初高中數(shù)學過渡練習（2）

1、2007年常德市26如圖1，已知四邊形是菱形，是線段上的任意一點時，連接交于，過作交于，可以證明結(jié)論成立（考生不必證明）（1）探究：如圖2，上述條件中，若在的延長線上，其它條件不變時，其結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（5分）（2）計算：若菱形中，在直線上，且，連接交所在的直線于，過作交所在的直線于，求與的長（7分）（3）發(fā)現(xiàn)：通過上述過程，你發(fā)現(xiàn)在直線上時，結(jié)論還成立嗎？（1分）圖1圖2解：（1）結(jié)論成立1分證明：由已知易得3分FH/GC 5分BADC圖3FHGQ（2）G在直線CD上分兩種情況討論如下： G在CD的延長線上時，DG=10如圖3，過B作BQCD于Q，由于

2、ABCD是菱形，ADC=60，BC=AB=6，BCQ=60，BQ=，CQ=3BG=7分又由FH/GC，可得而三角形CFH是等邊三角形BH=BC-HC=BC-FH=6-FH，F(xiàn)H=由（1）知FG=9分 G在DC的延長線上時，CG=16ABCFHGD圖4如圖4，過B作BQCG于Q，由于ABCD是菱形，ADC=600，BC=AB=6，BCQ=600，BQ=，CQ=3BG=1411分又由FH/CG，可得，而BH=HC-BC=FH-BC=FH-6FH=又由FH/CG，可得BF=FG=14+12分（3）由（2）可知：當G在CD的延長線上時，所以成立；當G在DC的延長線上時， 所以成立結(jié)合上述過程，發(fā)現(xiàn)G在

3、直線CD上時，結(jié)論還成立13分德州市二七年圖1423（本題滿分10分）已知：如圖14，在中，為邊上一點，（1）試說明：和都是等腰三角形；（2）若，求的值；（3）請你構(gòu)造一個等腰梯形，使得該梯形連同它的兩條對角線得到8個等腰三角形（標明各角的度數(shù)）解：（1）在中，1分在與中，；，2分和都是等腰三角形4分（2）設(shè)，則，即6分解得（負根舍去）8分（3）(有8個等腰三角形)如右圖所示：等腰梯形ABCD中，AD=DC=CB，兩條對角線AC和BD相交于O點，該梯形連同它的兩條對角線可得到8個等腰三角形：2007年福建省寧德市26（本題滿分14分）已知：矩形紙片中，厘米，厘米，點在上，且厘米，點是邊上一動點

4、按如下操作：步驟一，折疊紙片，使點與點重合，展開紙片得折痕（如圖1所示）；步驟二，過點作，交所在的直線于點，連接（如圖2所示）（1）無論點在邊上任何位置，都有 = （填“”、“”、“”號）；（2）如圖3所示，將紙片放在直角坐標系中，按上述步驟一、二進行操作：當點在點時，與交于點點的坐標是（ 0 ， 3 ）；當厘米時，與交于點點的坐標是（ 6 ， 6 ）；當厘米時，在圖3中畫出（不要求寫畫法），并求出與的交點的坐標；（3）點在運動過程，與形成一系列的交點觀察、猜想：眾多的交點形成的圖象是什么？并直接寫出該圖象的函數(shù)表達式APBCMD(P)EBC圖10(A)BCDE6121824xy61218圖3

5、ANPBCMDEQT圖2解：畫圖，如圖所示，設(shè)與交于點0(A)BCDE6121824xy61218FMGP在中， 又，（3）這些點形成的圖象是一段拋物線函數(shù)關(guān)系式：2007年福建省三明市26（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為(4，0)，以點為圓心，4為半徑的圓與軸交于，兩點，為弦，是軸上的一動點，連結(jié)（1）求的度數(shù)；（2分）（2）如圖，當與相切時，求的長；（3分）（3）如圖，當點在直徑上時，的延長線與相交于點，問為何值時，是等腰三角形？（7分）解：（2）CP與相切，又（4，0）， 5分（3）過點作，垂足為，延長交于，是半徑， ，是等腰三角形又是等邊三角形，=2 解：過作，

6、垂足為，延長交于，與軸交于，是圓心， 是的垂直平分線 是等腰三角形，作軸于，在中，點的坐標（4+，）在中，點坐標（2，）設(shè)直線的關(guān)系式為：，則有 解得：當時， 貴陽市2007年25（本題滿分12分）如圖14，從一個直徑是2的圓形鐵皮中剪下一個圓心角為的扇形（1）求這個扇形的面積（結(jié)果保留）（3分）（2）在剩下的三塊余料中，能否從第塊余料中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成一個圓錐？請說明理由（4分）圖14（3）當?shù)陌霃綖槿我庵禃r，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由（5分）解（1）連接，由勾股定理求得：1分2分（2）連接并延長，與弧和交于，1分，弧的長：2分，圓錐的底面直徑為：3分，不能在余料中

7、剪出一個圓作為底面與此扇形圍成圓錐4分（3）由勾股定理求得：，弧的長：1分，圓錐的底面直徑為：2分，且，即無論半徑為何值，不能在余料中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成圓錐武漢市2007年25(本題12分)如圖，在平面直角坐標系中，RtAOBRtCDA，且A(1，0)、B(0，2)，拋物線yax2ax2經(jīng)過點C。(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線(對稱軸的右側(cè))上是否存在兩點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形？若存在，求點P、Q的坐標，若不存在，請說明理由；(3)如圖，E為BC延長線上一動點，過A、B、E三點作O，連結(jié)AE，在O上另有一點F，且AFAE，AF交BC于點G，連結(jié)BF。下列結(jié)論：BE

8、BF的值不變；，其中有且只有一個成立，請你判斷哪一個結(jié)論成立，并證明成立的結(jié)論。OxyBFAECOG(第25題圖)O(第25題圖)ABCDxy武漢市2007年南京市2007年27在平面內(nèi)，先將一個多邊形以點為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為，并且原多邊形上的任一點，它的對應(yīng)點在線段或其延長線上；接著將所得多邊形以點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，這種經(jīng)過和旋轉(zhuǎn)的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)相似變換，記為，其中點叫做旋轉(zhuǎn)相似中心，叫做相似比，叫做旋轉(zhuǎn)角（1）填空： 如圖1，將以點為旋轉(zhuǎn)相似中心，放大為原來的2倍，再逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，這個旋轉(zhuǎn)相似變換記為（，）；如圖2，是邊長為的等邊三

9、角形，將它作旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，則線段的長為；BDE圖1BDE圖2圖3（2）如圖3，分別以銳角三角形的三邊，為邊向外作正方形，點，分別是這三個正方形的對角線交點，試分別利用與，與之間的關(guān)系，運用旋轉(zhuǎn)相似變換的知識說明線段與之間的關(guān)系南京市2007年27解：（1），；2分；4分（2）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時，線段變?yōu)榫€段； 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)相似變換，得到，此時，線段變?yōu)榫€段，10分揚州市2007年26（本題滿分14分）如圖，矩形中，厘米，厘米（）動點同時從點出發(fā)，分別沿，運動，速度是厘米秒過作直線垂直于，分別交，于當點到達終點時，點也隨之停止運動設(shè)運動時間為秒（1）若厘米，秒，則_厘米；（2）若厘米

10、，求時間，使，并求出它們的相似比；（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；DQCPNBMADQCPNBMA（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請說明理由解：（1），（2），使，相似比為（3），即，當梯形與梯形的面積相等，即化簡得，則，（4）時，梯形與梯形的面積相等梯形的面積與梯形的面積相等即可，則，把代入，解之得，所以所以，存在，當時梯形與梯形的面積、梯形的面積相等江西省南昌市2007年25實驗與探究（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形的頂點的坐標（如圖所示），寫出圖1，2，3中的頂點的坐標

11、，它們分別是 ， ， ；圖1圖2圖3（2）在圖4中，給出平行四邊形的頂點的坐標（如圖所示），求出頂點的坐標（點坐標用含的代數(shù)式表示）；圖4歸納與發(fā)現(xiàn)（3）通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點的坐標的探究，你會發(fā)現(xiàn)：無論平行四邊形處于直角坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為（如圖4）時，則四個頂點的橫坐標之間的等量關(guān)系為 ；縱坐標之間的等量關(guān)系為 （不必證明）；運用與推廣（4）在同一直角坐標系中有拋物線和三個點，（其中）問當為何值時，該拋物線上存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的點坐標解：（1），2分（2）分別過點作軸的垂線，垂足分別為，分別過作于，于點在平行四邊形中，又，又

12、，5分，設(shè)由，得由，得7分（此問解法多種，可參照評分）（3），或，9分（4）若為平行四邊形的對角線，由（3）可得要使在拋物線上，則有，即（舍去），此時10分若為平行四邊形的對角線，由（3）可得，同理可得，此時若為平行四邊形的對角線，由（3）可得，同理可得，此時綜上所述，當時，拋物線上存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形符合條件的點有，12分（2006年福建漳州卷）如圖，已知矩形，在上取兩點（在左邊），以為邊作等邊三角形，使頂點在上，分別交于點（1）求的邊長；（2）在不添加輔助線的情況下，當與不重合時，從圖中找出一對相似三角形，并說明理由；（第27題）（3）若的邊在線段上移動試猜想：與有何數(shù)

13、量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論解 （1）過作于矩形，即，又是等邊三角形1234在中的邊長為（2）方法一：理由：矩形，方法二：理由：矩形，又，（3）猜想：與的數(shù)量關(guān)系是：12345678證法一：在中，是等邊三角形，證法二：在中，是等邊三角形，在中，即在中，證法三：在中，是等邊三角形，即，把代入得，點評本題是一道很典型的幾何型探索題，在近幾年的中考壓軸題中穩(wěn)占一席之地，預計2007年仍會保持這一趨勢。在本題中，第1小題較簡單，第2小題則需學生仔細觀察圖形，做出準確猜想后再驗證，第3小題對學生的探究能力的要求更高一些，但由于解法較多，入題的通道較寬，因此難度并非十分大。（2006年湖南常德卷）把兩塊全等

14、的直角三角形和疊放在一起，使三角板的銳角頂點與三角板的斜邊中點重合，其中，把三角板固定不動，讓三角板繞點旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線與射線相交于點，射線與線段相交于點（1）如圖1，當射線經(jīng)過點，即點與點重合時，易證此時， （2）將三角板由圖1所示的位置繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為其中，問的值是否改變？說明你的理由 ()()()B(Q)CFEAP圖1圖2圖3（3）在（2）的條件下，設(shè)，兩塊三角板重疊面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式（圖2，圖3供解題用）解 （1）8 （）（2）的值不會改變 理由如下：在與中，即 （）（3）情形1：當時，即，此時兩三角板重疊部分為四邊形，過作于，于，由（2）知：得于是 情形2：當時，時

15、，即，此時兩三角板重疊部分為，由于，易證：，即解得于是綜上所述，當時，當時， 法二：連結(jié)，并過作于點，在與中， 即法三：過作于點，在中，于是在與中，即，點評這是一道幾何操作問題，有一定的難度，第1、2小題是定值問題的探索，體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學思想方法，第3小題則需根據(jù)圖形在運動過程中的位置變化分類討論，分別建立函數(shù)表達式。（2006年湖南永州卷）如圖，以為圓心的兩個同心圓中，大圓的直徑交小圓于兩點，大圓的弦切小圓于點，過點作直線，垂足為，交大圓于兩點（1）試判斷線段與的大小關(guān)系，并說明理由（2）求證：（3）若是方程的兩根（），求圖中陰影部分圖形的周長ABCDEONHMF解 （1）相等 連結(jié)

16、，則，故 （2）由，得， 又由，得 （3）解方程得：， ，在中，在中，弧長， 陰影部分周長 點評本題是比較傳統(tǒng)的幾何型綜合壓軸題，涉及圓、相似、三角等幾何重點知識。（2006年江西課改卷）問題背景 某課外學習小組在一次學習研討中，得到如下兩個命題： 如圖1，在正三角形ABC中，M、N分別是AC、AB上的點，BM與CN相交于點O，若BON = 60°，則BM = CN. 如圖2，在正方形ABCD中，M、N分別是CD、AD上的點，BM與CN相交于點O，若BON = 90°,則BM = CN.然后運用類比的思想提出了如下的命題： 如圖3，在正五邊形ABCDE中，M、N分別是CD、

17、DE上的點，BM與CN相交于點O，若BON = 108°，則BM = CN.任務(wù)要求 （1）請你從、三個命題中選擇一個進行證明； （2）請你繼續(xù)完成下面的探索： 如圖4，在正n（n3）邊形ABCDEF中，M、N分別是CD、DE上的點，BM與CN相交于點O，問當BON等于多少度時，結(jié)論BM = CN成立？（不要求證明） 如圖5，在五邊形ABCDE中，M、N分別是DE、AE上的點，BM與CN相交于點O，當BON = 108°時，請問結(jié)論BM = CN是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由.（1）我選 .證明：解 （1）選命題證明：在圖1中， BON = 60

18、76;， CBM +BCN = 60°. BCN +ACN = 60°， CBM =ACN. 又 BC = CA， BCM =CAN = 60°， BCM CAN. BM = CN. 選命題證明：在圖2中， BON = 90°， CBM +BCN = 90°. BCN +DCN = 90°， CBM =DCN. 又 BC = CD， BCM =CDN = 90°， BCM CDN. BM = CN. 選命題證明：在圖3中， BON = 108°， CBM +BCN = 108° BCN +DCN = 10

19、8°， CBM =DCN. 又 BC = CD， BCM =CDN = 108°， BCM CDN. BM = CN. （2） 當BON = 時，結(jié)論BM = CN成立. BM = CN成立.證明：如圖5，連結(jié)BD、CE.在BCD和CDE中， BC = CD，BCD =CDE = 108°，CD = DE， BCD CDE. BD = CE，BDC =CED，DBC =ECD. OBC +OCB = 108°，OCB +OCD = 108°， MBC =NCD.又 DBC =ECD = 36°， DBM =ECN. BDM ECN.

20、點評本題是一道非常典型的幾何探究題，很好地體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學思想方法，引導學生漸漸地從易走到難，是新課標形勢下的成熟壓軸題。（2006年山東濟南課改卷）如圖1，已知中，過點作，且，連接交于點（1）求的長；（2）以點為圓心，為半徑作，試判斷與是否相切，并說明理由；（3）如圖2，過點作，垂足為以點為圓心，為半徑作；以點為圓心，為半徑作若和的大小是可變化的，并且在變化過程中保持和相切，且使點在的內(nèi)部，點在的外部，求和的變化范圍ABCPEEABCP圖1圖2解 （1）在中， ， （2）與相切 在中， 又，與相切 （3）因為，所以的變化范圍為 當與外切時，所以的變化范圍為；當與內(nèi)切時，所以的變化范圍

21、為點評本題是一道比較傳統(tǒng)的幾何綜合題，第1題運用相似三角形知識即可得解，第2小題也較基礎(chǔ)，第3小題注意要分類，試題中只說明了“和相切”，很多同學漏解往往是由于沒有仔細讀題和審題。（2006年江蘇宿遷課改卷）設(shè)邊長為2a的正方形的中心A在直線l上，它的一組對邊垂直于直線l，半徑為r的O的圓心O在直線l上運動，點A、O間距離為d（1）如圖，當ra時，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將O與正方形的公共點個數(shù)填入下表：d、a、r之間關(guān)系公共點的個數(shù)dar圖darardardardar所以，當ra時，O與正方形的公共點的個數(shù)可能有個；（2）如圖，當ra時，根據(jù)d與a、r之間關(guān)系，將O與正方形的公共點個數(shù)填入下表

22、：d、a、r之間關(guān)系圖公共點的個數(shù)dardaradarda所以，當ra時，O與正方形的公共點個數(shù)可能有個；圖（3）如圖，當O與正方形有5個公共點時，試說明ra；（4）就ra的情形，請你仿照“當時，O與正方形的公共點個數(shù)可能有 個”的形式，至少給出一個關(guān)于“O與正方形的公共點個數(shù)”的正確結(jié)論解 圖（1）d、a、r之間關(guān)系公共點的個數(shù)dar0dar1ardar2dar1dar0 所以，當ra時，O與正方形的公共點的個數(shù)可能有0、1、2個； 圖（2）d、a、r之間關(guān)系公共點的個數(shù)dar0dar1adar2da4所以，當ra時，O與正方形的公共點個數(shù)可能有0、1、2、4個； （3）方法一：如圖所示，連

23、結(jié)OC則OEOCr ，OFEFOE2ar BCDFE 在RtOCF中，由勾股定理得： OF2FC2OC2即（2ar）2a2r2 4a24arr2a2r2 5a24ar5a4r r a BNE方法二：如圖，連結(jié)BD、OE、BE、DE 四邊形BCMN為正方形CMN90°BD為O的直徑，BED90°MDBENDEM 90°CBENEBN90°DEMEBNBNEEMD DMa 由OE是梯形BDMN的中位線得OE（BNMD）a（4）當ar時，O與正方形的公共點個數(shù)可能有0、1、2、4、6、7、8個；當ra時，O與正方形的公共點個數(shù)可能有0、1、2、5、8個；當時，O與正方形的公共點個數(shù)可能有0、1、2、3、4、6、8個；當時，O與正方形的公共點個數(shù)可能有0、1、2、3、4個；當時，O與正方形的公共點個數(shù)可能有0、1、2、3、4個點評本題是一道