離散數(shù)學(xué)答案(尹寶林版)第二章習(xí)題解答

1、第二章謂詞邏輯習(xí)題與解答1. 將下列命題符號化：(1) 所有的火車都比某些汽車快。(2) 任何金屬都可以溶解在某種液體中。(3) 至少有一種金屬可以溶解在所有液體中。(4) 每個人都有自己喜歡的職業(yè)。(5) 有些職業(yè)是所有的人都喜歡的。解 (1) 取論域為所有交通工具的集合。令T(x):x是火車，C(x):x是汽車，F(xiàn)(x, y): x比y跑得快。“所有的火車都比某些汽車快”可以符號化為 x(T(x) y(C(y) F(x, y) 。(6) 取論域為所有物質(zhì)的集合。令M(x):x是金屬，L(x):x是液體， D(x, y): x可以溶解在y中。“任何金屬都可以溶解在某種液體中”可以符號化為x(

2、M (x) y(L(y) D(x, y) 。(7) 論域和謂詞與(2)同。 “至少有一種金屬可以溶解在所有液體中”可以符號化為x(M (x) y(L(y) D(x,y) 。(8) 取論域為所有事物的集合。令M(x):x是人，J(x):x是職業(yè)，L(x,y):x喜歡 y。“每個人都有自己喜歡的職業(yè)”可以符號化為x(M (x) y(J(y) L(x, y)(9) 論 域 和 謂 詞 與 (4) 同 。 “ 有 些 職 業(yè) 是 所 有 的 人 都 喜 歡 的 ” 可 以 符 號 化 為x(J(x) y(M(y) L(y,x)。2. 取論域為正整數(shù)集，用函數(shù)(加法) ， ? (乘法)和謂詞， 將下列命

3、題符號化：(1) 沒有既是奇數(shù)，又是偶數(shù)的正整數(shù)。(2) 任何兩個正整數(shù)都有最小公倍數(shù)。(3) 沒有最大的素數(shù)。(4) 并非所有的素數(shù)都不是偶數(shù)。解 先引進(jìn)一些謂詞如下：D(x, y) :x能被y整除，D(x,y)可表示為 v(v?y x)。J(x) :x是奇數(shù)，J(x)可表示為v(v?2 x)。E(x):x是偶數(shù)，E(x)可表示為 v(v?2 x)。P(x):x 是素數(shù)，P(x)可表示為 (x 1) u( v(v?u x) u 1 u x)。(1) “沒有既是奇數(shù)，又是偶數(shù)的正整數(shù)”可表示為 x(J(x) E(x) ，并可進(jìn)一步符號化為x( v(v?2 x) v(v?2 x) 。(2) “任

4、何兩個正整數(shù)都有最小公倍數(shù)”可表示為x y z(D(z,x) D(z, y) u(D(u,x) D(u, y) z u z u) ，并可進(jìn)一步符號化為x y z( v(v ? x z) v(v? y z) u( v(v ?x u) v(v ? y u) z u z u)(3) “沒有最大的素數(shù)”可表示為 x(P(x) y( P(y) y x y x) ，并可進(jìn)一步符號化為x( (x 1) u( v(v?y( (y 1)u( v(v ?uy)(4) “并非所有的素數(shù)都不是偶數(shù)”可表示為x( (x 1)u( v(v?ux)3. 取論域為實數(shù)集合，用函數(shù)，(減法)和謂詞(1) 沒有最大的實數(shù)。(2)

5、 任何兩個不同的實數(shù)之間必有另一實數(shù)。(3) 函數(shù)f( x) 在點a 處連續(xù)。(4) 函數(shù)f( x) 恰有一個根。(5) 函數(shù)f( x) 是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。解 (1) “沒有最大的實數(shù)”符號化為 x(2) “任何兩個不同的實數(shù)之間必有另一實數(shù)”(3) “函數(shù) f (x) 在點 a 處連續(xù)”的定義是：任給 0 ，總可以找到0 ，使得只要| xu x) u 1 u x)u1uy)y x yx)x(P(x) E(x) ，并可進(jìn)一步符號化為u1ux) v(v ?2x)， 將下列命題符號化：y( y x y x) 。符號化為x y(x y z(x z z y) 。a | 就有 | f (x) f (a

6、) |。f (x ) 在點 a 處連續(xù)”符號化為(0(0x( ax x af (a) f (x) f(x) f(a) )(4) “函數(shù) f(x) 恰有一個根”符號化為 x(f(x) 0 y(f(y) 0 y x)。(5) “函數(shù) f (x) 是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)”符號化為 x y(x y f (x) f (y) 。4. 指出下列公式中變元的約束出現(xiàn)和自由出現(xiàn)，并對量詞的每次出現(xiàn)指出其轄域。(1) x(P(y,x) P(x,a)(2) xP(x) zQ(x,y)(3) x(P(x) R( x) xP(x) Q(x)(4) y(P( f (x, y), x) xP(z,g(x,y)(5) x(P(x

7、)Q(x)xR(x) R(x)解 (1) 變元 x 在 x(P(y, x) P(x, a) 中三次出現(xiàn)都是約束出現(xiàn)，x 的唯一出現(xiàn)的轄域是 P(y, x) P(x, a)。(2) 變元 x 在 xP(x) zQ(x, y) 中的頭兩次出現(xiàn)是約束出現(xiàn)，第三次出現(xiàn)是自由出現(xiàn)。變 元 y 在 xP(x)zQ( x, y) 中 的 唯 一 出 現(xiàn) 是 自 由 出 現(xiàn) 。 變 元 z 在xP(x) zQ(x, y) 中的唯一出現(xiàn)是約束出現(xiàn)。x 的唯一出現(xiàn)的轄域是P(x)， z 的唯一出現(xiàn)的轄域是Q(x, y)。 變元x在 x(P(x) R(x) xP(x) Q(x)中的頭五次出現(xiàn)是約束出現(xiàn)，第六次出現(xiàn)是

8、自由出現(xiàn)。x的第一次出現(xiàn)的轄域是P(x) R(x),第二次出現(xiàn)的轄域是 P(x)o4 4) 變元 x 在 y(P( f (x, y), x) xP(z, g(x, y) 中的頭兩次出現(xiàn)是自由出現(xiàn)，后兩次出現(xiàn)是約束出現(xiàn)。x 的唯一出現(xiàn)的轄域是P(z, g(x, y)，y 的唯一出現(xiàn)的轄域是P(f(x, y), x) xP(z, g(x, y)。(5)變元x在x(P(x) Q(x) xR(x) R(x)中的頭五次出現(xiàn)是約束出現(xiàn)，第六次出現(xiàn)是自由出現(xiàn)。x 的唯一出現(xiàn)的轄域是P(x) Q(x) xR(x)， x 的唯一出現(xiàn)的轄域是R(x)。5 .歸納證明：若t, t是項，則ttx也是項。證明若t是x,

9、則ttx是t , ttx是項。若t是不同于x的變元y,則ttx仍是y, ttx是項。 若t是常元a,則ttx仍是a, ttx是項。若 t 是 f (ti， ,tn),則 ttx是 f (t1)tx, ,(tn)tx),由歸納假設(shè)知(t1)tx,(tn)tx都是項,所以t:是項。6.歸納證明：若t是項，A是公式，則 Ax也是公式。證明 若 A是 P(t1, ,tn),則 Atx是 P(t1)X， ,(tn)X),由上題知(t1)X，,(tn)X都是項，所以Atx 是公式。若A是 B,則Ax是 Btx,由歸納假設(shè)知 Btx是公式，所以 Ax是公式。若A是B C ,則Ax是BtxCtx ,由歸納假設(shè)

10、知Btx和Ctx都是公式，所以Ax是公式。 若 A 是 xB ，則Atx 仍是A， Atx 是公式。若A是yB ,其中y是不同于x的變元，則Atx是yBtx ,由歸納假設(shè)知Btx是公式，所以Atx 是公式。7. 給定解釋I 和 I 中賦值 v 如下：DI1,2， aI 1， bI2， fI(1) 2， fI (2)1PI (1,1) PI (1, 2) 1 ，PI (2,1)PI (2,2) 0， v(x) 1 ，v(y)1計算下列公式在解釋I 和賦值 I 中 v 下的真值。(1) P(a, f(x) P(x,f(b) P(f(y),x)(2) x yP(y,x)(3) x y(P(x,y)P

11、(f(x), f(y)解 (1) I(P(a, f(x) P(x, f (b) P(f(y),x)(v)PI (aI , fI (v( x) PI (v(x), fI (bI ) PI (fI (v(y),v(x)PI (1, fI(1) PI (1,fI (2)PI (fI (1), 1)PI (1, 2) PI (1,1) PI (2, 1) 1 1 0 0(2) I ( x yP( y, x)( v)I( yP(y,x)(vx/1) I( yP(y,x)(vx/2) (I(P(y,x)(vx/1y/1) I(P(y,x)(vx/1y/2)(I(P(y,x)(vx/2y/1)I(P(y,x

12、)(vx/2y/2)(PI(1,1) PI (2,1) (PI (1, 2) PI (2,2)(1 0) (1 0) 1(3) I( x y(P(x, y) P(f(x), f(y)(v)(PI(1,1) PI(fI(1), f I (1) (PI(1,2) PI (fI(1), f I (2)(PI (2,1) PI (fI (2), f I (1) (PI (2, 2)PI (fI(2), f I (2)(PI(1,1) PI(2,2) (PI(1,2)PI(2,1) (PI(2,1) PI(1,2) (PI (2,2) PI(1,1)(10) (10) (01) (01) 0 0 1 1

13、 07. 給定解釋I 如下：DI a,b， PI(a,a) PI(b,b) 1， PI (a, b) PI (b,a) 0判斷 I 是不是以下語句的模型。(1) xyP( x, y)(2) xyP( x, y)(3) xyP( x, y)(4) xy P(x, y)(5) x y(P(x,y) P(y,x)(6) xP(x,x)解 (1) I ( x yP(x, y)(PI (a,a) PI(a,b) (PI(b,a) PI(b,b) (1 0) (0 1) 1(2) I( x yP(x,y)PI (a,a) PI (a,b) PI (b,a) PI (b,b) 1 0 0 1 0(3) I

14、( x yP(x, y)(PI(a,a) PI(a,b) (PI(b,a) PI(b,b) (1 0) (0 1) 0(4) I ( x y P(x, y)PI (a, a) PI(a,b) PI (b,a) PI(b,b) 0 1 1 0 1(5) I( x y(P(x, y) P(y,x)(PI (a,a)PI(a,a) (PI (a,b)PI(b,a)(PI (b,a)PI(a,b) (PI (b,b)PI(b,b)(11) (00) (00) (11) 1(6) I ( xP(x, x) PI (a, a) PI (b,b) 1 1 19 .寫出一個語句 A,使得A有模型，并且 A的每

15、個模型的論域至少有三個元素。解 語句A為x P(x,x) P(a,b) P(b,c) P(c,a)。給定解釋I如下。DI 為自然數(shù)集合，PI (x, y) 1 當(dāng)且僅當(dāng)x y， aI 1 ， bI 2， cI3則 I 是 A 的模型，A 有模型。任 取滿足 語句 A 的解釋 I， 則 PI (aI ,bI)PI (bI ,cI ) PI(cI , aI ) 1 ，又 因為I ( x P ( x, x) 1 ，所以a I ， b I ， c I 是論域D I 中三個不同元素，論域D I 中至少有三個元素。10 .寫出一個語句 A,使得A有模型，并且 A的每個模型的論域有無窮多個元素。解 語句 A

16、 為 x P(x,x) x y(P(x,y) P(y,z) P(x, z) x yP(x, y) 。給定解釋 I 如下。D I 為自然數(shù)集合，PI ( x, y) 1 當(dāng)且僅當(dāng)x y則 I 是 A 的模型，A 有模型。任取滿足語句 A的解釋I,取d1 DI ,因為I ( x yP(x,y) 1 ,所以有d2DI使得PI(d1,d2)1,又因為 I(x P(x,x) 1,故 d1 d2。因為 I( x yP(x, y) 1 ,所以有 d3DI 使 得PI(d2,d3) 1 ， 又因為 I ( x P( x, x) 1 ，故 d3 d2。 因 為I ( xy(P(x, y)P(y, z) P(x,

17、 z)1， 所以 PI (d1 , d3) 1 ， 故d3 d1 。 因此， d1，d2 , d3是論域中的三個不同元素。這個過程可以不斷進(jìn)行下去，得到d1 ,d2，d3，因此，論域DI 中必然有無窮多個元素。11 . 判斷以下公式是不是永真式、永假式、可滿足式，并說明理由。(1) xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)(2) xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)(3) x(P(x)Q(x)xP(x)xQ(x)(4) xP(x,x)x yP(x, y)(5) ( xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)(6) ( xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)(7) x(P(x) Q(x)(

18、xP(x) xQ(x)解 (1) xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x) 是 永 真 式 。 若 解 釋 I 使 得I( xP(x) xQ(x)1 ，則I (xP(x)1或 I(xQ(x) 1。 若 I( xP(x) 1，則存在dDI 使得PI(d)1 ， PI (d)QI(d)1 。 若 I( xQ(x) 1，則存在dDI 使得QI(d)1 ， PI (d)QI(d)1 。因此， I ( x(P(x) Q(x) 1 。(2) xP(x) xQ(x)x(P(x) Q(x) 是非永真的可滿足式。給定解釋I 如下。DI d， PI (d) 1， QI(d) 1則 I( xP(x) xQ(x

19、) x(P(x) Q(x) 1 。給定解釋I 如下。DI a,b， PI (a) 1， PI (b) 0， QI (a) 0， QI (b) 1則 I ( xP( x) xQ(x)x(P(x) Q(x) 0。(3) x(P(x) Q(x)xP(x)xQ(x)是非永真的可滿足式。給定解釋I如下。DI d， PI(d) 1， QI(d) 1則 I ( x(P(x) Q(x)xP(x) xQ(x) 1 。給定解釋I 如下。DI a,b， PI (a) 1， PI (b) 0， QI (a) 0， QI (b) 1則 I ( x(P(x) Q(x)xP(x) xQ(x) 0。(4) xP(x,x) x

20、 yP( x, y) 是非永真的可滿足式。給定解釋I 如下。DI d， PI(d,d) 1則 I ( xP(x, x) x yP(x, y) 1 。給定解釋I 如下。DI a,b， PI (a,a) PI (b,b) 1， PI (a,b) PI (b,a) 0則 I ( xP(x,x) x yP(x,y) 0。(5) ( xP(x)xQ(x) x(P(x)Q(x)是非永真的可滿足式。給定解釋I如下。DI d， PI (d) 1， QI(d) 1則 I( xP(x) xQ(x) x(P(x) Q(x) 1。給定解釋I 如下。DI a,b， PI (a) 1， PI (b) 0， QI (a)

21、0， QI (b) 1則 I( xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x) 0。(6) ( xP(x)xQ( x)x(P(x)Q(x)是 永真 式 。 若 解 釋 I 使 得I( x(P(x) Q(x) 0，則存在d DI 使得 PI (d) QI (d) 0，因此PI (d) 1 且QI(d) 0， I( xP(x) 1且 I( xQ(x) 0， I( xP(x) xQ(x) 0。(7) x(P(x) Q(x)( xP(x) xQ( x) 是 永 真 式 。 若 解 釋 I 使 得I( xP( x) xQ(x) 0 ， 則 I( xP(x) 1 且 I( xQ(x) 0 。 存 在 d DI

22、使 得PI (d) 1 ，又因為I ( xQ(x) 0 ，所以 QI (d) 0， PI (d) QI (d) 0。因此，I( x(P(x) Q(x) 0。12. 設(shè) A,B 是任意公式，證明以下公式是永真式。(1) AtxxA,其中項t對于A中的x是可代入的。(2) xA x A(3) xAxA(4) x(A B) xA xB(5) xA xB x(A B)(6) x(A B) (A xB),其中x不是A的自由變元。解 (1) 任取解釋I 和 I 中賦值v， 若 I(Atx)(v) 1,則 I (Atx)(v)I (A)(vx/ I(t)(v) 1，所以I( xA)(v) 1。這表明AxA是

23、永真式。(2) 任取解釋I 和 I 中賦值v，I ( xA)(v) 1I ( xA)(v) 0當(dāng)且僅當(dāng)存在dDI 使得I(A)(vx/d)0當(dāng)且僅當(dāng)存在dDI 使得I( A)(vx/d) 1當(dāng)且僅當(dāng)I ( x A)(v) 1這表明xA x A 是永真式。(3) 任取解釋I 和 I 中賦值v，1 ( xA)(v) 0當(dāng)且僅當(dāng)I ( xA)(v) 1當(dāng)且僅當(dāng)存在dDI 使得I(A)(vx/d)1當(dāng)且僅當(dāng)存在dDI 使得I( A)(vx/d) 0當(dāng)且僅當(dāng)I ( x A)(v) 0這表明 xA x A是永真式。(4) 任 取 解 釋 I 和 II(A B)(vx/d) 1I ( xB)(v) 1 ，

24、I ( xA中 賦 值 v， 若 I(I(A)(vx/d)xB)(v) 1 。這表明x(A B)(v) 1 ，I(B)(vx/d) 1x(A B) xA則 存 在 d DI 使 得I ( xA)(v) 1 且xB 是永真式。(5) 任 取 解 釋 I 和 I 中 賦 值 v， 若 I ( x(A B)(v) 0 ， 則 存 在 d DI 使 得I(A B)(vx/d ) 0， I (A)(vx/d) I (B)(vx/d) 0， I ( xA xB)(v) 0 。這表明 xA xB x(A B) 是永真式。(6)任取解釋I和I中賦值v,若I( x(A B)(v) I(A)(v) 1 ,則對于每

25、個d DI ,I(A B)(vx/d) 1,因為 x 不是 A 的自由變元，所以 I(A)(vx/d) I(A)(v) 1, 因此 I(B)(vx/d) 1, I ( xB)(v) 1。這表明 x(A B) (AxB)是永真式。13.設(shè)A1是公式 A的閉包，A2是x1xnA ,其中Var(A) x1, ,xn。證明：(1) A 是永真式當(dāng)且僅當(dāng)A1 是永真式；(2) A 是可滿足式當(dāng)且僅當(dāng)A2 是可滿足式。證明 (1)()首先證明：若 A是永真式，則 xA是永真式。設(shè) A是永真式。任取解釋I和I中賦值 v,任取d DI ,因為vx/d也是I中賦值，所以I(A)(vx/d) 1 ,I ( xA)

26、(v) 1。 xA是永真式。若A是永真式，則 xnA是永真式，x1xnA是永真式。()因為 x1xnAA是永真式，所以若x1xn A是永真式，則 A是永真式。(2)()因為Ax1xn A是永真式，所以若解釋I和I中賦值v滿足A,則I和v滿足x1 xn A 。()若 解 釋I 和 I 中 賦 值 v 滿 足 x1xnA， 則 有 d1,dn DI 使 得I (A)(vx1 /d1, , xn / dn ) 1 ， I 和 I 中賦值 vx1 /d1, , xn / dn 滿足A。14. 判斷以下等值式是否成立，并說明理由。(1) x(P(x)Q(x)xP(x)xQ(x)(2) x(P(x)Q(x

27、)xP(x)xQ(x)(3) xP(x)P(x)(4) x xP(x) xP(x)(5) x(P(x) yQ(y) xP(x) yQ(y)(6) x(P(x) yQ( y) xP(x) yQ(y)解 (1) 不成立。取解釋I 如下。DIa,b，PI(a)0， PI(b) 1，QI (a)1，QI(b)0則 I(x(P(x)Q( x)0且I (xP(x)xQ(x)1 。(2) 不成立。取解釋I 如下。DIa,b，PI(a)0， PI(b) 1，QI (a)1，QI(b)0則 I( x(P(x) Q(x) 0且 I ( xP(x) xQ(x) 1 。(3) 不成立。取解釋I 和 I 中賦值 v 下

28、。DI a, b ， PI(a) 0， PI (b) 1， v(x) b則 I( xP(x)(v) 0且 I (P(x)(v) 1。DI ，(4)成立。任取解釋I和I中賦值V,因為x不是 xP(x)中的自由變元，所以對于每個dI( xP(x)(vx/d) I( xP(x)(v) 。I ( x xP( x)( V) 1當(dāng)且僅當(dāng)對于每個d DI ， I( xP(x)(Vx/d) 1當(dāng)且僅當(dāng)I ( xP(x)(V) 1(5) 不成立。取解釋I 如下。DI a,b， PI (a) 0，PI (b) 1，QI (a) 1， QI (b) 0則 I( x(P(x) yQ(y) 0且 I( xP(x) yQ

29、(y) 1。(6) 不成立。取解釋I 如下。DI a,b， PI (a) 1， PI (b) 0， QI(a) QI (b) 1則 I( x(P(x) yQ(y) 0且 I( xP(x) yQ(y) 1 。15. 設(shè) A,B 是任意公式，證明以下等值式。x xAyAy，其中y在A中不出現(xiàn)。(2) x(A B) xA xB(3) x y(AB)xA yB ,其中x不是B的自由變元，y不是A的自由變元。(4) x y(AB)xAyB,其中x不是B的自由變元，y不是A的自由變元。(5) x y(A B)xA yB ,其中x不是B的自由變元，y不是A的自由變元。(6) x yA y xA證明 (1)

30、xA x A y AyxyAyx(2) x(A B)x( A B) x A xBxA xB xA xB(3) x y(A B) x(A yB) xA yB(4) x y(A B) x(A yB) xA yB(5) x y(A B) x(A yB) xA yB(6) 任取解釋I 和 I 中賦值v，1 ( x yA)(v) 0d D I 使得 I ( yA)(vx/ d) 0d,c DI 使得I (A)(vx/d y/c) 0d,c DI 使得I (A)(vy/cx/d) 0c DI 使得 I ( xA)(vy/c) 0當(dāng)且僅當(dāng)I ( y xA)(v) 016. 判斷以下邏輯推論關(guān)系是否成立，并說

31、明理由。(1) x(P(x) Q(x) |xP(x)xQ(x)(2) xP(x)xQ(x) | x(P(x) Q(x)(3) x(P(x)xQ(x) |x(P(x)Q(x)(4) x(P(x)xQ(x) |x(P(x)Q(x)(5) x(P(x) Q(x), xP(x) | xQ(x)(6) x yP(x, y) | xP(x, x)解 (1) 不成立。取解釋I 如下。DI a,b， PI (a) 0， PI (b) 1， QI (a) 1， QI (b) 0表明則 I( x(P(x) Q(x) 1 且 I( xP( x)xQ( x) 0x(P(x) Q(x) |/ xP(x) xQ(x)。(

32、2) 不成立。取解釋I 如下。DI a,b， PI (a) 0， PI (b) 1， QI(a) 1，QI(b) 0則 I ( xP(x) xQ(x) 1 且 I ( x(P(x) Q(x)0。 這 表 明xP(x) xQ(x) |/ x(P(x) Q(x)。(3) 不成立。取解釋I 如下。DI a,b ， PI(a) PI(b) 0， QI(a) 1， QI(b) 0則 I ( x(P(x) xQ(x) 1 且 I ( x(P(x) Q(x) 0。 這 表 明x(P(x) xQ(x) |/ x(P(x) Q(x)。(4) 若解釋 I 使得 I ( x(P(x) Q(x) 0 ，則有 d DI

33、 使得 PI (d) QI (d) 0， PI (d) 1 且QI (d) 0 ， I ( xQ(x) 0 ， I ( x(P(x) xQ(x) 0 。 這 表 明x(P(x)xQ(x) |x(P(x) Q(x) 。(5) 不成立。取解釋I 如下。DIa,b ，PI (a) 1， PI (b)0， QI(a) QI (b)0則 I ( x(P(x)Q(x)I ( xP(x)1 且I ( xQ( x) 0，這表 明x(P(x) Q(x), xP(x)|/ xQ(x)。(6) 不成立。取解釋I 如下。DI a,b ， PI(a,b) 1， PI(a,a) PI(b,a) PI(b,b) 0則 I(

34、 x yP(x, y) 1，但 I( xP(x,x) 0。所以 x yP(x,y)|/ xP(x,x)。17.設(shè)A,B是任意公式，證明以下結(jié)論。(1) x(A B) | xA xB(2) x(AB), xA| xB xA? | x yA,其中x對于A中的y是可代入的。(4) xAxB | x(A B)證 明 (1) 若 解 釋 I 和 I 中 賦 值 v 使 得 I ( x(A B)( v) 1 ， 則 有 d DI 使 得I (A B)(vx/d) 1I (A)(vx/d)I(B)(vx/d) 1I ( xA)(v) 1 且I( xB)(v) 1， I ( xA xB)(v) 1 。這表明x(A B) | xA xB。(2) 若解釋 I 和 I 中賦值 v 使得 I ( x(A B)(v) I ( xA)( v) 1 ，則對于每個d DI ，I(A B)(vx/d) I (A)(vx/d