含參二次不等式因式分解

1、必會(huì)的乘法公式【公式 1 】(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca2233【公式2】(a b)(aab b ) ab (立方和公式)【公式3】(a b)(a2 ab b2) a3 b3(立方差公式)【公式 4】(a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2【公式 5】(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式:【例1】33X3 (2) 0.125 27b3【例2】分解因式:(1) 3a3b 81b4a7ab6二、分組分解法從前面可以看岀，項(xiàng)式，如ma mb能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式而對(duì)于四項(xiàng)以上的多 na nb既

2、沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提取.因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理.種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組.1.分組后能提取公因式【例3】把2ax 10ay 5by bx分解因式.2 2 2 2例4】把a(bǔ)b(c d ) (a b )cd分解因式.2分組后能直接運(yùn)用公式例5】把X22y ax ay分解因式.【例6】把2x22 24xy 2y2 8z2分解因式.十字相乘法分解因式1 .二次三項(xiàng)式(1)多項(xiàng)式ax2 bx c，稱(chēng)為字母 _的二次三項(xiàng)式，其中稱(chēng)為二次項(xiàng),為一次項(xiàng),常數(shù)項(xiàng).例如：x2x 3和X 5x 6都是關(guān)于X的二次三項(xiàng)式.(2)在多項(xiàng)式2 2x 6xy 8

3、y中，如果把.看作常數(shù)，就是關(guān)于的二次三項(xiàng)式；如果把看作常數(shù)，就是關(guān)于的二次三項(xiàng)式.(3)在多項(xiàng)式2a2b2 7ab 3中，把看作一個(gè)整體， 即,就是關(guān)于的二次三項(xiàng)式.同樣，多項(xiàng)式(X y)2 7(xy) 12，把看作一個(gè)整體，就是關(guān)于的二次三項(xiàng)式.2 十字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容(1)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式2x (a b)x ab (x a)(x b)方法的特征是“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng) 當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同;當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相 同.(2)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是

4、1的二次三項(xiàng)式2 2ax bx c a1a2x(a1c2 a2c1 )x GO(a1x c1)(a2x c2)大家知道，(x c1 )(a2x c2)a1a2x2 (a1c2 a2c1)x GCz -2反過(guò)來(lái)，就得到：a1a2x(a1c2a2c1)x c,c2(a1x c1)(a2x c2)我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù) a分解成a1a2，常數(shù)項(xiàng)c分解成c1c2，把a(bǔ)i ,a2,c1,c2寫(xiě)成a2C1C2，這里按斜線(xiàn)交叉相乘，再相加，就得到a1c2 a2c1，如果它正好等于 ax2 bx c的一次項(xiàng)系數(shù) b，那么2ax bx c就可以分解成(ajxc?)，其中a1,c1位于上一行，a2,C2位于下一行.

5、十字相乘法的要領(lǐng)是：頭尾分解，交叉相乘，求和湊中，觀察試驗(yàn)這種借助畫(huà)十字交叉線(xiàn)分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三 項(xiàng)式能否用十字相乘法分解.它的特征是“拆兩頭，湊中間”當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí) ，先提岀負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)； 常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同； 常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線(xiàn)上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符 號(hào)相同注意：用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯(cuò)誤岀現(xiàn)：一是沒(méi)有認(rèn)真地驗(yàn)

6、證交叉相乘的兩個(gè)積 的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫(xiě)岀的因式漏寫(xiě)字母.【例11把下列各式因式分解：(1)2 x7x62(2) x13x362 x5x242(4) x2x15(5)2 xxy6y22(xx)28(x2豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)x) 12 交叉相乘，和相加 檢驗(yàn)確定，橫寫(xiě)因式順口溜：豎分常數(shù)交叉驗(yàn)，橫寫(xiě)因式不能亂 例2、因式分解與系數(shù)的關(guān)系 若多項(xiàng)式a2+ka+16能分解成兩個(gè)系數(shù)是整數(shù)的一次因式的積，則整數(shù) 個(gè)k 可取的值有 ( )分析：因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為 1 ，所以原式可分解為 (a+m)(a+n) 可取值的個(gè)數(shù)取決于式子mn=16的情況.(其中m n為整數(shù))因?yàn)?16=2X8，

7、 16=(-2) X(-8)X 4， 16=(-4) X (-4)X 16 ， 16=(-1) k=±10，的形式，其中 mn=16, k=m+n,所以整數(shù)k16=416=1所以答案： B±8，X (-16) ±1622一般二次三項(xiàng)式 ax2bxc 型的因式分解例 2 把下列各式因式分解：2(1) 12x2 5x 2(2)5x226xy 8y2加法”湊”，先 ”湊 ”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)練習(xí) 1：分解因式(1)2x215x 7(2)3a2 8a4(3)5x27x6(4)6y2 11y 10 (5)225a b23ab10(6) 3a2b217abxy 1

8、0x2y2(7)2 x27xy 12y2(8)4 x7x218(9)4m228mn 3n”湊”，用減法1 時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速 看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用說(shuō)明： 用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，(10) 5x5 15x3y220xy2練習(xí) 2 分解因式(1) x4 10x2 9 ；(2) 7(x y)35(xy)2 2(xy)；(3) (a28a)2 22(a2 8a) 120 4、 (x2 2x 3)(x22x 24) 90 5 6x4 5x3 38x25x 6 226 x 2xy y 5x5y 67 ca(ca

9、)bc(bc)ab(ab)三、十字相乘與其它知識(shí)綜合例1. 分組分解后再用十字相乘把2x2-8xy+8y 2-11x+22y+15 分解因式22解：原式 =(2x 2-8xy+8y 2)-(11x-22y)+152=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=（x-2y）-32（x-2y）-5=（x-2y-3）（2x-4y-5） 說(shuō)明：分組后運(yùn)用十字相乘進(jìn)行因式分解，分組的原則一般是二次項(xiàng)一組，一次項(xiàng)一組，常數(shù)項(xiàng) 一組 . 本題通過(guò)這樣分組就化為關(guān)于 （x-2y） 的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法完成因式分解 .把這個(gè)2+3u-4 ，例 2. 換元法與十字相乘法 把 （x 2+x+1）（x 2+x+

10、2）-6 分解因式 分析：觀察式子特點(diǎn)，二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)分別相同，把（x 2+x） 看成一個(gè)“字母”，22式子展開(kāi)，就可以得到關(guān)于（X +x）的一個(gè)二次三項(xiàng)式（或設(shè)x +x=u，將原式化為（u+1）（u+2）-6=u 則更為直觀 ） 再利用十字相乘法進(jìn)行因式分解 .解： （x 2+x+1）（x 2+x+2）-6 =（x2+x）+1（x 2+x）+2-6=（x2+x） 2+3（x 2+x）-4=（x2+x+4）（x 2+x-1）若能分解一定要繼續(xù)分解，例 3、 把 10x2-27xy-28y2-x+25y-3 分解因式分析：在本題中，要把這個(gè)多項(xiàng)式整理成二次三項(xiàng)式的形式解法一、 10x2-

11、27xy-28y2-x+25y-3=10x2- (27y+1 )x - (28y2-25y+3 )4y -37y X -127y+1)x - (4y-3 )(7y -1 )-(7y - 1 )X 4y - 37y -1 ) 5x +( 4y -3 ) =10x2-說(shuō)明：本題結(jié)果中的兩個(gè)二次三項(xiàng)式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解了，=2x -=（ 2x -7y +1 ）（ 5x +4y -3 ）說(shuō)明：在本題中先把 28y2-25y+3 用十字相乘法分解為（ 4y-3 ）（7y -1 ），再用十字相乘法把 10x2- （ 27y+1） x - （4y-3 ）（ 7y -1 ）分解為： 2x - （7y -

12、1 ）5x + （4y -3 ）解法二、 10x2-27xy-28y2-x+25y-32 -7y5 X 4y=（2x -7y ）（5x +4y ）-（x -25y ）- 32 x -7y15 x +4y X -3= （2x -7y ）+1 （5x +4y ）-3=（2x -7y+1 ）（5x +4y -3 ）說(shuō)明 : 在本題中先把 10x2-27xy-28y2 用十字相乘法分解為（ 2x -7y ）（ 5x +4y ）,再把（ 2x -7y ）（ 5x +4y）-（x -25y ）- 3 用十字相乘法分解為 （2x -7y ）+1 （5x +4y ）-3.（ 試比一下“分組分解”與“十字相乘”

13、適用的題目的類(lèi)型特點(diǎn)，從各項(xiàng)的次冪的次數(shù)及各項(xiàng)系數(shù) 去分析 ）求：解：例 4. 因式分解與十字相乘法 已知 (x 2+y2)(x 2-1+y 2)=12 x2+y2的值(x 2+y2)(x 2-1+y 2)=122 2 2 2(x2+y2)(x 2+y2)-1-12=02 2 2 2 2(x +y ) -(x +y )-12=0 (x2+y2)-4(x2+y2)+3=0 x2+y2 > 0例 5 把下列各式分解因式：4(1) x4210x29；(2) 7(x3y)35(x y)2 2(x y);(3) (a28a)2222(a2 8a) 120 .2點(diǎn)悟： (1)把 x2 看作一整體，從

14、而轉(zhuǎn)化為關(guān)于2x的二次三項(xiàng)式;提取公因式(x+y)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于(X+ y)的二次三項(xiàng)式;22以(a8a)為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 (a8a)的二次三項(xiàng)式.解: (1)x4 10x2 9 (x2 1)(x2 9)=(X+ 1)(x 1)(x + 3)(x 3).32(2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y)=(X+ y)(x + y) 17(x + y) + 2=(x+ y)(x + y 1)(7x + 7y+ 2).2 2 2(3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 120點(diǎn)撥： 要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時(shí)、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式中究竟把哪一個(gè)看成整體， 才能構(gòu)成二次三

15、項(xiàng)式，以順利地進(jìn)行分解.同時(shí)要注意已分解的兩個(gè)因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要 分解到不能再分解為止.例 6 分解因式： (x2 2x 3)(x2 2x 24) 90 .點(diǎn)悟：把x2 2x看作一個(gè)變量，利用換元法解之.解： 設(shè) x2 2x y ，則 原式=(y 3)(y 24) + 90=(y 18)( y 9)(x2 2x 18)(x2 2x 9).點(diǎn)撥：本題中將x2 2x視為一個(gè)整體大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，體現(xiàn)了換元法化簡(jiǎn)求解的良好效果.此我們用了“十字相乘法”進(jìn)行分解.外，y227 y 162 (y 18)( y 9) 一步,例7分解因式6x4 5x338x2 5x點(diǎn)悟：可考慮換元法及變形降

16、次來(lái)解之.解：原式x26(x2 4r) 5(x 丄)x386(x1 21)5( x -) 50，xxy，則原式x2(6y2 5y 50)(x 2)(2x 1)(x 3)(3x1)-本題連續(xù)應(yīng)用了 “十字相乘法”分解因式的同時(shí)，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花了亂.但點(diǎn)撥：是，品味之余應(yīng)想到對(duì)換元后得岀的結(jié)論一定要“還原”，這是一個(gè)重要環(huán)節(jié).例 & 解關(guān)于 x 方程：x2- 3ax + 2a2- ab -b2=0分析：2a2 - ab-b2可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解解：x2- 3ax + 2a2- ab -b2=0x2- 3ax +(2a2 ab - b2)=01 -bX +bx2-

17、 3ax(2a+b)( a-b) =0(2a+b) (a-b)x-(2a+b)x- (a-b ) =0所以x1=2a+b x2=a-b42已知x 6x x 12有一個(gè)因式是2x ax 4，求a值和這個(gè)多項(xiàng)式的其他因式.點(diǎn)悟：因?yàn)閤4 6x2x 12是四次多項(xiàng)式，有一個(gè)因式是x2 ax 4，根據(jù)多項(xiàng)式的乘法原則可知道另一個(gè)因式是 x2 bx3 （a、b是待定常數(shù)），故有x4 6x2 x 12 (x2ax4) (x2 bx3）.根據(jù)此恒等關(guān)系式，可求岀a, b的值.解：設(shè)另一個(gè)多項(xiàng)式為x2bx 3，則x4 (a b)x3(3ab)x2(3a4b)x 12 ,x4 6x2 x 12 與 x4 (ab

18、)x3(3 4 ab)x2(3a4b) x12是同一個(gè)多項(xiàng)式，所以其對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)分別相等.即有由、解得，a= 1， b= 1，代入，等式成立.a = 1,另一個(gè)因式為x2 x點(diǎn)撥：這種方法稱(chēng)為待定系數(shù)法，是很有用的方法待定系數(shù)法、 用的方法，在其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也經(jīng)常運(yùn)用希望讀者不可輕視.配方法、換元法是因式分解較為常練習(xí)3、1、已知x4 6x2 x212有一個(gè)因式是x ax4，求a值和這個(gè)多項(xiàng)式的其他因式.2、若x y = 6，xy 17，則代數(shù)式36x3y 2x2y2 xy3的值為練習(xí)練習(xí)四、提咼版練習(xí)4(1)x2、1、把下列各式分解因式:7x26 ；r 3. 3 c. 67a b 8b

19、；x4 5x236 ；432(5) 6a 5a 4a ； 4x465x2y216y4；-r 4, 2-2437 a b9a b .2(1)(x(x23已知3)2 4x2 ；2 2x) 17(xx)x + y= 2， xy= a + 4,其它因式分解的方法1.配方法2例 11】分解因式x2 6x解：x2 6x 16 x22 x2(x 2)29；2(3x 2x1)2(2x2 3x 3)2 ；2 2 260 ； (5) (x 2x)7(x2x) 8 ；(2ab)2 14(2a b) 48 .163y 26，求a的值.3232 1 6 (x3)2 52說(shuō)明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配

20、方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用 平方差公式分解.當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn).2.拆、添項(xiàng)法例 12】分解因式X3 3x24分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行細(xì)查式中無(wú)一次項(xiàng)，如果它 能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決.32解：X 3x 432(X 1) (3x3)說(shuō)明：本解法把原常數(shù)式法及提取公因式的條件.4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿(mǎn)足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，造成可以用公本題還可以將 3x2拆成X2 4y2，將多項(xiàng)式分成兩組 （X3 X2）和4x2 4 .（1）（如十字相乘法）來(lái)分解;一般

21、地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行： 如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式； 如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止.A1.把下列各式分解因式:3(1) a 27(2) 83 m(3)27x3813133 3113313(4)-p q(5) 8x y(6)-Xyc864125216272.把下列各式分解因式：,、34n 3n 3(1) xyX(2) XXy2.,32 3(3) a (m n) a b(4) y2. 2(X-,322x) y3把下列各式分解因式：2

22、(1) X 3x 22X 37x362 .(3) X 11x262(4) X 6x 27(5)m2 4mn5n2(a b)211(ab) 284.把下列各式分解因式： ax5 10ax4 16ax3an 2an 1b6anb2(3) (X22x)29(4) X4 7x2182(5) 6x7x 32(6) 8x26xy15y22 7(a b) 5(a b)2(8)2 2(6x7x)255把下列各式分解因式：2(1) 3ax 3ay xy y(2) 8x3 4x22x 1(3) 5x215x2xy 6y2 2 4a 20ab 25b36(5) 4xy 1,2244x y (6) a ba3b22

23、J.4a b ab x6 y6 2x31(8)x2(x 1)y(xy X)1.把下列各式分解因式:(1) ab(e2 d2)ed(a2b2)x2 4mx 8mn 4n26411x231x213223(5) x 4xy 2x y 8y2.已知ab 2 ,ab32，求代數(shù)式a2b 2a2b2 ab2 的值.3證明：當(dāng)n為大于2的整數(shù)時(shí),n535n 4n能被120整除.4已知a求證:a3a2e b2e abe b30.第二講因式分解答案21. (a 3)(a 3a9),(22m)(4 2m m2),(23x)(46x 9x2),1 2存2p q)(4p2pqq2),(2 xy 1)(4x2y2525xy1 1 2 2 2),(xy 2e)(x y 2xye 4e ) 225 216.x(x y)(y2 xy2 n22x ), x (x y)(x xy y ),3.(X 2)(x1),(x36)(x 1),(x 13)(x 2),( x9)( x3)4. ax3(x 2)(x8)an(a 3b)(a2b),(x 3)(x1)(x22x 3),( x 3)(x3)(x22)(2x 3)(3x1),(2xy)(4x15y),(7 a 7