拉格朗日中值定理教育教學(xué)設(shè)計(jì)

1、拉格朗日中值定理教學(xué)設(shè)計(jì)作者:日期:0教學(xué)演計(jì)第六章 微分中值定理及其應(yīng)用§1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性題目：羅爾定理與拉格朗日定理一、教學(xué)目的:知識B標(biāo)：分別掌握羅爾定理和拉格朗R定理及對應(yīng)的幾何意義，掌握三個推 論。2. 能力目標(biāo)：首先讓同學(xué)們知道微分中值定理包括四弋定理（羅爾定理.拉格朗FI定理、柯西定理、泰勒定理），然后通過學(xué)習(xí)羅爾定理，類比學(xué)習(xí)理解拉格朗FI定理，培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括和遷移的學(xué)習(xí)能力。3. 情感目標(biāo)：在教學(xué)過程中，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的融會貫通，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，以及嚴(yán)密的思維方法，從而親近數(shù)學(xué)，愛上數(shù)學(xué)。二、教學(xué)*點(diǎn)與難點(diǎn):重點(diǎn)：羅爾定理和拉格朗日走理

2、，定理是扯石，只有S石牢同，弋廈才能耗的 高。2 難點(diǎn)：羅爾定理和拉格朗R定理的應(yīng)用與推廣，以及這兩個定理之間的區(qū)別與聯(lián)系。三、教學(xué)方法：教師啟發(fā)講授和學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法四、教學(xué)手段：板書與課件相結(jié)合五. 教學(xué)基本流程:知識回顧引出定理，探究案例類比學(xué)習(xí)，理解定理升華、理解新知課堂小結(jié)作業(yè)六、教學(xué)情境設(shè)計(jì)（1學(xué)對）:1%知識回顧費(fèi)馬定理：設(shè)函數(shù)八小在X。的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在可導(dǎo)。若心為/的極值點(diǎn)，則必有f（xJ = O.它的幾何意義在于：若函數(shù)/（M在天=勺導(dǎo)，那么在該點(diǎn)的切線平行于X軸。2、引出定理，探究案例微分中值定理是微分學(xué)的重要組成部分, 四大定理，分別是羅爾定理、拉格朗日定理、

3、 定理的預(yù)備定理羅爾定理。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中超著橋梁作用，它包括 柯西定理和泰勒定理，先學(xué)習(xí)拉格朗日定理6.1 （羅爾（Rolle）中值定理）若函數(shù)/滿足如下條件:（1）/在閉區(qū)間“用上連續(xù);（11）/在開區(qū)間（£“）內(nèi)可導(dǎo);0)則在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)？，使得廣(§)=0 -羅爾定理的幾何意義是說：在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端 點(diǎn)高度相等，則至少存在一條水平切線（圖61）,證 因?yàn)?在卜上上連續(xù)，所以有最大值與最小值，分別用M與W表示，現(xiàn)分兩 種情況來討論：若/« = M,則，/在a.h±必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立.若in <

4、M ,則因/（«） = /（/?）,使得最大值M與最小值w至少有一個在（"）內(nèi) 某點(diǎn)§處取得，從而§是/的極值點(diǎn)由條件（11）. /在點(diǎn)？處可導(dǎo)，故由費(fèi)馬定理推 知廣（力0定理中的三個條件缺少任何一個，結(jié)論將不一定成立（圖62）。ffi 6-2/（x） = 0至多有一個實(shí)根.證 這可反證如下：倘若/（%） = 0有兩個實(shí)根和心（設(shè)A- < X J ,則函數(shù)/在刃比上滿足羅爾定理三個條件，從而存在§館內(nèi)），使廣（§） = 0,這與廣（x）H0的 假設(shè)相矛盾，命題得證-3、類比學(xué)習(xí)，理解定理定理6. 2 （拉格朗日（Lagwge）中

5、值定理）若函數(shù)滿足如下條件:（力在閉區(qū)間肚閏上連續(xù);（）/在開區(qū)間（恥）內(nèi)可導(dǎo), 則在仏/>）內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得b-a顯然，特別當(dāng)/（«）= fh）時，本定理的結(jié)論（2）即為羅爾定理的結(jié)論（1）.這表明羅爾 定理是拉格朗日定理的一個特殊情形證作輔助函數(shù)fW=/ - / -化）""（兀 - «） b a顯然，F(xiàn)）= /（hX=0）,且F在肚為上滿足羅爾定理的另兩個條件.故存在gea”），使尸）=氏）-門？/9）=0 b-a移項(xiàng)后即得到所要證明的（2）式。拉格郎日中值定理的幾何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線y = /（x）X至少存在一點(diǎn)該曲線在該點(diǎn)出的切

6、線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線AB.（如a 63所示）。BPI§ §圖6-3定理的結(jié)論稱為拉格朗日公式。4、升華、理解新知注解Note 1.定理的幾何意義：在y = /（%）±至少存在一點(diǎn)該曲線在該點(diǎn)出的切 線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線AB。Note 2.定理只論證了 §的存在性，（6Z,Z?）.不知道？的準(zhǔn)確數(shù)值，但并不妨礙它 的應(yīng)用.Note 3拉格朗日公式還有下面幾種等價表示形式:f(b)-f(a) = f (勺(b <b;(3)7(5)f(b- f(a) = fa + 0(h-a(b-a,o < & < 1;f a + h f a

7、 = fa + &rhS < 0 < 1;值得注意的是，拉格朗日公式無論對于a<b,還是a>h都成立，而§則是介于d與b之 間的某一定數(shù)，而（4）、（5）兩式的特點(diǎn)，在于把中值點(diǎn)§表示成了 + 0 - “），使得 不論為何值，0總可為小于1的某一正數(shù)。例題講解例2 證明對一切h > Ji 0成立不等式-< ln(I + /0<A i + h證設(shè) /（X）= ln（l + X）,則ln(l + h = ln(l + /) - In 1 = ； ,0 < & < 1.當(dāng)>0時，由0<&&l

8、t;1可推知+h1+處當(dāng)一1</|<0時，由0<0<1可推得5 +心+心0,缶#從而得到所要證明的結(jié)論。推論推論1若函數(shù)/在區(qū)間/上可導(dǎo)，且廣W三0'兒 則/為/上一個常量 函數(shù)證 任取兩點(diǎn)只2 E / （設(shè)K ,在區(qū)間XpX?上應(yīng)用拉格朗日定理，存在使得/(£) -/Uj) =廣(§)(® - “)= 0.這就證得/在區(qū)間/上任何兩點(diǎn)之值相等.由推論1又可進(jìn)一步得到如下結(jié)論；推論2 若函數(shù)/和g均在區(qū)間/上可導(dǎo)，且廣（X）三gU）,則在區(qū)間I ±/（X）與g（x）只相差某一常數(shù)，即/（%） = g（x） + C（C 為某

9、一常數(shù)）推論3 （導(dǎo)數(shù)極限定理） 設(shè)函數(shù)/在點(diǎn)兀。的某鄰域U（丸）內(nèi)連續(xù)，在 曠（兀0）內(nèi)可導(dǎo)，且極限Um廣（X）存在，則/在點(diǎn)勿可導(dǎo)，且XT.m廣（勺）=lim 廣（/）WT心i正 分別按左右導(dǎo)數(shù)來證明（6）式成立.（1）任取X £/：（%,） , /（X）在心/上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，則存在(7)由于兀V歹vx,因此當(dāng)XTX；時，隨之有VTX；,對（7）式兩邊取極限，得到lim /= lim+ 廣=fx, + 0)屯 X-Xqx+q同理可得r（-vj=/v,-o）.因?yàn)閘imf（x） = k存在，所以廣（心+0）=廣（“一0）=匕 從而 £（兀）=/：（心）=即f （兀）=k.導(dǎo)數(shù)極限定理適合于用來求分段函數(shù)的字?jǐn)?shù)例題講解例3求分段函數(shù)/w =x + sinx",x<0,111(1 + %),% > 0的導(dǎo)數(shù)。解首先易得I + 2xcosxx < 0,廣/ 1進(jìn)一步考慮/在；v = 0處的導(dǎo)數(shù)-在此之前，我們只能依賴導(dǎo)數(shù)定義來處理，現(xiàn)在則可以利用導(dǎo)數(shù)極限定理.由于lini f(x = lim ln(I + x) = 0 = AO),lim f(xG = lim (x + sinx") = 0 = /(0), NT(r工 f因此/在x = 0處連續(xù)，又因廣(0-0) = liin (1 + 2.