傅里葉變換公式

1、傅里葉變換公式第2章信號分析本章提要? 信號分類凋期信號分析-傅里葉級數(shù) 非周期信號分析-傅里葉變換? 永沖函數(shù)及其性質(zhì)信號：反映研究對象狀態(tài)和運(yùn)動特征的物理量 信號分析：從信號中提取有用信息的方法 和手段§ 2-1信號的分類兩大類：確定性信號，非確定性信號 確定性信號：給定條件下取值是確定 的。進(jìn)一步分為：周期信口非周期信號。0非確定性信號（隨機(jī)信號）：給定條件下 取值是不確定的?按取值情況分類：模擬信號，離散信號 數(shù)字信號：屬于離散信號，幅值離散, 并用二進(jìn)制表示。信號描述方法時域描述如簡諧信號頻域描述以信號的頻率結(jié)構(gòu)來描述信號的方 法：將信號看成許多諧波（簡諧信號）之 和，每一

2、個諧波稱作該信號的一個頻率 成分，考察信號含有那些頻率的諧波 ， 以及各諧波的幅值和相角。vp a ge break >§ 2- 2?周期信號與離散頻譜飛凋期信號傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)形式?周期信號時域表達(dá)式x(t) x(t T) x(t 2T) x(t nT)(n 1, 2,)T:周期。注意n的取值：周期信號 無始無終”#x(t) a。傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式(an cos n ot bn sinn ot) n 1(n =1,2, 3,) 傅立葉系數(shù)：a。anbnT 2T x(t)dt2T 2T x(t)cos n otdt2T2T x(t)sin n otdt2式中T-周期

3、；。-基頻， 0= 2 /To 三角函數(shù)展開式的另一種形式：N次諧波的幅值N次諧波的頻率/ f-jx(t) a。zN次諧波An COS(Jotn )/ n 1可丿1/r信號的均值，直流分量N次諧波的相角arctg an1, 2, 3,周期信號可以看作均值與一系列諧波之和-諧波分析法 瀕譜圖A4(I周期信號的頻譜三個特點(diǎn)：離散性、諧 波性、收斂性例1 :求周期性非對稱周期方波的傅立葉級數(shù)并畫出頻譜圖解： A 1At非對稱周期方波解：信號的基頻周期方波傅里葉系數(shù)奇函數(shù)：ao an 0bn T4T4ATT x(t)sin n"2T20t的偶函數(shù)Asin n 0tdt 込 1 cosnnn為

4、奇數(shù)n為偶數(shù)n次諧波的幅值和相角AnJan bnbn4An(n 1,3,5,)最后得傅立葉級數(shù)4Ax(t)cos(n 0tn n2) (n 1,3,5,)頻譜圖4AAn 4A 4A3 533® 05 3 0幅頻譜圖相頻譜圖1、凋期信號傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式 砍拉公式e j t cos t jsin t1jtj tee2jjtj tee2cos tsin t1? 傅立葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)形式j(luò)n otx(t)Cnen(n 0, 1, 2, 3,)?復(fù)數(shù)傅里葉系數(shù) 的表達(dá)式C0 a0T * 2Tx(t)dtT 2Cn其中a n , bn的計(jì)算公式與三角函數(shù)形式相 司，只是n包括全部整數(shù)。一般C

5、n是個復(fù)數(shù)。因?yàn)閍n是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函 數(shù)，因此an a nb nbn即：實(shí)部相等，虛部?C n的復(fù)指數(shù)形式相反，Cn與C-n共軛。Cncn e共軛性還可以表示為CnC- n即:C n與C-n模相等,相角相反。傅立葉級數(shù)復(fù)指數(shù)也描述信號頻率結(jié) 構(gòu)。它與三角函數(shù)形式的關(guān)系對于n>0CnJa： ( bn)2A2（等于角函數(shù)模的一半)n arctg an（與三角函數(shù)形式中的相角相等）_An2bn上 bn一 arctg an用C n畫頻譜：雙邊頻譜第一種：幅頻譜圖：| C n|,相頻譜圖:n arctgan第I mcn-#AnAAI0 2 0n'1 |21 n2ol0 2 0丨

6、01121單邊頻譜雙邊頻譜。丨22 0:實(shí)譜頻譜圖：R e cn-,虛頻譜圖:；也就是an 和-b n -<pa ge b r eak>§ 23非周期信號與連續(xù)頻譜分兩類：a. 準(zhǔn)周期信號?定義：由沒有公共周期（頻率）的周期信 號組成頻譜特性：離散性,非諧波性?判斷方法：周期分量的頻率比（或周期比） 不是有理數(shù)b. 瞬變非周期信號x(t)Lx(t)ltx(t)JV-廠LAttt幾種瞬變非周期信口數(shù)學(xué)描述：傅里葉變換 一、傅里葉變換 演變思路：視作周期為無窮大的周期信號 式（2.2 2）借助（2. 1 6）演變成：X（t）的傅里葉變換X（ 3 ）x(t)1/x(t)e j

7、tdtej td2定義X（t）的傅里葉變換X （ 3）X( ) x(t)e j tdtX（3）的傅里葉反變換X（t）:x（t）2X( )ej td傅里葉變換的頻譜意義：一個非周期信 號可以分解為角頻率 連續(xù)變化的無數(shù) 諧波+ x（屮d的疊加。稱X（）其為函數(shù)x（t）的頻譜密度函數(shù)。?寸應(yīng)關(guān)系:-X ( )d ej tcn ejn 0t2X( ) X( )|ej ()曰X ()描述了 x(t)的頻率結(jié)構(gòu) X()的指數(shù)形式為?頻率 f (H Z )為自變量,因?yàn)閒 =w/ (2p ),得X ( f )x(t)e j2 f tdtx(t)X(f)ej2 ftdf指數(shù)形式X(f)X(f)ejX( f

8、)的頻譜圖幅值頻譜圖和相位頻譜圖:幅值頻譜圖相位頻譜圖實(shí)頻譜圖R eX( 3 )和虛頻譜圖Im( 3 ) 如果X ()是實(shí)函數(shù)，可用一張X()圖表 示。負(fù)值理解為幅值為X()的絕對值，相角 為或 。傅里葉變換的主要性質(zhì)(一) 疊加性a1x1 (t)a2x2(t) fta1X1( f)a2X 2( f)(二) 對稱性x(t) FT x( f)(注意翻轉(zhuǎn))（三）時移性質(zhì)x(t to)FT X(f)e j2 ft0（幅值不變,相位隨f改變±2 fto）（四）頻移性質(zhì)x(t)e j2 ft0FT X(f fo)（注意兩邊正負(fù)號相（五）時間尺度改變特,弓反）卜圧1 f x(at) X() a

9、a（六）微分性質(zhì)d(t) ft (j2 f )nX(f)dtn（1）卷積定義x(t) y(t) x( )y(t )d(2 )卷積定理x(t) y(t) ft X(f)Y(f) x(t)y(t) FT X(f) Y(f)2、脈沖函數(shù)及其頻譜 (一)？脈沖函數(shù)：x(t) x(tTI A (t to)1/(t)-/212to定義函數(shù)(要通過函數(shù)值和面積兩方面定義)函數(shù)值：t 0(t)0 t 0脈沖強(qiáng)度(面積)(t)dt 1(二)脈沖函數(shù)的樣質(zhì)函數(shù)值:x(t) (t to)強(qiáng)度:x(t) (t to)dtx(to) (t to)dtx(to)結(jié)論：1.結(jié)果是一個脈沖，脈沖強(qiáng)度是X (t)在脈沖發(fā)生時刻的函數(shù)值2.脈沖函數(shù)與任意函數(shù)乘積的積 分等于該函數(shù)在脈沖發(fā)生時刻的的值。 2.?永沖函數(shù)的卷積性質(zhì)：(a) 利用結(jié)論2x(t) (t) x( ) (t )dx(t) (t )d x(t)(b )利用結(jié)論2x(t) (t to)x( ) (tto)dx(t to)(tto)d x(t to)結(jié)論:平移（三）脈沖函數(shù)的頻譜(t) ft (f) (t)ej2 ftdt 1均勻幅值譜由此導(dǎo)出的其他3個結(jié)果(t to)FT ej2ft0（利用時移性質(zhì)）1 FT（利用對稱,、匕e j2 fotFT(f f。)式，再用頻移性質(zhì)）（四）正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的頻譜cos 2 ft1e j2 ft ej2