(精華)圓錐曲線題型歸類總結輔導專用

1、高考圓錐曲線的常見題型典型例題 題型一：定義的應用例1、動圓M與圓G:(x+1) 2+y2=36內切,與圓Q:(x-1) 2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。例2、方程拆一疔-Jg鎭4=蠱表示的曲線是 題型二：圓錐曲線焦點位置的判斷(首先化成標準方程，然后再判斷)：1、橢圓：由兀衛(wèi) 嚴 分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。2、雙曲線：由x'項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上;3、拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。典型例題2例1、已知方程x1表示焦點在y軸上的橢圓，貝U m的取值范圍是_2例2、k為何值時,方程丄-9 k2撫1的曲線：是橢圓;(2)是

2、雙曲線.題型三：圓錐曲線焦點三角形(橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形)問題仁橢圓焦點三角形面積S b2tan-;雙曲線焦點三角形面積S2、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解b2 cot-3、m n, m n,mn,m2 n2四者的關系在圓錐曲線中的應用;典型例題2例1、 橢圓篤a2¥ 1(a b 0)上一點P與兩個焦點F1，F(xiàn)2的張角/bF1PF2求證：FiPF2的面積為b2tan。2例2、已知雙曲線的離心率為 2, Fi、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點,且"嚴空=(50-,曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是幾円陰=12j .求該雙曲線的標

3、準方程題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法1、a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關系式，可求離心率,漸進線的值;2、a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關系式，可求離心率,漸進線的范圍;3、注重數(shù)形結合思想不等式解法；典型例題2 2例1、已知Fi、F2是雙曲線 冷 £ 1( a 0,b O )的兩焦點，以線段FiF2為邊作正a2b2三角形MF1F2，若邊MFi的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是22例2、 雙曲線X-占 1 ( a >0,b > O)的兩個焦點為a bFi、F2,若 P為其上一點，且|PFi|=2|PF 2|,則雙曲線離心率的取值范圍為X2例3、橢

4、圓G :篤a1(a b 0)的兩焦點為Fi(c,0), F2(g0)，橢圓上存在ULUUV uuuuv點M使FM F2M0.求橢圓離心率e的取值范圍;2y_22x例4、已知雙曲線筈a2 b1(a0,b O)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60的直線與雙題型五：點、直線與圓錐的位置關系判斷1、點與橢圓的位置關系點在橢圓內點在橢圓外2b-1;2、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題:>0相交=0相切<0相離3、弦長公式：AB 71 k2(需要注意二次項系數(shù)為0的情況)XiX2J1 k2(X1 _xj 71 k2 巻ABy2/ 占(y1y2)J14、圓錐曲線的中點弦問題: 1、韋

5、達定理: 2、點差法:(1) 帶點進圓錐曲線方程，做差化簡(2) 得到中點坐標比值與直線斜率的等式關系典型例題例1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB被點M(3,-1)平分,求直線AB的方程.例2、已知中心在原點，對稱軸在坐標軸上的橢圓與直線 L:x+y=1交于A,B兩點, C是AB的中點，若|AB|=2V2，O為坐標原點，0C的斜率為V2/2,求橢圓的 方程。題型六：動點軌跡方程:1、求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍;2、求軌跡方程的常用方法:(1)直接法：直接利用條件建立之間的關系鞏心刃=0；例1、已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4,求P的軌跡方程.(2)

6、待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程一一先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。例2、如線段AB過x軸正半軸上一點M( m 0)帥，端點A、B到x軸距離 之積為2m以x軸為對稱軸，過 A、O B三點作拋物線，則此拋物線方程(3) 定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程;2,31例3、由動點P向圓T +丿i作兩條切線PA PB切點分別為A、B, / APB=60,則動點P的軌跡方程為 例4、點M與點F(4,0)的距離比它到直線25=0的距離小于1,則點M的軌跡 方程是 例5、一動圓與兩圓。M宀b三1和O N：宀八小mo都外切，則動

7、圓圓心的軌跡為(4) 代入轉移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且g 加又在某已知曲線上，則可先用P的代數(shù)式表示“0兀，再將兀代入 已知曲線得要求的軌跡方程： 例&如動點P是拋物線上任一點，定點為W廣D，點M分刁 所成的 比為2,則M的軌跡方程為 參數(shù)法：當動點Pg 坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用 時，可考慮將兀戸均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普 通方程)。例7、過拋物線只=4的焦點F作直線2交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是直線與圓錐曲線的常規(guī)解題方法總結:一、設直線與方程; 區(qū)別）（提醒：設直線時分斜率存在與不存在;設為 y

8、=kx+b與 x=my+n的設交點坐標;（提醒：之所以要設是因為不去求出它，即“設而不求”）0.聯(lián)立方程組;四、消元韋達定理;（提醒：拋物線時經(jīng)常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單）五、根據(jù)條件重轉化；常有以下類型:“以弦AB為直徑的圓過點 0”（提醒：需討論K是否存在）OA OBK1?K2uuu uuuOA?OB 0xiX2 yi y20“點在圓內、圓上、圓外問題”“直角、銳角、鈍角問題”“向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題”Xi X2 yi y2 >0；“等角、角平分、角互補問題”斜率關系（K1 K20或K1K2）；uuur“共線問題” （如: AQuuuQB數(shù)的角度：坐標表示法；形

9、的角度:距離轉化法）（如: A、O、B三點共線直線OA與OB斜率相等）；“點、線對稱問題”坐標與斜率關系;“弦長、面積問題”坐標與弦長公式問題（提醒：注意兩個面積公式的合理選擇）化簡與計算;七、細節(jié)問題不忽略:判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線問題中二次項系數(shù)是否會出現(xiàn)直線與圓錐曲線的基本解題思想總結:1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式;2、“是否存在”問題：當作存在去求，若不存在則計算時自然會無解;3、證明定值問題的方法：常把變動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計算結果與參數(shù)無關；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項集在

10、一起，并令各項的系數(shù)為零，求出定點；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點，然后給出證明5、求最值問題時：將對象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法（轉化為二次函數(shù)的最值）、三角代換法（轉化為三角函數(shù)的最值）、利用切線的方法、利用均值 不等式的方法等再解決;6轉化思想：有些題思路易成，但難以實施。這就要優(yōu)化方法，才能使計算具有可行性，關鍵是積累“轉化”的經(jīng)驗;7、思路問題：大多數(shù)問題只要忠實、準確地將題目每個條件和要求表達出來,即可自然而然產生思路。典例1、已知點F 0,1，直線l : y 1，P為平面上的動點，過點 P作直線l的垂線，垂uuu uur uuu uur足為Q，且QPgFFPgFQ . （ 1

11、）求動點P的軌跡C的方程；（2）已知圓M過定點D 0,2，圓心M在軌跡C上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設| dAli，DBl2，例2、如圖半圓，AB為半圓直徑，0為半圓圓心，且 ODL AB Q為'jf線段0D的中點，已知|AB=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上 運動且保持| PA+I PB的值不變.（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?求曲線C的方程；（2）過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點 M N,且M在D N之間,設DM=X，求入的取值范圍.DNX2 y2例3、設F1、F2分別是橢圓C ： 務 1 (a b 0)的左右焦點。a b(1)J3設橢圓C上點(J3,)到點F1、F

12、2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標;2設K是(1 )中所得橢圓上的動點，求線段 KFi的中r點B的軌跡方程;設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于 M , N兩點，當直線PM , PN的斜率都存在，并記為kpM , kpN，試探究kpM Kpn的值是否與點 P及直線L有關，并證明你的結論。例4、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標準方程；(n)若直線l : y kx m與橢圓C相交于A ,B兩點(A, B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓 C的右頂點，求證：直線I過定點，并求出該定點的坐標.例

13、5、已知橢圓兩焦點 F1、F2在y軸上，短軸長為 2血，離心率為乎，P是橢圓在第一uuir uuun象限弧上一點，且 PF, PF2 1，過P作關于直線F1P對稱的兩條直線PA PB分別交橢圓于A B兩點。(1 )求P點坐標；(2)求證直線AB的斜率為定值;典型例題:例1、（1） »=設Pgy）,卩侖（忌-1），二(0/ +l)E-& 2)= (jLj -1)1 扎一 2).艮卩 2(p+l) = <呂-2(p-1),即;i：'=4y.所以動點戸的豹跡亡的方二4-（2） e=設匾M的區(qū)心坐標酋M（口則口2 =牝.11肱ffl半徑為護+(i-27.H M的方程背d

14、* +b=盤 + 3- .令尸=L M:r&+臚=/+0 2廣整理得F 2 +*4i 4=0,由、解得，x a 2 .不妨設A a2,0 , B a2,0 ，二 li當且僅當故當a11I212li0時,l12I22I1I2由得,2a2 16'Ta4642 I1ya 2 4 ， l22匡?16 X 16264 7 中 2 8a 二aa 2血時，等號成立.當a 0時，由得，f2逅時，t;的最大值為2運.16a2a46422 .例2、解：（1）以AB OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點，建立平面直角坐標系，！ PA+I p B=| QA+I QB=2J22 12 25 >

15、|ab=4.曲線C為以原點為中心，A B為焦點的橢圓.設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為C,則20=25 , a=75, c=2, b=1.2曲線C的方程為+y2=1.5設直線I的方程為y=kx+2,2代入+y2=1,得(1+5 k2) x2+20kx+15=0.DM5NJX25A =(20 k)2-4X 15(1+5k2) >0,得 k2> 3 .由圖可知5XiX2由韋達定理得XiX220k1 5k2151 5k2將Xi二入X2代入得(12X2、2 2)X2(1151 5k2400k2兩式相除得0)2400k215(1 5k2)k280V 3(5 7) 20,即 43805)1

16、63(1)216yDMDN0,1解得-3又當X DMX2dn'M在N中間,k不存在時，顯然入型DN丄(此時直線3與y軸重合)綜合得：1/3 <XV 1.例3、解：(1)由于點(>/3,)在橢圓上，血32Vs 2(不)2b21 得 2 a =4,2 2橢圓C的方程為 1，焦點坐標分別為43(2)設KF1的中點為B (X, y)則點K(2x 1,2y)1,0),(1,0)4 分5分 72 2把K的坐標代入橢圓冷七1中得(2x 1)2(2y)2線段KFi的中點B的軌跡方程為(X2)(3)過原點的直線L與橢圓相交的兩點設 M (Xo, yo) N( Xo, yo), p(x, y)

17、,42葺14N關于坐標原點對稱M , N,P在橢圓上,應滿足橢圓方程,kpM K pN _ X Xo2 2y yo y y。_22 X XoX X02Xo2a£ayo22yb2故：kpM KpN的值與點P的位置無關,同時與直線L無關.2例4、解：(I)橢圓的標準方程為 4(n)設A(xi, yi) , B(X2, y2),y聯(lián)立x!4kx m,y2得(3 4k2)x2 8mkx丄1.34(m2 3)0 ,X1X2XlgX264m2k2 16(3 4k2)(m2 3) 0,即3 4k2 8mk3 4k2 ,4(m2 3)3 4k2 .0,則又yy2(kx1 m)(kX2 m) k x1

18、x2 mk(x1 x2 )3(m2 4k2)3 4k2因為以ab為直徑的圓過橢圓的右焦點D(2,O),kAD kBD1即七gxX1X1X22(XiX2)43(m2 4k2)3 4k224(m3)3 4k20 , 9m2 16mk 4k20 .解得:m12k , m2¥，且均滿足3 4k2 m2 0 ,1、當mi2k時，I的方程為yk（x 2），直線過定點（2,0），與已知矛盾;2、當m2冷時，I的方程為yk x 2，直線過定點-,0 .7所以,直線I過定點，定點坐標為例5、2解(1)42x- 12Fi(o,72),F2(o,72) ，設 P(xo, yo)(xo0, yo 0)mum則 PF1( xoJ2Lumyo), pf2xo,近 y。)uurPF1umu PF2 (2 y：) 1Q點P（xo,yo）在曲線上，則2Xo22yo2. 2從而 4產（2 y：） 1，得 yo血，則點P的坐標為（1,72）（2）由（1）知P Fi/x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù),