數(shù)列求和的基本方法與技巧

1、數(shù)列求和的基本方法與技巧 福州三中金山校區(qū) 林繼楓（350008）數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。下面，就幾個(gè)方面來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧。一、利用常用求和公式求和（定義法） 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 4、5例1 求和：解：1、當(dāng)x=0時(shí)，2、當(dāng)x=1時(shí)，3、當(dāng)x0,且x1時(shí)，.例2 已知，求。解：由 由等比數(shù)列求和公式得 二、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根

2、據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來求數(shù)列的前項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法。例3 求之和。解：由于 （找通項(xiàng)及特征） （分組求和）例4 已知數(shù)列：，求的值。解： （找通項(xiàng)及特征） （設(shè)制分組） （裂項(xiàng)） （分組、裂項(xiàng)求和） 三、分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例5、求和:解:原式=例6 求數(shù)列的前項(xiàng)和：解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，例7 求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 四、裂項(xiàng)求和法這是分解與組合思想在數(shù)列求

3、和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例8、求和：分析：由=解：原式=例9 求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：設(shè) 則 五錯(cuò)位相減求和法例10、求和：分析：原式等價(jià)于其中，象這種通項(xiàng)公式由等差與等比組成的數(shù)列，求它的前n項(xiàng)的和聯(lián)系課本中等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，可應(yīng)用錯(cuò)位相減法.解：令 例11、求和：解：1、當(dāng)a=1時(shí)，2、當(dāng)a1時(shí)，1六、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例12 求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序） 又由可得