函數(shù)求值域方法之值域換元法

1、函 數(shù) 求 值 域 方 法 之 值 域 換 元 法求值域的方法有很多，在眾多的方法中，換元法是比較常用且非常有效的求解值域的辦 法，這里，給大家總結(jié)五種常見(jiàn)的換元方法，歡迎大家補(bǔ)充。五種常見(jiàn)換元辦法：一般換元法；三角換元法(難度較大)；三角換常值換元法；雙換元法；整體換元法類型一：一般換元法形如：y=ax+b 二、cx d方法：本形式下，部分函數(shù)在取值區(qū)間內(nèi)，單調(diào)性確定，所以可以直接使用單調(diào)性判斷，單調(diào)性無(wú)法確定的時(shí)候，本題可使用一般換元的思路，令 t= YcXTd，用t表示x,帶入原函數(shù)得到一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，求解值域即可。例1:求函數(shù)f (x) =x -" -1的值域分析：本題

2、xW1,y),在取值區(qū)間內(nèi)，x單調(diào)增，Jx1單調(diào)增,兩個(gè)單調(diào)增的函數(shù)相減無(wú)法直接判斷單調(diào)性，所以單調(diào)性無(wú)法確認(rèn)，考慮使用一般換元。解：另 t=/x=1 (t >0),貝 Ux=t2+1,代入 f(x)得 f(x)=t21+1 (t >0)本題實(shí)求二次函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的范圍一3當(dāng) t 父0, f(x) >-4.一3所以 f (x) ，二)4變式：求函數(shù)f (x) = x + v'x1的值域分析：本題xW1,),在取值區(qū)間內(nèi)，x單調(diào)增，單調(diào)增，兩個(gè)單調(diào)增的函數(shù)相加，所以整個(gè)函數(shù)在取值區(qū)間上單調(diào)遞增所以 f(x)>f即可答案：f(x) 1,二)由于一般換元法相對(duì)來(lái)說(shuō)比

3、較簡(jiǎn)單，這里就不贅述，留一道練習(xí)練習(xí)：求f (x) =2x+3M3x+1的值域類型二：三角換元記住一句話：三角換元 一個(gè)大原則，三個(gè)常用公式A 一個(gè)大原則：x有界，換成sin仇cosex無(wú)界，換成tan日R三個(gè)常用公式：遇到x2,且前面系數(shù)為-1,常用sin2日+cos2日=1遇到x2,且前面系數(shù)為1,常用=1+tan2e cos 102 tan巧用萬(wàn)能公式： sin。=-.2 1 tan -2三角換元時(shí)，尤其注意確定好e的取值范圍，下面用具體的例題跟大家說(shuō)明例2:求f (x) = x +由一 x2的值域 分析：本題若使用一般換元法，則只能得到x2與t2之間的關(guān)系，操作起來(lái)比較麻煩，換元法本身

4、的目的就是要使得題目變得更為簡(jiǎn)單便捷，所以一般換元法失靈，考慮使用三角換元，因?yàn)閤2前面的系數(shù)是-1 ,所以使用公式換元 解：令x -sine , 丁1x2 之0,.xW1,1, sin6-1,1另ew土，土(原因：方便后面化出來(lái)的cose ,不用討論正負(fù)性了) 2 2代入 f (x),得 f (x) = sin日 + V1 -sin2 8=sin8 +1 cos |丁 9 e _ f (x) =sin 日+cos日2 2輔助角公式，合一變形得：f (x) = V2sin(6+') ( 9 e _ ,)42 2二二 3二.日+一可,一,二 f(x)-1,V244 4變式：求f (x)

5、=x + $2-x2的值域 分析：另x=72sinH即可 答案：-2,2. qx2 , 1 公例3 :求f(x)=的值域x - 1分析：本題x2前面的系數(shù)是1,所以考慮使用公式解：X2 1 _0, x -1 = 0,. x =1口r r，冗 冗.,冗 冗、力 x =tan>,日 w (-, 一)U(，一)2 44 2fTT fTTfTF fTTfTFfTTfTTJL JL x . . z JL JL x - JL z JL o i i / JL 一,)U(一,) , 8_( (_-,0)U(0,一)2 44 2444.f (x)( -二，-二U(1,二)2變式：求f (x)=x2 2x

6、1的值域分析：x2 2x ：二Q x 一 ：1,. x =0或x - -2,. x 1 ：= 1或x 1 _ -1-1EE1,但#0,使用三角公式x 1具體過(guò)程問(wèn)群主喲答案：f(x) -.2,-1 .1, -2例4:f(x)=3x -x1 2x2 x4的值域分析：本題是高次式求值域，通過(guò)常規(guī)的解法很難操作，因而我們通過(guò)轉(zhuǎn)化，進(jìn)行三角換元, 再求解值域。解:f (x)=x(x2 -1)22-(x 1)2xx-1=-2-2x 1 x 1到這一步以后，自然而然想到我們的第三個(gè)三角公式一萬(wàn)能公式對(duì)f (x)再進(jìn)行轉(zhuǎn)化令* =tan 二x R, 1(一一，)2 2類型三：三角換常值換元法本類型主要是三角

7、函數(shù)求值域下的一類，由于涉及換元，所以在本專題下講解，此類題目主 要是針對(duì)分式形式的三角函數(shù)，用到的換元方法是萬(wàn)能公式的逆向應(yīng)用。2.由于an2 口 =sin 3an2 =cos8 ,可令t=tan29,則sn d cos9就轉(zhuǎn)化成了關(guān)于 t的 1 tan 211 tan 2。函數(shù)，再根據(jù)一般函數(shù)求解值域的辦法求解(在另外專題中講解)例5:求f(x)= 8nx的值域2 -cos x分析：本題解法頗多，這里主要講解兩種方法。利用萬(wàn)能公式我們可以把正余弦轉(zhuǎn)發(fā)為關(guān)于t的函數(shù)；當(dāng)然本題也可用斜率的相關(guān)知識(shí)求解。解：方法一：萬(wàn)能公式法令 tan 2x =t,v 2 cosx #0,二 x w R, tan 2x雖然 x有范圍要求,但是 tan 2x整體 r R ,二 t w Rf(x)=2,當(dāng)t=0時(shí)，f(x)=0,t#0時(shí)，f(x) = 2,分母是對(duì)勾函數(shù)，應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)1 3t23t 1t的相關(guān)性質(zhì)，可得值域f(x) -史，史33方法二：斜率法(聯(lián)系 群主 要哦)類型四：雙換元法例6:求f (x)=近=x +斤3的值域分析：本題含有兩個(gè)根號(hào)，使用一次換元，無(wú)法把根號(hào)去掉。有根號(hào)的題目，要么換元，要 么平方，要么分子分母有理化。本題介紹兩種解法。解：方法一：平方法本題實(shí)求在xT1時(shí)，x2 2x+3的取值范圍，二次函