的周期(約定a(1)若f(x)f(xa),或f(x0)a)2f(xa-),則f(x)的周期T2(2)若f(x)f(xa)0,或f(xa)/axf(x-)2f(xa、一,一)，或fxa21(f(x)fx0),faxx為偶函數(shù)fax為奇函數(shù)為偶函數(shù)f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1)，則f(x)的周期T2a；f(x)(f(x)f(xa)0),則f(x)的周期T(4)若為偶函數(shù)f(xa)f(x)1f(x)或f(xa)f(a)1(f(xJg1,0(5)若f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)xfax，或fxx為奇函數(shù)1f(x)一-,或1f(x)2a

43、),則f(x)f(x4a)f(x)的周期Tf(X1)f(X2)且1f(xjgf(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T5a;(6)若f(xa)f(x)f(xa),則f(x)的周期T【說明】函數(shù)yfx滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)x(其中a為常數(shù))，都有等式成立.上述結(jié)論可以通過反復(fù)運用已知條件來證明C5.對稱性與周期性的關(guān)系定理1：若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線xa和xb(ab)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且是它的一個周期推論1：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)及f(bx)f(bx)(ab),則f(x)是以2ab為周期的周期函數(shù).定理2：若定義在R上的函數(shù)f(x

44、)的圖像關(guān)于點(a,0)和直線xb(ab)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且4ab是它的一個周期.推論2：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)及f(bx)f(bx)(ab),則f(x)是以4ab為周期的周期函數(shù).定理3：若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(a,y)和(b,y0)(ab)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，且2ab是它的一個周期.推論3：若函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)2y0及f(bx)f(bx)2y0(ab),則f(x)是以2ab為周期的周期函數(shù).C6.函數(shù)圖象的對稱軸和對稱中心舉例函數(shù)滿足的條件對稱軸(中心)滿足faxfax的函數(shù)yfx的圖像或fxf2ax,fxf2axxa滿

45、足faxfax的函數(shù)yfx的圖像或fxf2ax,fxf2axa,0滿足faxfbx的函數(shù)yfx的圖像abx2滿足faxfbx的函數(shù)yfx的圖像丫02滿足fxfx的函數(shù)yfx的圖像(偶函數(shù))x0滿足fxfx的函數(shù)yfx的圖像(奇函數(shù))0,0滿足yfax與yfbx的兩個函數(shù)的圖像bax2滿足yfx與yfx的兩個函數(shù)的圖像x0滿足yfx與yfx的兩個函數(shù)的圖像y0C7.函數(shù)周期性、對稱性與奇偶性的關(guān)系1、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于直線xa和x2a對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(ax)f(ax),f(2ax)f(2ax),則函數(shù)f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)

46、2、定義在R上的函數(shù)f(x)，若同時關(guān)于直線xa和點(2a,0)對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(ax)f(ax),f(2ax)f(2ax),則函數(shù)f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù),且是奇函數(shù).3、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于點(a,0)和直線x2a對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(ax)f(ax),f(2ax)f(2ax),則函數(shù)f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù),且是偶函數(shù).4、定義在R上的函數(shù)f(x),若同時關(guān)于點(a,0)和點(2a,0)對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)同時滿足f(ax)f(ax),f(2ax)f(2ax),則函數(shù)f(x)

47、是以T2a為周期的周期函數(shù),且是奇函5、若偶函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)，則f(x)是以T2a為周期的周期函數(shù).6、若偶函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0)對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(af(x)是以T4a為周期的周期函數(shù).7、若奇函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax)，則f(x)是以T4a為周期的周期函數(shù).8、若奇函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0)對稱，即對于任意的實數(shù)x,函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(af(x)是以T2a為周期的周期函數(shù).【拓展】：1、若函數(shù)yf(xa)為偶

48、函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于直線2、若函數(shù)yf(xa)為奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱.3、定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax),且方程f(x)0恰有2n個實根，則這2n個實根的和為2na.4、定義在R上的函數(shù)yf(x)滿足f(ax)f(bx)c(a,b,c為常數(shù))，則函數(shù)yf(R的圖像關(guān)于點(ab,c)對稱.22v1.0可編輯可修改C8.關(guān)于奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系 如果奇函數(shù)y f(x)在區(qū)間0,上是遞增的，那么函數(shù)y f(x)在區(qū)間,0上也是遞增的；如果偶函數(shù)y f (x)在區(qū)間0,上是遞增的，那么函數(shù)y f(x)在區(qū)間,0上是遞減的；【思考】：結(jié)論推導(dǎo)C 9.幾何體中數(shù)量運算導(dǎo)出結(jié)論數(shù)量運算結(jié)論涉及到幾何體的棱、側(cè)面、對角面、截面等數(shù)量關(guān)系及幾何性質(zhì)1.在長方體(a,b,c)中：體對角線長為a2b22c ,外接球直徑2R-2；-224ab c ；棱長總和為4(a bc)；全(表)面積為2(abbcca),體積 V abc；體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為cos2 +cos2 +cos2 =1, sin 2+sin 2 +sin2